ForHosting KIT · 数学

多項式の合成計算

多項式を別の多項式に代入し、展開した結果を求めます。f(x) = x²、g(x) = 1 + xなら、f(g(x))は1 + 2x + x²で次数は2です。各手順も表示されます。ブラウザで無料で使えます。

無料
ブラウザで動作
登録不要
データは端末の外に出ません

ご利用方法ウェブAPIメールTelegramアプリ近日

多項式の合成計算ツールは、2つの係数リストから展開した合成 f(g(x)) を構築します。外側の多項式 f と内側の g を定数項を先にした数値配列として入力します—[1, 2, 1] は 1+2x+x²、[0, 1] は x—すると、g を f に代入して同類項をまとめ、合成係数・読みやすい多項式文字列・f・g・合成の形式次数・段階的な Horner メモを返します。宿題確認、試験準備、コーディング形の期待値、変数変換デモはいずれも計算機代数を開かずに同じ代入展開を必要とします。

f(g(x)) の意味と係数の順序

多項式の関数合成は代入を意味します。f が値 u に a0 + a1·u + a2·u² + 高次を対応させ、g が x に b0 + b1·x + 高次を対応させるとき、f の g の x は f 内の u をすべて g の x の式全体で置き換え、g のべきの積を展開し、x の同類べきを集めた多項式です。

結果は再び一変数多項式で、両形式次数が正なら形式次数は f と g の形式次数の積、f が非ゼロ定数なら 0、ゼロ多項式なら −1 です。本ツールはプログラミングと数値ライブラリで主流の定数項先規約を使います：配列 [a0, a1, a2, …, am] は a0 + a1·x + a2·x² + … + am·x^m です。

同じ規約が g と返される合成配列にも適用されます。代数展開は Horner の入れ子形 a0 + g·(a1 + g·(a2 + …)) で行い、各段で実行中の多項式に g を掛け次の外側係数を足します—f の g を展開して同類項をまとめるのと同等ですが中間乗算は少なく済みます。すべてゼロの係数リストは有効で、次数 −1 のゼロ多項式を表します。

実務のヒント、制限、関連検索

係数の大きさを公開の絶対範囲内に保ち、次数の積が結果長の上限を十分下回るよう控えめな次数を選んでください。教室の定番は f が x² で g が 1+x なら 1+2x+x²、f が 2+3x で g が 1−x なら 5−3x、恒等 g=x との合成は f を不変のまま、です。

本ランディングは多項式合成計算、オンラインで2多項式を合成、f の g の x の展開、一方の多項式を他方へ代入を探す人向けで、多変数合成器でも因数分解でも根探索でもありません。両係数ベクトルが既にあり展開合成だけ必要なときに本機能を選び、元が書かれた式なら先に係数を解析してください。代入なしの2多項式の積だけなら専用の乗法ツールを使ってください。

往復確認は簡単：Horner から、または g のべきを展開して合成係数を手計算し、同じ十二桁丸めの公開 composition 配列と一致するか確認します。

活用例

f(g(x)) 展開の宿題確認

生徒は教科書の合成問題から外側・内側の係数リストを入力し、手展開の合成・次数・可読文字列を決定的な結果と照合してから提出します。

微積分準備の変数変換デモ

パイプラインは線形または二次の変数変換を高次の外側多項式に代入し、計算機代数依存なしで試験例を組み立てます。

よくある質問

係数の順序はどうなっていますか？

定数項が先です：[a0, a1, a2] は a0 + a1·x + a2·x² です。合成も同じ低次から高次の順です。

結果は f(g(x)) ですか、それとも g(f(x)) ですか？

常に f(g(x)) です：g を f に代入します。逆順が必要なら2つの配列を入れ替えてください。

合成の次数は何ですか？

両形式次数が正のとき deg(f∘g) は deg(f)·deg(g) です。定数とゼロ多項式は通常の代数規則に従います。

g(x)にxを入れるとどうなりますか？

fはそのまま変わりません。xを代入しても何も変わらないため、fの係数を正しい順序で入力したかを手早く確かめるのに使えます。

f(x) = 2 + 3x、g(x) = 1 − xの合成はどうなりますか？

1 − xをfのxに代入すると2 + 3 − 3xとなり、5 − 3xです。教科書でよく出る確認問題で、結果の次数は1です。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-composition

