Nullraum-Rechner
Die Zeilen (1, 2, 3) und (2, 4, 6) haben Rang 1, also braucht ihr Kern zwei Basisvektoren: (−2, 1, 0) und (−3, 0, 1). Geben Sie eine Matrix Zeile für Zeile ein und erhalten Sie Kernbasis, Defekt und Rang. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Ein Nullraum-Rechner beantwortet die linear-algebraische Frage Ax gleich null: Welche Vektoren x des reellen n-Raums schickt eine Matrix A, gegeben als Zeilen numerischer Einträge, in den Ursprung? Dieses Werkzeug baut eine Basis jenes Kerns, indem es die Matrix auf reduzierte Zeilenstufenform bringt, freie Spalten als freie Variablen liest und je freier Variable eine spezielle Lösung zusammensetzt, sodass jedes zurückgegebene Array A v gleich null erfüllt. Hat die Matrix vollen Spaltenrang, ist der Kern trivial und die Basis die leere Liste; ist der Rang kleiner als die Spaltenzahl, sagt der Rangsatz, dass die Nullität n minus Rang beträgt, und ebenso viele unabhängige Vektoren kommen als Arrays zurück. Hausaufgabenprüfungen, Klausurorakel, Kerne der Regelungstechnik und Unit-Tests studentischer Löser brauchen dieselbe deterministische Basis, ohne ein Computer-Algebra-System zu starten.
Was der Nullraum ist und wie eine Basis aus der RREF entsteht
Der Nullraum, auch Kern genannt, einer reellen m-mal-n-Matrix A ist die Menge aller Spaltenvektoren x in R^n, für die A x den Nullvektor in R^m ergibt. Er ist stets ein Unterraum: Er enthält den Ursprung und ist abgeschlossen unter Addition und Skalarmultiplikation. Seine Dimension ist die Nullität von A.
Der Rangsatz besagt, dass Rang von A plus Nullität von A gleich n, der Spaltenzahl, ist; eine Matrix vollen Spaltenrangs hat daher einen trivialen Kern, dessen einziges Mitglied der Nullvektor ist, während eine rangdefiziente Matrix einen Kern positiver Dimension hat. Dieser Rechner findet eine Basis durch Gauß-Jordan-Elimination mit partieller Pivotisierung bis zur reduzierten Zeilenstufenform. Jede führende Eins ist ein Pivot; Spalten ohne Pivot sind frei.
Die entstehende Liste von Arrays spannt den Kern auf und ist konstruktionsbedingt linear unabhängig, genau die Unterrichtsdefinition einer Basis. Einträge, deren Absolutbetrag nach der Elimination bei oder unter einem festen Epsilon liegt, gelten als exakte Nullen, damit Gleitkomma-Auslöschung keine Phantom-Pivots erfindet und keine echte freie Spalte verbirgt. Lehrkräfte und automatisierte Bewerter achten auf die Ablehnung des Nichtendlichen ebenso wie auf die Vektoren: Eine Zelle, die keine endliche Zahl ist, ist kein Matrixeintrag, und eine stille Umwandlung würde diesen Fehler verbergen.
Praktische Tipps, Grenzen und verwandte Suchen
Halten Sie jeden Eintrag im veröffentlichten Absolutbereich und senden Sie bevorzugt verschachtelte Zahlenarrays, wenn Sie den Client steuern. Nahe-null-Pivots nach Gleitkomma-Auslöschung fallen durch den Epsilon-Test weg, damit Rauschen den Rang bei fast abhängigen Zeilen nicht aufbläht, was den gemeldeten Kern verkleinern würde. Bevorzugen Sie diese Fähigkeit, wenn Sie bereits numerische Zeilen haben und nur eine Kernbasis brauchen; stammt die Quelle aus einer Textaufgabe, stellen Sie zuerst die Koeffizientenmatrix zusammen.
Round-Trip-Prüfungen sind einfach: Multiplizieren Sie jeden zurückgegebenen Basisvektor mit der Originalmatrix und bestätigen Sie eine numerische Null, und bestätigen Sie, dass das Streichen einer unabhängigen Zeile den Kern nicht ändert, während das Streichen einer Spalte es kann. Nutzen Sie verwandte Rang- und reduzierte-Zeilenstufen-Werkzeuge, wenn Sie diese Zwischenobjekte auf eigenen Seiten brauchen.
Anwendungsfälle
Hausaufgabenkontrolle zu Kernbasen
Studierende fügen Lehrbuch-Koeffizientenzeilen ein und vergleichen die Speziallösungsbasis, den Rang und die freien Spalten mit einem deterministischen Ergebnis vor der Abgabe.
Unit-Tests für studentischen Code der linearen Algebra
Erzeugen Sie bekannte triviale, eindimensionale und höherdimensionale Kerne plus bewusste Ablehnungen nichtendlicher Einträge für erwartete Werte von Katas.
Vorabprüfungen des Kerns in Modellen und Regelung
Pipelines behaupten, dass eine Entwurfs- oder Beschränkungsmatrix die erwartete Nullität hat, bevor homogene Systeme gelöst oder unbeobachtbare Richtungen geprüft werden.
Häufige Fragen
Wie wird die Nullraum-Basis hier berechnet?
Das Werkzeug reduziert eine Arbeitskopie der Matrix mit partieller Pivotisierung auf reduzierte Zeilenstufenform und baut dann je freier Spalte eine spezielle Lösung. Diese Vektoren bilden eine Basis von ker(A).
