حاسبة فضاء الأعمدة
احصل على أساس لفضاء الأعمدة في أي مصفوفة: مع الصفوف (1, 2, 3) و(2, 4, 6) و(1, 0, 1) يتكوّن الأساس من العمودين الأصليين (1, 2, 1) و(2, 4, 0)، فيكون البُعد 2. تظهر كل خطوة حذف. مجانية في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
تعمل هذه الأداة داخل متصفحك — مجانًا، ولا تُرسل بياناتك إلى أي خادم
تجيب حاسبة فضاء الأعمدة عن سؤال كلاسيكي في الجبر الخطي: ما المتجهات التي تولّد فضاء أعمدة مصفوفة حقيقية؟ أدخل المصفوفة على شكل صفوف رقمية متداخلة أو كنص عادي بفواصل وفواصل أسطر؛ تجري الأداة حذفاً غاوسياً مع محاور جزئية على نسخة عمل، وتحدد الأعمدة المحورية ضمن عتبة إبسلون ثابتة، وتعيد أعمدة المصفوفة الأصلية المقابلة لها بوصفها أساساً — لأن العمليات الصفية الأولية تحافظ على التبعيات الخطية بين الأعمدة، فإن أعمدة الشكل المختزل المحورية تنتقي أعمدة مستقلة من المدخل. يتضمن الرد متجهات الأساس، والبُعد (الذي يساوي الرتبة)، ومؤشرات الأعمدة المحورية المعدودة من الصفر، والمصفوفة الأصلية المقرّبة، والشكل الصفي المدرّج، وخطوات الحذف مرتبة. تحتاج التحقق من الواجبات والتحضير للامتحانات والتحقق المسبق لطريقة المربعات الصغرى وتجهيز اختبارات البرمجة إلى ذلك الأساس نفسه دون تشغيل نظام جبر حاسوبي.
ما فضاء الأعمدة ولماذا تعطي الأعمدة المحورية أساساً
فضاء أعمدة مصفوفة حقيقية A ذات أبعاد m×n — ويُكتب Col A — هو مجموعة كل التراكيب الخطية لأعمدتها، وهو بالضبط مجموعة المتجهات b التي يكون للمعادلة Ax = b حل من أجلها. بُعده هو رتبة A، والأساس أصغر مجموعة أعمدة ما تزال تولّد الفضاء كله. النظرية المعتمدة هنا هي أن العمليات الصفية الأولية تحافظ على العلاقات الخطية بين الأعمدة: إذا كان العمود الثالث في الشكل المدرّج يساوي ضعف العمود الأول، فإن العمود الثالث في المصفوفة الأصلية يساوي ضعف الأول أيضاً.
لذلك فإن أعمدة A الواقعة في مواضع المحاور من الشكل المدرّج مستقلة خطياً، وكل عمود آخر تركيب منها، وهي معاً تشكّل أساساً لـ Col A. انتبه للنقطة الدقيقة التي يغفل عنها الطلاب: متجهات الأساس تؤخذ من المصفوفة الأصلية لا من المختزلة — فأعمدة الشكل المدرّج المحورية تولّد عموماً فضاءً جزئياً مختلفاً من R^m، رغم اشتراك الفضاءين في البُعد نفسه. القيَم التي تبلغ قيمتها المطلقة عتبة إبسلون الثابتة أو تدنو منها بعد الحذف تُعامل أصفاراً تامة، فلا يولّد إلغاء الفاصلة العائمة في الأعمدة شبه التابعة محاور وهمية تضخّم البُعد المُعلَن.
يذكر الناتج كل عملية تبديل وحذف بالترتيب، لتتحقق من مسار الخوارزمية يدوياً أو في مجموعة اختبارات دون إعادة اشتقاق الحساب بنفسك.
نصائح عملية وحدود وعمليات بحث ذات صلة
أبقِ كل قيمة ضمن النطاق المطلق المنشور، وفضّل إرسال مصفوفات أرقام متداخلة عندما تتحكم في العميل؛ فالصيغة النصية ملائمة للصق من جداول البيانات لكنها تُحلل بالقواعد الرقمية نفسها. مثال محلول كلاسيكي هو المصفوفة الثلاثية ذات الصفوف [1,2,3] و[2,4,6] و[1,0,1]: العمود الثاني ضعف الأول وينهار فضاء الصفوف، فيجد الحذف محاور في العمودين صفر وواحد فقط، ويكون الأساس أول عمودين أصليين ببُعد اثنين. المصفوفة الصفرية هي الحالة الحدية التي يجب تذكرها في الاختبارات: لا محاور لها، وفضاء أعمدتها هو المتجه الصفري المنفرد، فتعيد الأداة أساساً فارغاً ببُعد صفر ورسالة توضيحية لا خطأ.
