Calcolatore dello spazio nullo
Le righe (1, 2, 3) e (2, 4, 6) hanno rango 1, quindi il loro spazio nullo richiede due vettori di base: (−2, 1, 0) e (−3, 0, 1). Inserisca una matrice riga per riga e ottenga base del nucleo, nullità e rango. Gratis nel suo browser.
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Un calcolatore dello spazio nullo risponde alla domanda di algebra lineare Ax uguale a zero: quali vettori x dello spazio reale di dimensione n una matrice A, data come righe di voci numeriche, invia all'origine? Questo strumento costruisce una base di quel nucleo riducendo la matrice in forma ridotta a scala per righe, leggendo le colonne libere come variabili libere e assemblando una soluzione speciale per ogni variabile libera, così che ogni array restituito soddisfa A v uguale a zero. Quando la matrice ha rango di colonna pieno il nucleo è banale e la base è l'elenco vuoto; quando il rango è minore del numero di colonne, il teorema rango-nullità afferma che la nullità vale n meno il rango, e altrettanti vettori indipendenti tornano come array. Controlli dei compiti, oracoli d'esame, nuclei di teoria del controllo e test unitari di risolutori studenteschi necessitano di quella stessa base deterministica senza avviare un sistema di algebra computazionale.
Che cos'è lo spazio nullo e come una base nasce dalla RREF
Lo spazio nullo, detto anche nucleo, di una matrice reale m per n A è l'insieme di tutti i vettori colonna x in R^n tali che A x uguaglia il vettore nullo in R^m. È sempre un sottospazio: contiene l'origine ed è chiuso rispetto all'addizione e alla moltiplicazione per uno scalare. La sua dimensione è la nullità di A.
Il teorema rango-nullità afferma che il rango di A più la nullità di A uguaglia n, il numero di colonne; così una matrice a rango di colonna pieno ha un nucleo banale il cui unico membro è il vettore nullo, mentre una matrice a rango deficiente ha un nucleo di dimensione positiva. Questo calcolatore trova una base mediante eliminazione di Gauss-Jordan con pivoting parziale fino alla forma ridotta a scala per righe. Ogni uno direttivo è un pivot; le colonne senza pivot sono libere.
L'elenco risultante di array genera il nucleo ed è linearmente indipendente per costruzione, che è esattamente la definizione scolastica di una base. Le voci il cui valore assoluto cade a o sotto un epsilon fisso dopo l'eliminazione sono trattate come zeri esatti affinché la cancellazione in virgola mobile non inventi pivot fantasma né nasconda una colonna libera vera.
Docenti e valutatori automatici tengono al rifiuto del non finito tanto quanto ai vettori: una cella che non è un numero finito non è una voce di matrice, e una coercizione silenziosa nasconderebbe quell'errore.
Consigli pratici, limiti e ricerche collegate
Mantenga ogni voce entro l'intervallo assoluto pubblicato e preferisca inviare array di numeri annidati quando controlla il client. I pivot quasi nulli dopo cancellazione in virgola mobile sono scartati dal test di epsilon affinché il rumore non gonfi il rango su righe quasi dipendenti, il che restringerebbe il nucleo riferito.
Questa pagina si rivolge a chi cerca un calcolatore dello spazio nullo, il nucleo di una matrice o una base di ker A in rete; non è uno strumento di decomposizione in valori singolari, né un risolutore di autovalori, né un cercatore di soluzione particolare di Ax uguale a b. Preferisca questa capacità quando ha già righe numeriche e le serve solo una base del nucleo; se la fonte è un problema enunciato, assembli prima la matrice dei coefficienti.
I controlli andata e ritorno sono semplici: moltiplichi ogni vettore di base restituito per la matrice originale e confermi uno zero numerico, e confermi che togliere una riga indipendente non cambia il nucleo mentre togliere una colonna può. Usi strumenti affini di rango e di forma ridotta a scala quando Le servono quegli oggetti intermedi nelle rispettive pagine.
Casi d'uso
Controllo dei compiti sulle basi del nucleo
Gli studenti incollano righe di coefficienti da manuale e confrontano la base delle soluzioni speciali, il rango e le colonne libere con un risultato deterministico prima di consegnare.
Test unitari per codice di algebra lineare
Generi nuclei banali, unidimensionali e di dimensione superiore di riferimento, più rifiuti deliberati di voci non finite, per valori attesi di kata.
Controlli preliminari del nucleo in modelli e controllo
Le pipeline affermano che una matrice di progetto o di vincoli ha la nullità attesa prima di risolvere sistemi omogenei o ispezionare direzioni non osservabili.
