ForHosting KIT · الرياضيات

حاسبة الفضاء الصفري

الصفان (1, 2, 3) و(2, 4, 6) رتبتهما 1، لذا يحتاج فضاؤهما الصفري إلى متجهي أساس هما (−2, 1, 0) و(−3, 0, 1). أدخل المصفوفة صفًا صفًا لتحصل على أساس النواة والصفرية والرتبة. مجاني في متصفحك.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

تجيب حاسبة الفضاء الصفري عن سؤال الجبر الخطي Ax يساوي صفرًا: أي متجهات x في الفضاء الحقيقي ذي البعد n ترسلها مصفوفة A، المعطاة صفوفًا من مداخل عددية، إلى الأصل؟ تبني هذه الأداة أساسًا لذلك النواة باختزال المصفوفة إلى الصورة المدرَّجة المختزلة للصفوف، وقراءة الأعمدة الحرة كمتغيرات حرة، وتجميع حل خاص لكل متغير حر بحيث يحقق كل متجه مُعاد A v يساوي صفرًا. عندما تكون رتبة الأعمدة كاملة تكون النواة تافهة والأساس قائمة فارغة؛ وعندما تقل الرتبة عن عدد الأعمدة يقول مبرهنة الرتبة أن بُعد النواة يساوي n ناقص الرتبة، ويعود ذلك العدد من المتجهات المستقلة كمصفوفات. تحتاج فحوصات الواجبات ومفاتيح تصحيح الامتحان ونوى نظرية التحكم واختبارات وحدات حلول الطلاب إلى الأساس الحتمي نفسه دون تشغيل نظام جبر حاسوبي.

ما الفضاء الصفري وكيف يُبنى أساس من RREF

الفضاء الصفري، ويُدعى أيضًا النواة، لمصفوفة حقيقية m في n هي مجموعة كل متجهات الأعمدة x في R^n بحيث يساوي A x المتجه الصفري في R^m. وهو دائمًا فضاء جزئي: يحتوي الأصل وهو مغلق تحت الجمع والضرب في عدد سلمي. بُعده هو بُعد نواة A.

تنص مبرهنة الرتبة على أن رتبة A زائد بُعد نواتها يساوي n، عدد الأعمدة؛ لذا فإن مصفوفة كاملة رتبة الأعمدة لها نواة تافهة عضوُها الوحيد المتجه الصفري، بينما لمصفوفة ناقصة الرتبة نواة موجبة البعد. تجد هذه الحاسبة أساسًا بحذف غاوس-جوردان مع محورة جزئية حتى الصورة المدرَّجة المختزلة للصفوف. كل واحد قائد محور؛ والأعمدة بلا محور حرة.

قائمة المصفوفات الناتجة تولّد النواة وهي مستقلة خطيًا بالبناء، وهو تعريف القاعة الدراسية للأساس. تُعامل المداخل التي تهبط قيمتها المطلقة إلى إبسلون ثابت أو دونه بعد الحذف كأصفار تامة حتى لا يخترع الإلغاء العائم محاور وهمية ولا يخفي عمودًا حرًا حقيقيًا. يهتم المعلمون والمصححون الآليون برفض غير المنتهي بقدر اهتمامهم بالمتجهات: الخلية التي ليست عددًا منتهيًا ليست مدخل مصفوفة، والإكراه الصامت يخفي ذلك الخطأ.

نصائح عملية وحدود وعمليات بحث ذات صلة

أبقِ كل مدخل ضمن المدى المطلق المنشور وفضّل إرسال مصفوفات أعداد متداخلة عندما تتحكم بالعميل. تُسقط المحاور شبه الصفرية بعد الإلغاء العائم باختبار الإبسلون حتى لا يضخّم الضجيج الرتبة على صفوف شبه تابعة، مما كان سيقلص النواة المبلَّغ عنها. تستهدف هذه الصفحة الباحثين عن حاسبة فضاء صفري أو نواة مصفوفة أو أساس ker A عبر الشبكة؛ وليست أداة تفكيك قيم مفردة، ولا حالّ قيم ذاتية، ولا باحث حل خاص لـ Ax يساوي b.

