Composizione di polinomi

Una calcolatrice di composizione di polinomi costruisce il composto espanso f(g(x)) a partire da due liste di coefficienti. Inserisca il polinomio esterno f e quello interno g con il termine costante per primo—così [1, 2, 1] significa 1 + 2x + x al quadrato e [0, 1] significa x—e lo strumento restituisce i coefficienti della composizione dopo aver sostituito g in f, combinato i termini simili, stringhe di polinomio leggibili, gradi formali di f, g e del composto, più note di Horner passo per passo. Controlli dei compiti, preparazione agli esami, valori attesi di kata di codice e demo di cambio di variabile richiedono la stessa espansione per sostituzione senza aprire un sistema di algebra computazionale.

Cosa significa f(g(x)) e come sono ordinati i coefficienti

La composizione di funzioni per i polinomi significa sostituzione: se f associa a un valore u l'espressione a0 più a1 volte u più a2 volte u al quadrato e potenze superiori, e g associa a x l'espressione b0 più b1 volte x e potenze superiori, allora f di g di x è il polinomio ottenuto sostituendo ogni occorrenza di u in f con l'espressione completa di g di x, espandendo i prodotti delle potenze di g e raccogliendo le potenze simili di x.

Il risultato è di nuovo un polinomio univariato il cui grado formale è il prodotto dei gradi formali di f e g quando entrambi sono positivi, oppure zero quando f è una costante non nulla, oppure meno uno per il polinomio zero. Questo strumento usa la convenzione termine-costante-per-primo che domina la programmazione e le librerie numeriche: l'array [a0, a1, a2, …, am] rappresenta a0 più a1 volte x più a2 volte x al quadrato, fino ad am volte x alla m.

La stessa convenzione si applica a g e all'array di composizione restituito. L'espansione algebrica avviene con la forma annidata di Horner a0 più g volte (a1 più g volte (a2 più …)), così ogni passo moltiplica il polinomio corrente per g e aggiunge il coefficiente esterno successivo—equivalente a espandere f di g e combinare i termini simili, ma con meno moltiplicazioni intermedie. Una lista di coefficienti tutta zero è valida e rappresenta il polinomio zero con grado meno uno.

Consigli pratici, limiti e ricerche correlate

Mantenga le magnitudini dei coefficienti entro l'intervallo assoluto pubblicato e preferisca gradi modesti affinché il prodotto dei gradi resti ben al di sotto del tetto di lunghezza del risultato. Controlli classici in aula includono f uguale a x al quadrato con g uguale a uno più x che dà uno più due x più x al quadrato, f uguale a due più tre x con g uguale a uno meno x che dà cinque meno tre x, e comporre con l'identità g uguale a x che lascia f invariato.

Questa landing punta a chi cerca una calcolatrice di composizione di polinomi, comporre due polinomi online, espandere f di g di x o sostituire un polinomio in un altro; non è un compositore multivariato, né un fattorizzatore, né un cercatore di radici. Preferisca questa capacità quando ha già entrambi i vettori di coefficienti e le serve solo il composto espanso; se la fonte è un'espressione scritta, analizzi prima i coefficienti. Quando le serve solo il prodotto di due polinomi senza sostituzione, usi invece uno strumento di moltiplicazione dedicato.

I controlli andata e ritorno sono semplici: ricalcoli a mano alcuni coefficienti di composizione da Horner o espandendo potenze di g e confermi che coincidono con l'array composition pubblicato entro lo stesso arrotondamento a dodici decimali.