حاسبة نظرية الباقي
عند قسمة 2 - 3x + x^2 على x − 2 يكون الباقي 0، إذن 2 جذر. تحسب الحاسبة هذا الباقي على أنه p(r) بطريقة هورنر، دون قسمة مطولة، وتعرض لكم كل خطوة. مجانا في متصفحكم.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
تعمل هذه الأداة داخل متصفحك — مجانًا، ولا تُرسل بياناتك إلى أي خادم
تحسب حاسبة نظرية الباقي الباقي عند قسمة متعددة حدود أحادية المتغير p(x) على عامل خطي من الشكل x ناقص r دون إجراء القسمة الطويلة. وبموجب نظرية باقي متعددة الحدود يساوي ذلك الباقي القيمة الوحيدة p(r)، وتحسب هذه الأداة p(r) بالضرب المتداخل لهورنر حتى لا تنفجر القوى الوسيطة ويبقى كل خطوة قابلًا للتدقيق. أدخلوا المعاملات بحيث يكون الحد الثابت أولًا —فـ[2, −3, 1] تعني 2 − 3x + x تربيع— والقيمة r؛ وتعيد الاستجابة الباقي، وما إذا كانت r جذرًا، وسلسلة مقروءة لـp(x)، وسلسلة القاسم، وخطوات هورنر المرتبة التي يمكن لصقها في الواجبات أو اختبارات الوحدة.
ما تنص عليه نظرية الباقي وكيف يقيّم هورنر p(r)
تنص نظرية باقي متعددة الحدود على أنه عند قسمة أي متعددة حدود أحادية المتغير p(x) ذات معاملات حقيقية (أو نسبية) على العامل الخطي الأحادي x ناقص r، يكون الباقي الوحيد هو الثابت p(r). جبريًا هذه هي المتطابقة p(x) تساوي (x ناقص r) مضروبًا في حاصل قسمة q(x) زائد الثابت p(r). تقييم الطرف الأيمن عند x تساوي r يستعيد الباقي فورًا دون بناء q(x).
تعيد طريقة هورنر كتابة p بشكل متداخل بحيث يستخدم التقييم فقط ضربًا في r وجمع معاملات متتالية، من أعلى درجة إلى الحد الثابت. ذلك المُراكِم النهائي هو p(r) تمامًا وبالتالي الباقي. الدرجة الشكلية هي أعلى فهرس تتجاوز قيمته المطلقة إبسيلون ضئيلًا حتى لا ينفخ الغبار العددي النهائي الدرجة، ومتعددة الحدود الصفرية —كل معامل صفر بعد التقريب— مسموحة بدرجة ناقص واحد.
نصائح عملية وحدود وعمليات بحث ذات صلة
أبقوا مقادير المعاملات وr ضمن النطاق المطلق المنشور حتى لا تفيض النواتج المتتالية إلى مُراكِم غير منتهٍ يجب على المحلّ رفضه. تشمل فحوصات الصف الكلاسيكية p(x) تساوي x تربيع ناقص ثلاثة x زائد اثنين عند r تساوي اثنين، فتعطي باقيًا صفرًا لأن اثنين جذر، ونفس متعددة الحدود عند r تساوي واحدًا وتعطي باقيًا صفرًا أيضًا، أو مكعبًا مثل اثنين ناقص ثلاثة x زائد x تربيع عند r تساوي اثنين مع باقٍ غير صفري يمكن التحقق منه يدويًا.
تستهدف هذه الصفحة من يبحثون عن حاسبة نظرية الباقي، باقي متعددة الحدود عند القسمة على x ناقص r، أو تقييم p(r) بطريقة هورنر عبر الإنترنت؛ وليست قسمة تركيبية تعيد الحاصل الكامل، ولا باحث جذور يبحث عن r، ولا مقيّم متعدد المتغيرات. فضّلوا هذه القدرة عندما تكون لديكم المعاملات ومرشح r وتحتاجون الباقي أو فحص الجذر فقط؛ وإن احتجتم معاملات الحاصل الكاملة فاستخدموا القسمة التركيبية في موضع آخر.
حالات الاستخدام
اختبارات وحدة لمقيّمات متعددات الحدود
أنشئوا حالات p(r) معروفة ورفضًا متعمدًا لمعاملات ناقصة أو فارغة كقيم متوقعة لتمارين البرمجة وتجهيزات التكامل المستمر.
فحوصات جذر سريعة قبل التحليل
يجرب المدرسون والحلّالون مرشحين نسبيين لـr ويستخدمون الباقي صفرًا كمرشح سريع قبل الاستثمار في تحليل كامل أو رسم بياني.
الأسئلة الشائعة
كيف تُرتَّب المعاملات؟
الحد الثابت أولًا: [a0, a1, a2] تعني a0 + a1·x + a2·x². يسير هورنر من معامل أعلى درجة حتى a0.
ماذا يحدث إن نقصت المعاملات أو كانت فارغة؟
الحقل الناقص أو المصفوفة الفارغة ليسا متعددة حدود صفرية؛ المعاملات إلزامية.
هل تعيدون متعددة حدود الحاصل؟
لا. تعيد هذه القدرة فقط الباقي p(r) وخطوات هورنر. القسمة التركيبية الكاملة لـq(x) خارج النطاق.
ماذا يعني أن يكون الباقي 0؟
يعني أن x − r يقسم كثير الحدود قسمة تامة، وأن r جذر له. عند قسمة 2 - 3x + x^2 على x − 2 يكون الباقي 0، وهذا يؤكد أن 2 جذر.