فضّل هذه القدرة عندما لديك صفوف عددية وتحتاج فقط أساس النواة؛ وإن كان المصدر مسألة نصية فركّب مصفوفة المعاملات أولًا. فحوصات الذهاب والإياب سهلة: اضرب كل متجه أساس معاد في المصفوفة الأصلية وتأكد من صفر عددي، وتأكد أن إسقاط صف مستقل لا يغيّر النواة بينما إسقاط عمود قد يغيّرها. استخدم أدوات الرتبة والصورة المدرَّجة المختزلة ذات الصلة عندما تحتاج تلك الكائنات الوسيطة في صفحاتها.

حالات الاستخدام

مراجعة واجبات أسس النواة

يلصق الطلاب صفوف معاملات الكتاب ويقارنون أساس الحلول الخاصة والرتبة والأعمدة الحرة بنتيجة حتمية قبل التسليم.

اختبارات وحدات لشيفرة الجبر الخطي

ولّد نوى تافهة وأحادية البعد وأعلى بعدًا مرجعية، مع رفض متعمد لمداخل غير منتهية، لقيم متوقعة لتمارين البرمجة.

فحوصات مسبقة للنواة في النماذج والتحكم

تؤكد خطوط المعالجة أن لمصفوفة تصميم أو قيود بُعد النواة المتوقع قبل حل جمل متجانسة أو فحص اتجاهات غير قابلة للرصد.

الأسئلة الشائعة

كيف يُحسب أساس الفضاء الصفري هنا؟

تختزل الأداة نسخة عمل من المصفوفة إلى الصورة المدرَّجة المختزلة للصفوف بمحورة جزئية، ثم تبني حلًا خاصًا لكل عمود حر. تشكل تلك المتجهات أساس ker(A).

ماذا يحدث إن لم يكن المدخل عددًا منتهيًا؟

NaN وInfinity والخلايا الفارغة والرموز غير العددية ليست مداخل مصفوفة ولا تُحسب أبدًا.

هل يحل هذا Ax = b لطرف أيمن غير صفري؟

لا. يعيد فقط أساس النواة المتجانسة. لحل خاص لجملة غير متجانسة استخدم حالّ مصفوفة موسَّعة.

ما الصفرية وما علاقتها بالرتبة؟

الصفرية هي عدد المتجهات في أساس الفضاء الصفري. وتنص مبرهنة الرتبة والصفرية على أن مجموعهما يساوي عدد الأعمدة، فالمصفوفة ذات 3 أعمدة ورتبة 1 تكون صفريتها 2.

كيف أتحقق من صحة متجه في الأساس؟

اضرب المصفوفة الأصلية في المتجه، ويجب أن يكون الناتج صفرًا في كل صف. مع المتجه (−2, 1, 0) والصف (1, 2, 3) يكون المجموع −2 + 2 + 0، أي صفرًا.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/math/null-space

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/null-space \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"rows":[[1,2,3],[2,4,6]]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/null-space", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "rows": [
      [
        1,
        2,
        3
      ],
      [
        2,
        4,
        6
      ]
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/math/null-space",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "rows": [
        [
            1,
            2,
            3
        ],
        [
            2,
            4,
            6
        ]
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/null-space", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"rows":[[1,2,3],[2,4,6]]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"rows":[[1,2,3],[2,4,6]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/null-space", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "rows": [
    [
      1,
      2,
      3
    ],
    [
      2,
      4,
      6
    ]
  ]
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "math.null_space",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الحدود

`max_rows`	32
`max_cols`	32
`max_abs`	1000000000000

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

يجب أن يكون كل مدخل عددًا منتهيًا: تُرفض NaN وInfinity والرموز غير العددية بـ invalid_input بدل الإكراه الصامت. المسار حساب خالص بإبسلون ثابت وتقريب إلى اثنتي عشرة منزلة، لذا يعيد مشغّل المتصفح المجاني وAPI مسبقة الدفع نفس JSON في كل استدعاء.