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-composition \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"f":[1,2,1],"g":[0,1]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-composition", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "f": [
      1,
      2,
      1
    ],
    "g": [
      0,
      1
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-composition",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "f": [
        1,
        2,
        1
    ],
    "g": [
        0,
        1
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-composition", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"f":[1,2,1],"g":[0,1]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"f":[1,2,1],"g":[0,1]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-composition", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "f": [
    1,
    2,
    1
  ],
  "g": [
    0,
    1
  ]
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.polynomial_composition",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

制限

`max_coeffs`	64
`max_result_coeffs`	1025
`max_abs`	1000000000000

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

空リストは沈黙でゼロ多項式を発明せず、明確な invalid_input で拒否します。経路は純粋に決定的な算術—ネットワークなし、乱数シードなし、壁時計依存なし—なので、無料ブラウザ実行器と前払い API は固定小数丸めのあと毎回同じ JSON を返します。

f(g(x)) の意味と係数の順序

空の係数配列は許されません：空はゼロ多項式ではなく欠落データであり、API は invalid_input を返し、宿題スクリプトと採点パイプラインが大きく失敗するようにします。

API の呼び出し方と返る内容

展開合成は最大1025係数まで；次数の積がその上限を超える合成は作業開始前に拒否されます。有限数の空でない必須配列2つを JSON 本体で送ってください：外側多項式の f（別名 outer, p, poly_f）と、f に代入する内側多項式の g（別名 inner, q, poly_g）。各配列は最大64係数、各係数の絶対値は1兆以内に保ち、Worker とブラウザの IEEE 倍精度で中間積が有限に留まるようにします。厳密な有限数値パターンに合う文字列数も受け付け、テキスト欄のみのクライアント向けに JSON 符号化配列文字列も受け付けます。成功時は丸めた f と g をエコーし、composition を完全展開係数リスト（定数先）、degree_f・degree_g・degree を因子と合成の形式次数、f_str・g_str・composition_str を符号が自然で単位係数を省略したコンパクトな可読多項式、formula を Horner 合成の短い英語説明、message を一行の次数要約、steps をテストで断言できる置換行の順序付き配列に設定します。検証失敗—欠落フィールド、空配列、非配列、非有限要素、公開最大超のリスト、絶対限界外の値、過大な結果、非有限中間値—は invalid_input を返し課金されません。料金は成功リクエストあたり定額 $0.002、単位は item です。

実務のヒント、制限、関連検索

クライアントを制御できるときは前整形文字列より本物の JSON 配列を送ってください。空の f または g と対にして硬い invalid_input 経路を文書化します。invalid_input を返す失敗タスクは前払い残高を消費せず、学習者が意図的に空リストを送る探索スクリプトを安く保てます。

連携の活用例

生徒向け多項式ライブラリの単体テスト

既知の正しい合成ケースと意図的な空リスト拒否を、コーディング形の期待値と継続的インテグレーション用 fixture として生成します。

技術的な質問

どちらかのリストが空だとどうなりますか？

ツールは invalid_input を返します。空配列は欠落データであり、ゼロ多項式ではありません。

多項式の合成計算は無料ですか？

ブラウザツールは無料でローカル実行です。API 呼び出しは成功リクエストあたり $0.002 の KIT 前払い残高を使い、失敗タスクは課金されません。

KITの完全なドキュメントを見る →

多項式の合成計算

無料で実行

f(g(x)) の意味と係数の順序

実務のヒント、制限、関連検索

活用例

f(g(x)) 展開の宿題確認

微積分準備の変数変換デモ

よくある質問

関連ツール

開発者向け — APIアクセス

エンドポイント

お使いのスタックから呼び出す

リクエスト例

レスポンス例

料金

制限

エラー

技術的な注記

f(g(x)) の意味と係数の順序

API の呼び出し方と返る内容

実務のヒント、制限、関連検索

連携の活用例

生徒向け多項式ライブラリの単体テスト

技術的な質問

ありがとう