تركيب كثيرات الحدود
عوّض كثيرة حدود داخل أخرى واحصل على الناتج موسعًا: مع f(x) = x² وg(x) = 1 + x يكون f(g(x)) مساويًا 1 + 2x + x² ودرجته 2. وتظهر كل خطوة. مجانًا في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
تعمل هذه الأداة داخل متصفحك — مجانًا، ولا تُرسل بياناتك إلى أي خادم
تُنشئ حاسبة تركيب كثيرات الحدود المركّب الموسّع f(g(x)) من قائمتين من المعاملات. أدخلوا كثيرة الحدود الخارجية f والداخلية g مع الحد الثابت أولاً—فيكون [1, 2, 1] يعني 1 + 2x + x تربيع و[0, 1] يعني x—وترجع الأداة معاملات التركيب بعد تعويض g في f وجمع الحدود المتشابهة وسلاسل كثيرات حدود مقروءة والدرجات الشكلية لـ f وg والمركّب مع ملاحظات هورنر خطوة بخطوة. فحوصات الواجبات والتحضير للامتحانات والقيم المتوقعة لتمارين البرمجة وعروض تغيير المتغير تحتاج إلى نفس التوسيع بالتعويض دون فتح نظام جبر حاسوبي.
معنى f(g(x)) وترتيب المعاملات
تركيب الدوال لكثيرات الحدود يعني التعويض: إذا ربطت f قيمة u بالتعبير a0 زائد a1 في u زائد a2 في u تربيع وقوى أعلى، وربطت g المتغير x بالتعبير b0 زائد b1 في x وقوى أعلى، فإن f من g من x هي كثيرة الحدود التي تحصلون عليها باستبدال كل ظهور لـ u في f بالتعبير الكامل لـ g من x، وتوسيع جداءات قوى g، وجمع قوى x المتشابهة.
النتيجة كثيرة حدود أحادية المتغير درجتها الشكلية هي جداء الدرجات الشكلية لـ f وg عندما تكونان موجبتين، أو صفراً عندما تكون f ثابتة غير صفرية، أو سالب واحد لكثيرة الحدود الصفرية. تستخدم هذه الأداة اتفاقية الحد-الثابت-أولاً السائدة في البرمجة والمكتبات العددية: المصفوفة [a0, a1, a2, …, am] تعني a0 زائد a1 في x زائد a2 في x تربيع حتى am في x مرفوعة إلى m. تنطبق الاتفاقية نفسها على g وعلى مصفوفة التركيب المُرجَعة.
يُجرى التوسيع الجبري بصيغة هورنر المتداخلة a0 زائد g في (a1 زائد g في (a2 زائد …))، فيضرب كل خطوة كثيرة الحدود الجارية في g ويضيف المعامل الخارجي التالي—وهو يكافئ توسيع f من g وجمع الحدود المتشابهة لكن بعدد أقل من الضربات الوسيطة. قائمة معاملات كلها أصفار صالحة وتمثّل كثيرة الحدود الصفرية بدرجة سالب واحد.
نصائح عملية وحدود وبحوث ذات صلة
أبقوا مقادير المعاملات ضمن النطاق المطلق المنشور وفضّلوا درجات متواضعة حتى يبقى جداء الدرجات دون سقف طول النتيجة بفارق واضح. تشمل فحوصات الصف الكلاسيكية f يساوي x تربيع مع g يساوي واحداً زائد x فينتج واحد زائد اثنين x زائد x تربيع، وf يساوي اثنين زائد ثلاثة x مع g يساوي واحداً ناقص x فينتج خمسة ناقص ثلاثة x، والتركيب مع الهوية g يساوي x فيترك f دون تغيير.
تستهدف هذه الصفحة من يبحث عن حاسبة تركيب كثيرات الحدود أو تركيب كثيرتي حدود عبر الإنترنت أو توسيع f من g من x أو تعويض كثيرة حدود في أخرى؛ وليست مركّباً متعدد المتغيرات ولا محللاً للعوامل ولا باحثاً عن الجذور. فضّلوا هذه القدرة عندما تملكون مسبقاً متجهي المعاملات وتحتاجون فقط إلى المركّب الموسّع؛ وإن كان المصدر تعبيراً مكتوباً فحللوا المعاملات أولاً. وعندما تحتاجون فقط جداء كثيرتي حدود بلا تعويض فاستخدموا أداة ضرب مخصصة بدل ذلك.
فحوصات الذهاب والعودة سهلة: أعيدوا حساب بعض معاملات التركيب يدوياً من هورنر أو بتوسيع قوى g وتأكدوا من مطابقتها لمصفوفة composition المنشورة ضمن التقريب نفسه إلى اثنتي عشرة منزلة.
حالات الاستخدام
فحوصات واجبات لتوسيع f(g(x))
يُدخل الطلاب قوائم معاملات خارجية وداخلية من مسائل تركيب الكتاب ويقارنون المركّبات الموسّعة يدوياً والدرجات والسلاسل المقروءة بنتيجة حتمية قبل التسليم.
اختبارات وحدة لمكتبات كثيرات حدود الطلاب
ولّدوا حالات تركيب معروفة الصحة مع رفض متعمّد للقوائم الفارغة لقيم متوقعة لتمارين البرمجة وتركيبات التكامل المستمر.
عروض تغيير المتغير في التحضير للتفاضل
تعوّض الأنابيب تغييراً خطياً أو تربيعياً للمتغير في كثيرة حدود خارجية أعلى درجة لبناء أمثلة امتحان دون اعتماد على نظام جبر حاسوبي.