Was geschieht, wenn ein Eintrag keine endliche Zahl ist?
NaN, Infinity, leere Zellen und nichtnumerische Token sind keine Matrixeinträge und werden nie berechnet.
Was bedeutet eine leere Basis?
Der Kern ist trivial und die Nullität ist null.
Löst dies Ax = b für eine nichtverschwindende rechte Seite?
Nein. Es liefert nur eine Basis des homogenen Kerns. Für eine partikuläre Lösung eines inhomogenen Systems nutzen Sie einen Löser für erweiterte Matrizen.
Was ist der Defekt, und wie hängt er mit dem Rang zusammen?
Der Defekt ist die Anzahl der Vektoren in der Basis des Kerns. Nach dem Rangsatz ergeben Rang und Defekt zusammen die Spaltenzahl: Eine Matrix mit 3 Spalten und Rang 1 hat den Defekt 2.
Wie prüfe ich, ob ein Basisvektor stimmt?
Multiplizieren Sie die ursprüngliche Matrix mit dem Vektor; in jeder Zeile muss null herauskommen. Für den Vektor (−2, 1, 0) und die Zeile (1, 2, 3) ergibt sich −2 + 2 + 0, also null.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
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$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"rows":[[1,2,3],[2,4,6]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/null-space", body)
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req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
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[
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2,
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4,
6
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}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.null_space",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Limits
max_rows | 32 |
max_cols | 32 |
max_abs | 1000000000000 |
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Jeder Eintrag muss eine endliche Zahl sein: NaN, Infinity und nichtnumerische Token werden mit invalid_input abgelehnt statt stillschweigend umgewandelt.
Was der Nullraum ist und wie eine Basis aus der RREF entsteht
Für jede freie Spalte j baut der Algorithmus eine spezielle Lösung: Er setzt die freie Variable x_j auf eins, die übrigen freien Variablen auf null und liest die gebundenen Variablen als die negierten RREF-Einträge jener freien Spalte. Die veröffentlichten Felder pivot_columns und free_columns erlauben Ihnen, den Algorithmuspfad in Tests oder Arbeitsblättern zu behaupten, ohne die Treppe von Hand abzuleiten.
So rufen Sie die API auf und was zurückkommt
Koppeln Sie die Antwort mit Ihrem eigenen Plotter, wenn Sie eine Skizze des Kerns in R^2 oder R^3 brauchen; dieser Endpunkt liefert nur die algebraische Basis und gibt weder Plots noch Schritt-für-Schritt-Prosa jenseits der strukturierten Felder aus. Senden Sie einen JSON-Körper mit einem Pflichtfeld rows, mit den Aliasen matrix und A. Der Wert muss ein verschachteltes Array gleichlanger Zeilen endlicher Zahlen sein — zum Beispiel zwei Zeilen mit je drei Zahlen —, damit das Webformular einen Zeileneditor statt einer rohen JSON-Box zeichnet. Jeder Eintrag muss eine endliche Zahl sein, deren Absolutbetrag innerhalb der veröffentlichten Grenze von einer Billion bleibt, und die gesamte Matrix darf höchstens zweiunddreißig Zeilen und zweiunddreißig Spalten haben, damit Worker- und Browserarbeit interaktiv bleibt. Bei Erfolg setzt die Antwort basis auf ein Array von Arrays, einen Kernvektor je freier Spalte von links nach rechts; nullity auf die Anzahl dieser Vektoren; rank auf die Pivotanzahl; row_count und col_count auf die Dimensionen; trivial darauf, ob der Kern nur der Ursprung ist; pivot_columns und free_columns auf nullbasierte Indizes; und matrix auf ein gerundetes Echo des Originals. Fehlgeschlagene Validierung — fehlendes rows, leere Zeilen, jeder nichtendliche Eintrag, Beträge über der Grenze, Dimensionen über den Obergrenzen oder inkonsistente Zeilenlängen — liefert invalid_input und wird nie berechnet. Der Preis ist ein pauschales $0.002 pro erfolgreicher Anfrage mit Einheit item.
Praktische Tipps, Grenzen und verwandte Suchen
Beim Unterrichten koppeln Sie Beispiele: Die klassische Zwei-mal-drei-Matrix, deren zweite Zeile das Doppelte der ersten ist, hat Rang eins und einen zweidimensionalen Kern, aufgespannt von minus zwei eins null und minus drei null eins; die Zwei-mal-zwei-Identität hat trivialen Kern und leere Basis; eine Zwei-mal-zwei-Nullmatrix hat Nullität zwei und die Standardbasis der Ebene; und eine Zelle mit einem nichtnumerischen Token zeigt den harten invalid_input-Pfad für einen Eintrag, der keine endliche Zahl ist. Diese Seite richtet sich an Personen, die einen Nullraum-Rechner, den Kern einer Matrix oder eine Basis von ker A online suchen; es ist kein Singulärwertzerlegungs-Werkzeug, kein Eigenwertlöser und kein Finder partikulärer Lösungen von Ax gleich b. Fehlgeschlagene Aufgaben, die invalid_input liefern, verbrauchen kein vorausbezahltes Guthaben, was explorative Skripte günstig hält, wenn Lernende absichtlich eine nichtendliche Zelle senden.
Technische Fragen
Was kostet der Nullraum-Rechner?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos. API-Anfragen nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 je erfolgreichem Aufruf; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.