ما الفضاء الصفري وكيف يُبنى أساس من RREF

لكل عمود حر j يبني الخوارزم حلًا خاصًا: يثبت المتغير الحر x_j على واحد، وبقية المتغيرات الحرة على صفر، ويقرأ المتغيرات المقيدة كمداخل RREF المنفية لذلك العمود الحر. يتيح الحقلان المنشوران pivot_columns وfree_columns إثبات مسار الخوارزم في الاختبارات أو أوراق العمل دون إعادة اشتقاق السلم يدويًا.

كيفية استدعاء API وما الذي يعود

اقرن الاستجابة بمرسامك إن احتجت رسمًا للنواة في R^2 أو R^3؛ يعيد هذا الطرف الأساس الجبري فقط ولا يصدر رسومًا ولا نثرًا خطوة بخطوة سوى الحقول المنظمة. أرسل جسم JSON بحقل إلزامي rows، مع الاسمين البديلين matrix وA. يجب أن تكون القيمة مصفوفة متداخلة من صفوف متساوية الطول لأعداد منتهية — مثل صفين من ثلاثة أعداد لكل منهما — حتى يرسم نموذج الويب محرر صفوف لا صندوق JSON خام. يجب أن يكون كل مدخل عددًا منتهيًا قيمته المطلقة ضمن الحد المنشور تريليون واحد، وألا تتجاوز المصفوفة كلها اثنين وثلاثين صفًا واثنين وثلاثين عمودًا ليبقى عمل Worker والمتصفح تفاعليًا. عند النجاح تضبط الاستجابة basis إلى مصفوفة مصفوفات، متجه نواة لكل عمود حر من اليسار إلى اليمين؛ وnullity إلى عدد تلك المتجهات؛ وrank إلى عدد المحاور؛ وrow_count وcol_count إلى الأبعاد؛ وtrivial إلى ما إذا كانت النواة الأصل فقط؛ وpivot_columns وfree_columns إلى فهارس صفرية الأساس؛ وmatrix إلى صدى مقرب للأصل. فشل التحقق — غياب rows، صفوف فارغة، أي مدخل غير منتهٍ، مقادير فوق الحد، أبعاد فوق الأسقف، أو أطوال صفوف غير متسقة — يعيد invalid_input ولا يُحسب أبدًا. التسعير مبلغ ثابت $0.002 لكل طلب ناجح بوحدة item.

نصائح عملية وحدود وعمليات بحث ذات صلة

عند التدريس قارن الأمثلة: المصفوفة الكلاسيكية اثنان في ثلاثة التي صفها الثاني ضعف الأول رتبتها واحد ونواتها ثنائية البعد يولدها ناقص اثنين واحد صفر وناقص ثلاثة صفر واحد؛ هوية اثنين في اثنين نواتها تافهة وأساسها فارغ؛ مصفوفة صفرية اثنان في اثنين بُعد نواتها اثنان والأساس المعياري للمستوي؛ وخلية برمز غير عددي توضح مسار invalid_input الصارم لمدخل ليس عددًا منتهيًا. المهام الفاشلة التي تعيد invalid_input لا تستهلك الرصيد المسبق، مما يبقي سكربتات الاستكشاف رخيصة عندما يرسل المتعلمون خلية غير منتهية عمدًا.

أسئلة تقنية

ماذا يعني أساس فارغ؟

المصفوفة كاملة رتبة الأعمدة، لذا الحل الوحيد لـ Ax = 0 هو المتجه الصفري. النواة تافهة وبُعدها صفر.

كم تكلفة حاسبة الفضاء الصفري؟

أداة المتصفح مجانية. تستخدم طلبات API رصيد KIT المسبق بمبلغ $0.002 لكل استدعاء ناجح؛ والمدخل غير الصالح لا يُحسب.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

ما الفضاء الصفري وكيف يُبنى أساس من RREF

نصائح عملية وحدود وعمليات بحث ذات صلة

حالات الاستخدام

مراجعة واجبات أسس النواة

اختبارات وحدات لشيفرة الجبر الخطي

فحوصات مسبقة للنواة في النماذج والتحكم

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الحدود

الأخطاء

ملاحظات تقنية

ما الفضاء الصفري وكيف يُبنى أساس من RREF

كيفية استدعاء API وما الذي يعود

نصائح عملية وحدود وعمليات بحث ذات صلة

أسئلة تقنية

شكرًا