الأسئلة الشائعة
كيف تُرتَّب المعاملات؟
الحد الثابت أولاً: [a0, a1, a2] يعني a0 + a1·x + a2·x². يستخدم التركيب الترتيب نفسه من الأدنى إلى الأعلى.
هل النتيجة f(g(x)) أم g(f(x))؟
دائماً f(g(x)): تُعوَّض g في f. بدّلوا المصفوفتين إن احتجتم الترتيب الآخر.
ماذا يحدث إذا كانت إحدى القوائم فارغة؟
المصفوفة الفارغة بيان ناقص وليست كثيرة الحدود الصفرية.
ما درجة التركيب؟
عندما تكون كلتا الدرجتين الشكلية موجبتين فإن deg(f∘g) تساوي deg(f)·deg(g). تتبع الثوابت وكثيرة الحدود الصفرية قواعد الجبر المعتادة.
ماذا يحدث إذا وضعت x مكان g؟
تبقى f كما هي دون تغيير، لأن تعويض x بنفسها لا يغير شيئًا. ويفيدك ذلك في التأكد سريعًا من أنك أدخلت معاملات f بالترتيب الصحيح.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-composition \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"f":[1,2,1],"g":[0,1]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-composition", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"f": [
1,
2,
1
],
"g": [
0,
1
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-composition",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"f": [
1,
2,
1
],
"g": [
0,
1
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-composition", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"f":[1,2,1],"g":[0,1]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"f":[1,2,1],"g":[0,1]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-composition", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"f": [
1,
2,
1
],
"g": [
0,
1
]
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.polynomial_composition",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الحدود
max_coeffs | 64 |
max_result_coeffs | 1025 |
max_abs | 1000000000000 |
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
تُرفض القوائم الفارغة بخطأ invalid_input واضح بدل اختراع كثيرة حدود صفرية بالصمت. المسار حساب حتمي خالص—بلا شبكة ولا بذور عشوائية ولا اعتماد على الساعة—فيعيد مشغّل المتصفح المجاني وواجهة API المدفوعة مسبقاً نفس JSON بعد تقريب عشري ثابت في كل استدعاء.
معنى f(g(x)) وترتيب المعاملات
لا يُسمح بمصفوفات معاملات فارغة: الفارغ بيان ناقص لا كثيرة حدود صفرية، وترجع API قيمة invalid_input حتى تفشل سكربتات الواجبات وأنابيب التصحيح بصوت عالٍ.
كيفية استدعاء API وما يُرجع
يجوز للمركّب الموسّع أن يحوي ألفاً وخمسة وعشرين معاملاً على الأكثر؛ وتُرفض التركيبات التي يتجاوز جداء درجاتها ذلك الحد قبل بدء العمل. أرسلوا جسماً JSON يحوي مصفوفتين غير فارغتين إلزاميتين من أعداد منتهية: f (أسماء بديلة outer وp وpoly_f) لكثيرة الحدود الخارجية وg (أسماء بديلة inner وq وpoly_g) لكثيرة الحدود الداخلية المعوَّضة في f. يجوز لكل مصفوفة أن تحوي ستاً وستين معاملاً على الأكثر، ويجب أن يبقى كل قيمة مطلقة للمعامل ضمن تريليون واحد حتى تظل الجداءات الوسيطة منتهية بدقة IEEE المزدوجة على Worker وفي المتصفح. تُقبل الأعداد النصية عندما تطابق نمطاً عددياً منتهياً صارماً؛ وتُقبل أيضاً سلاسل مصفوفات مرمّزة JSON للعملاء الذين يرسلون حقول نص فقط. عند النجاح تعيد الاستجابة f وg مقرَّبين، وتعيّن composition قائمة المعاملات الموسّعة الكاملة (الثابت أولاً)، وdegree_f وdegree_g وdegree للدرجات الشكلية للعوامل والمركّب، وf_str وg_str وcomposition_str لكثيرات حدود مقروءة مدمجة بإشارات معقولة ومعاملات وحدة محذوفة، وformula لوصف إنجليزي قصير لتركيب هورنر، وmessage لملخص درجة بسطر واحد، وsteps لمصفوفة مرتبة من أسطر التعويض يمكنكم إثباتها في الاختبارات. فشل التحقق—حقول ناقصة أو مصفوفات فارغة أو غير مصفوفات أو عناصر غير منتهية أو قوائم أطول من الحد المنشور أو قيم خارج الحدود المطلقة أو نتائج مفرطة الحجم أو وسائط غير منتهية—يرجع invalid_input ولا يُحاسب أبداً. التسعير مبلغ ثابت $0.002 لكل طلب ناجح بوحدة item.
نصائح عملية وحدود وبحوث ذات صلة
فضّلوا إرسال مصفوفات JSON حقيقية بدل سلاسل مسبقة التنسيق عندما تتحكمون بالعميل. اقرنوا تلك النجاحات بـ f فارغ أو g فارغ لتوثيق مسار invalid_input الصلب. المهام الفاشلة التي ترجع invalid_input لا تستهلك الرصيد المدفوع مسبقاً، فيبقى استكشاف السكربتات رخيصاً عندما يرسل المتعلمون قوائم فارغة عمداً.
أسئلة تقنية
هل حاسبة تركيب كثيرات الحدود مجانية؟
أداة المتصفح مجانية وتعمل محلياً. تستخدم استدعاءات API رصيد KIT المدفوع مسبقاً بمبلغ $0.002 لكل طلب ناجح؛ ولا تُحاسب المهام الفاشلة أبداً.