عندما تكون الأعمدة قريبة من التبعية دون بلوغها — وهو شائع في بيانات المستشعرات ومصفوفات تصميم المربعات الصغرى — تحسم عتبة إبسلون الثابتة الأمر، فتوقع إسقاط الأعمدة الحدية بوصفها تراكيب لسابقاتها بدلاً من الإبلاغ عن أساس كامل الرتبة هش. تستهدف هذه الصفحة من يبحث عن حاسبة فضاء الأعمدة أو أساس فضاء الأعمدة عبر الإنترنت أو أساس الأعمدة المحورية؛ وهي ليست أداة SVD ولا مُعامِد (فالأساس جزء من الأعمدة الأصلية لا ناتج Gram-Schmidt) ولا حلالاً للفضاء الصفري — اقرنها بقدرة رتبة أو فضاء صفري إن احتجتهما.
التحقق الدائري سهل: اضرب الأساس في معاملات التبعية المقروءة من الشكل المدرّج وتأكد أن كل عمود محذوف يُستعاد تماماً بعد التقريب، وتأكد أن تبديل عمودين في المدخل يغيّر مجموعة المحاور بشكل متوقع.
حالات الاستخدام
التحقق من الواجبات في تمارين أساس فضاء الأعمدة
يلصق الطلاب مصفوفات الكتب الدراسية ويقارنون أعمدتهم المحورية ومتجهات أساسهم المختارة يدوياً بنتيجة حتمية قبل التسليم.
اختبارات وحدية لشيفرة الجبر الخطي الطلابية
ولّد أساسات صحيحة معلومة لمصفوفات كاملة الرتبة وناقصة الرتبة وصفرية، إضافة إلى حالات رفض متعمدة لقيم غير منتهية لتكون قيماً متوقعة في تمارين البرمجة.
فحوص مسبقة لاختيار الخصائص في خطوط معالجة البيانات
تكشف الخطوط الأعمدة الرقمية الزائدة في مصفوفة التصميم: الأعمدة غير المحورية تراكيب خطية لسابقاتها ويمكن إسقاطها قبل الملاءمة.
الأسئلة الشائعة
كيف يُحسب أساس فضاء الأعمدة هنا؟
تختزل الأداة نسخة عمل من المصفوفة إلى الشكل الصفي المدرّج بمحاور جزئية، ثم تأخذ أعمدة المصفوفة الأصلية عند المواضع المحورية. تلك الأعمدة تشكّل أساساً لفضاء الأعمدة.
لماذا يستخدم الأساس أعمدة المصفوفة الأصلية لا المختزلة؟
العمليات الصفية تغيّر فضاء الأعمدة نفسه لكنها تحافظ على العلاقات الخطية بين الأعمدة. المواضع المحورية تحدد أي الأعمدة الأصلية مستقلة، لذا يجب أخذ الأساس من مصفوفة المدخل.
ماذا تعيد المصفوفة الصفرية؟
أساساً فارغاً ببُعد 0: فضاء أعمدة المصفوفة الصفرية هو المتجه الصفري وحده، ولا متجهات أساس له. هذه نتيجة نجاح صحيحة وليست خطأ.
ماذا يخبرني فضاء الأعمدة عن حل النظام Ax = b؟
هو بالضبط مجموعة المتجهات b التي يكون للنظام Ax = b حل عندها. فإذا وقع b خارج فضاء الأعمدة فلا حل للنظام مهما جرّبت من قيم x.