لماذا طريقة هورنر بدلا من القسمة المطولة؟
لأنها تكتفي بالضرب في r وإضافة المعامل التالي. فلا تظهر قوى كبيرة، وتبقى كل خطوة وسيطة واضحة، وتكون القيمة الأخيرة هي الباقي مباشرة.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/remainder-theorem \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coeffs":[2,-3,1],"r":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/remainder-theorem", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"coeffs": [
2,
-3,
1
],
"r": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/remainder-theorem",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coeffs": [
2,
-3,
1
],
"r": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/remainder-theorem", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coeffs":[2,-3,1],"r":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coeffs":[2,-3,1],"r":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/remainder-theorem", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"coeffs": [
2,
-3,
1
],
"r": 2
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.remainder_theorem",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الحدود
max_coeffs | 256 |
max_abs | 1000000000000 |
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
تُرفض قوائم المعاملات الناقصة أو الفارغة بـinvalid_input بدل اختراع متعددة حدود صفرية بصمت. المسار حساب حتمي خالص —بلا شبكة، بلا بذور عشوائية، بلا اعتماد على الساعة— لذا يعيد المشغّل المجاني في المتصفح وAPI المدفوعة مسبقًا نفس JSON بعد تقريب عشري ثابت في كل استدعاء للتحضير للامتحان أو تمارين البرمجة أو فحوصات الجذور السريعة.
ما تنص عليه نظرية الباقي وكيف يقيّم هورنر p(r)
وفق اصطلاح الحد الثابت أولًا في هذه API، يعني المصفوفة [a0, a1, …, an] a0 زائد a1 مضروبًا في x حتى an مضروبًا في x مرفوعة إلى n؛ يبدأ هورنر من an، يضرب في r، يضيف a_{n−1}، يضرب في r مجددًا، ويستمر حتى إضافة a0. ما لا يُسمح به أبدًا هو حقل ناقص أو مصفوفة معاملات فارغة: الفارغ ليس متعددة حدود صفرية؛ إنه بيانات ناقصة، وتعيد API قيمة invalid_input حتى تفشل سكربتات الواجبات وأنابيب التصحيح بصوت عالٍ بدل معاملة الصمت كصفر.
كيف تستدعون API وماذا يعود
أرسلوا جسم JSON بحقلين إلزاميين: coeffs (أسماء بديلة coefficients, p, poly)، مصفوفة غير فارغة من أعداد منتهية مع الحد الثابت أولًا، وr (أسماء بديلة value, at, root)، العدد المنتهي الظاهر في القاسم x ناقص r. قد تحوي كل مصفوفة معاملات مئتين وستة وخمسين مدخلًا على الأكثر، ويجب أن تبقى كل قيمة مطلقة لمعامل ولقيمة r المطلقة ضمن تريليون حتى تظل نواتج هورنر الوسيطة منتهية بدقة IEEE المزدوجة على Worker وفي المتصفح. تُقبل أعداد السلسلة عند مطابقة نمط عددي منتهٍ صارم؛ كما تُقبل سلاسل مصفوفات مرمّزة JSON للعملاء الذين يرسلون حقول نص فقط. عند النجاح تعيد الاستجابة coeffs وr مقربين، وتعيّن remainder وp_of_r لنفس القيمة المقيّمة، وis_root إلى true عندما يكون الباقي صفرًا عدديًا ضمن إبسيلون، وdegree إلى الدرجة الشكلية لـp، وp_str وdivisor_str إلى متعددات حدود مضغوطة مقروءة، وformula إلى بيان قصير لنظرية الباقي مع هورنر، وmessage إلى ملخص سطر واحد للباقي أو الجذر، وsteps إلى مصفوفة مرتبة من أسطر تراكم هورنر يمكن التأكيد عليها في الاختبارات. فشل التحقق —coeffs أو r ناقصان، مصفوفات فارغة، غير مصفوفات، مدخلات غير منتهية، قوائم أطول من الحد المنشور، قيم خارج الحدود المطلقة، أو تراكم هورنر غير منتهٍ— يعيد invalid_input ولا يُحاسب أبدًا. التسعير ثابت $0.002 لكل طلب ناجح ببند وحدة وسعر هامشي صفري.
نصائح عملية وحدود وعمليات بحث ذات صلة
فضّلوا إرسال مصفوفات JSON حقيقية بدل سلاسل مسبقة التنسيق عندما تتحكمون في العميل. اقرنوا تلك النجاحات بحقل coeffs ناقص أو مصفوفة معاملات فارغة لتوثيق مسار invalid_input الصارم. المهام الفاشلة التي تعيد invalid_input لا تستهلك الرصيد المدفوع مسبقًا، ما يبقي سكربتات الاستكشاف رخيصة عندما يحذف المتعلمون المعاملات عمدًا.
حالات التكامل
مراجعة الواجبات حول الباقي والجذور
يدخل الطلاب معاملات الكتاب ومرشح r، ثم يقارنون الباقي وعلامة is_root بعمل هورنر اليدوي قبل تسليم واجب الجبر.
أسئلة تقنية
هل يعني الباقي الصفر أن r جذر؟
نعم. عندما يكون الباقي صفرًا عدديًا ضمن إبسيلون، يكون is_root true ويقسم (x − r) متعددة الحدود p(x) تمامًا.
هل حاسبة نظرية الباقي مجانية؟
أداة المتصفح مجانية وتعمل محليًا. تستخدم استدعاءات API رصيد KIT المدفوع مسبقًا بمبلغ $0.002 لكل طلب ناجح؛ والمهام الفاشلة لا تُحاسب أبدًا.