Domande frequenti
Come viene calcolata qui la base dello spazio nullo?
Lo strumento riduce una copia di lavoro della matrice in forma ridotta a scala per righe con pivoting parziale, poi costruisce una soluzione speciale per ogni colonna libera. Quei vettori formano una base di ker(A).
Che cosa accade se una voce non è un numero finito?
NaN, Infinity, celle vuote e token non numerici non sono voci di matrice e non vengono mai addebitati.
Che cosa significa una base vuota?
Il nucleo è banale e la nullità vale zero.
Risolve Ax = b per un termine noto non nullo?
No. Restituisce solo una base del nucleo omogeneo. Per una soluzione particolare di un sistema inomogeneo, usi un risolutore di matrice aumentata.
Che cos'è la nullità e come si lega al rango?
La nullità è il numero di vettori nella base dello spazio nullo. Il teorema del rango dice che rango più nullità è uguale al numero di colonne: una matrice con 3 colonne e rango 1 ha nullità 2.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/null-space \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"rows":[[1,2,3],[2,4,6]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/null-space", {
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2,
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res = requests.post(
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/null-space", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"rows":[[1,2,3],[2,4,6]]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"rows":[[1,2,3],[2,4,6]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/null-space", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"rows": [
[
1,
2,
3
],
[
2,
4,
6
]
]
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.null_space",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Limiti
max_rows | 32 |
max_cols | 32 |
max_abs | 1000000000000 |
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Ogni voce deve essere un numero finito: NaN, Infinity e token non numerici vengono rifiutati con invalid_input invece di essere coerciti in silenzio. Il percorso è aritmetica pura con un epsilon fisso e arrotondamento a dodici decimali, così l'esecutore gratuito del browser e l'API prepagata restituiscono lo stesso JSON a ogni chiamata.
Che cos'è lo spazio nullo e come una base nasce dalla RREF
Per ogni colonna libera j l'algoritmo costruisce una soluzione speciale: fissa la variabile libera x_j a uno, le altre variabili libere a zero, e legge le variabili vincolate come le voci RREF cambiate di segno di quella colonna libera. I campi pubblicati pivot_columns e free_columns Le consentono di affermare il percorso dell'algoritmo in test o schede senza riderivare la scala a mano.
Come chiamare l'API e che cosa torna
Accoppi la risposta al proprio tracciatore se Le serve uno schizzo del nucleo in R^2 o R^3; questo estremo restituisce solo la base algebrica e non emette grafici né prosa passo passo oltre i campi strutturati. Invii un corpo JSON con un campo obbligatorio rows, con alias matrix e A. Il valore deve essere un array annidato di righe di uguale lunghezza di numeri finiti — ad esempio due righe di tre numeri ciascuna — così che il modulo web dipinga un editor di righe anziché una casella JSON grezza. Ogni voce deve essere un numero finito il cui valore assoluto resta entro il limite pubblicato di un bilione, e l'intera matrice può avere al massimo trentadue righe e trentadue colonne perché il lavoro del Worker e del browser resti interattivo. In caso di successo la risposta assegna basis a un array di array, un vettore del nucleo per colonna libera da sinistra a destra; nullity al numero di quei vettori; rank al conteggio dei pivot; row_count e col_count alle dimensioni; trivial a se il nucleo è solo l'origine; pivot_columns e free_columns a indici a base zero; e matrix a un'eco arrotondata dell'originale. Una convalida fallita — rows assente, righe vuote, qualsiasi voce non finita, magnitudini sopra il limite, dimensioni sopra i tetti o lunghezze di riga incoerenti — restituisce invalid_input e non viene mai addebitata. Il prezzo è un $0.002 fisso per richiesta riuscita con unità item.
Consigli pratici, limiti e ricerche collegate
Nell'insegnare, accoppi gli esempi: la classica matrice due per tre la cui seconda riga è il doppio della prima ha rango uno e un nucleo bidimensionale generato da meno due uno zero e meno tre zero uno; l'identità due per due ha nucleo banale e base vuota; una matrice nulla due per due ha nullità due e la base canonica del piano; e una cella con un token non numerico dimostra il percorso duro di invalid_input per una voce che non è un numero finito. Le attività fallite che restituiscono invalid_input non consumano il saldo prepagato, il che mantiene economici gli script esplorativi quando gli apprendisti inviano apposta una cella non finita.
Domande tecniche
Quanto costa il calcolatore dello spazio nullo?
Lo strumento del browser è gratuito. Le richieste API usano il saldo KIT prepagato a $0.002 per chiamata riuscita; un ingresso non valido non viene addebitato.