هل يمكنني لصق مصفوفة من جدول بيانات؟
نعم. اكتب كل صف في سطر مستقل أو افصل بين الصفوف بفاصلة منقوطة، وافصل بين العناصر بفواصل أو مسافات. يُقرأ النص بالقواعد نفسها حتى 32 صفًا و32 عمودًا.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/column-space \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"matrix":[[1,2,3],[2,4,6],[1,0,1]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/column-space", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"matrix": [
[
1,
2,
3
],
[
2,
4,
6
],
[
1,
0,
1
]
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/column-space",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"matrix": [
[
1,
2,
3
],
[
2,
4,
6
],
[
1,
0,
1
]
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/column-space", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"matrix":[[1,2,3],[2,4,6],[1,0,1]]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[1,2,3],[2,4,6],[1,0,1]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/column-space", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"matrix": [
[
1,
2,
3
],
[
2,
4,
6
],
[
1,
0,
1
]
]
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.column_space",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الحدود
max_rows | 32 |
max_cols | 32 |
max_abs | 1000000000000 |
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
أي قيمة غير منتهية — NaN أو Infinity أو نص غير رقمي — تؤدي إلى رفض الطلب بـ invalid_input بدلاً من إخراج نتائج فاسدة بصمت. المسار حساب حتمي خالص — بلا شبكة ولا بذور عشوائية ولا اعتماد على التوقيت — لذا يعيد مشغّل المتصفح المجاني وواجهة API المدفوعة مسبقاً JSON ذاته بعد تقريب عشري ثابت في كل استدعاء.
ما فضاء الأعمدة ولماذا تعطي الأعمدة المحورية أساساً
تجري هذه الأداة حذفاً غاوسياً مع محاور جزئية، إذ تبدّل الصف النشط بالصف الحامل لأكبر قيمة مطلقة في العمود الحالي لتبقى عوامل القسمة في أفضل حالة عددية ممكنة ضمن حساب الصفوف الأولية في أعداد IEEE مزدوجة الدقة.
كيفية استدعاء API وما الذي يعود به
يُقبل إما مصفوفة صفوف رقمية متساوية الطول — ثلاثة صفوف من ثلاثة أرقام مثلاً — أو كتلة نصية تفصل فيها الأسطر أو الفواصل المنقوطة بين الصفوف والفواصل أو المسافات بين القيَم. أرسل جسم JSON يتضمن حقل matrix الإلزامي (وأسماؤه البديلة rows وA وdata). يجب أن تكون كل قيمة رقماً منتهياً لا تتجاوز قيمته المطلقة الحد المنشور البالغ تريليوناً، وألا تتجاوز المصفوفة كاملة اثنين وثلاثين صفاً واثنين وثلاثين عموداً ليبقى العمل تفاعلياً في Worker والمتصفح. عند النجاح يضبط الرد dimension على حجم الأساس (المساوي للرتبة)، وrows وcols على أبعاد المدخل، وpivot_columns على مؤشرات الأعمدة المحورية المعدودة من الصفر بترتيب الفحص، وbasis على مصفوفة متجهات أعمدة مأخوذة من المصفوفة الأصلية عند تلك المؤشرات، وmatrix على الأصل المقرّب، وrow_echelon على الشكل المختزل المقرّب، وmessage على ملخص إنجليزي قصير، وsteps على مصفوفة مرتبة من ملاحظات الحذف. فشل التحقق — غياب matrix، أو صفوف فارغة، أو قيَم غير منتهية أو خارج النطاق، أو أبعاد تتجاوز الحدود، أو أطوال صفوف غير متسقة — يعيد invalid_input ولا يُحتسب أبداً. التسعير ثابت بقيمة $0.002 لكل طلب ناجح مع بند unit وسعر وحدة هامشي صفري. من يحتاج البُعد فقط يقرأ حقل dimension ويتجاهل الأساس، ومن يحتاج علاقات التبعية يسترجعها من حقل row_echelon حيث يعبّر كل عمود غير محوري عن كيفية تركيبه للأعمدة المحورية الواقعة يساره.
نصائح عملية وحدود وعمليات بحث ذات صلة
المهام الفاشلة التي تعيد invalid_input لا تستهلك الرصيد المدفوع مسبقاً، ما يُبقي النصوص الاستكشافية رخيصة حين يرسل المتعلمون عمداً صفوفاً غير متسقة أو نصاً رمزياً.
أسئلة تقنية
ماذا لو لم تكن إحدى القيم رقماً منتهياً؟
وجود NaN أو Infinity أو خلايا فارغة أو نص غير رقمي يجعل الطلب invalid_input مع رسالة تسمي الموضع المخالف. الطلبات الفاشلة لا تُحتسب أبداً.
هل حاسبة فضاء الأعمدة مجانية؟
أداة المتصفح مجانية وتعمل محلياً. تستخدم استدعاءات API رصيد KIT المدفوع مسبقاً بقيمة $0.002 لكل طلب ناجح؛ والمهام الفاشلة لا تُحتسب أبداً.