Diskriminantenrechner

Ein Diskriminantenrechner wandelt drei quadratische Koeffizienten in die Zahl um, die entscheidet, wie viele reelle Wurzeln die Gleichung hat. Geben Sie a, b und c für ax Quadrat plus bx plus c gleich null ein; das Werkzeug liefert Δ gleich b Quadrat minus vier a c, eine lesbare Gleichungstextkette, die schrittweise Substitution und eine Wurzelklassifikation: zwei verschiedene reelle Wurzeln wenn Δ positiv ist, eine doppelte reelle Wurzel wenn Δ null ist, oder zwei komplex konjugierte Wurzeln wenn Δ negativ ist. Hausaufgabenprüfungen, Prüfungvorbereitung, grafische Intuition und erwartete Werte von Programmier-Kata brauchen dieselbe Entscheidung nach dem Vorzeichen von Δ ohne ein Computeralgebrasystem zu öffnen.

Eine Zahl entscheidet über die Lösungen

Bei einer quadratischen Gleichung der Form ax² + bx + c gleich null sagt die Diskriminante Δ = b² − 4ac voraus, wie viele reelle Lösungen es gibt, ohne dass Sie die Lösungen selbst ausrechnen. Ist Δ positiv, schneidet die Parabel die x-Achse zweimal: zwei verschiedene reelle Lösungen. Ist Δ genau null, berührt der Scheitel die Achse: eine doppelte Lösung. Ist Δ negativ, gibt es zwei konjugiert komplexe Lösungen und keinen Schnittpunkt.

So vermeiden Sie Vorzeichenfehler

Der häufigste Fehler ist ein vergessenes Vorzeichen beim Quadrieren von b. Bei b gleich −5 ergibt (−5)² den Wert 25, nicht −25. Prüfen Sie außerdem, ob a wirklich ungleich null ist, denn sonst liegt gar keine quadratische Gleichung vor. Ebenso leicht verwechselt man die Reihenfolge der Koeffizienten, wenn die Gleichung nicht in der Normalform steht; bringen Sie deshalb erst alles auf eine Seite. Der Rechner zeigt jede Einsetzung einzeln, sodass Sie Ihre Hausaufgabe oder Prüfungsvorbereitung Zeile für Zeile vergleichen können.

Was die Diskriminante über Ihre Gleichung verrät

Eine quadratische Gleichung in Normalform ist a mal x Quadrat plus b mal x plus c gleich null, wobei a ungleich null ist und b und c bekannte reelle Zahlen sind. Die Diskriminante ist durch die geschlossene Formel delta gleich b Quadrat minus vier a c definiert. Diese einzige reelle Zahl bestimmt vollständig die Natur der Wurzeln einer reellen quadratischen Gleichung, ohne die Wurzeln selbst zu berechnen.

Ist delta streng positiv, schneidet der Graph von y gleich ax Quadrat plus bx plus c die x-Achse zweimal, sodass es zwei verschiedene reelle Lösungen gibt, die durch die quadratische Formel mit einem nicht nullten Quadratwurzelterm geliefert werden. Ist delta genau null, berührt die Parabel die x-Achse im Scheitel, und es gibt genau eine reelle Lösung der Vielfachheit zwei —oft doppelte oder mehrfache Wurzel genannt—.

Ist delta negativ, trifft der Graph die x-Achse über den Reellen nicht; die beiden Wurzeln bilden ein komplex konjugiertes Paar, dessen Imaginärteile aus der Wurzel einer negativen Zahl stammen. Lehrkräfte und automatische Bewerter achten auf die Ablehnung von a gleich null ebenso wie auf die drei Vorzeichenfälle: ein Lernender, der a gleich null in die quadratische Formel einsetzt, hat den Definitionsbereich dieses Werkzeugs verlassen, und ein stiller Fallback auf lineare Lösung würde diesen Fehler verbergen.

Der Prüfpfad berechnet b Quadrat und vier a c mit derselben festen Rundung wie die veröffentlichten Felder neu, sodass eine erfolgreiche Antwort stets Schritte liefert, die Sie in Tests oder Arbeitsblättern prüfen können.

Praktische Tipps, Grenzen und verwandte Suchen

Halten Sie die Koeffizienten im veröffentlichten absoluten Bereich, damit b Quadrat und vier a c nicht zu einer nicht endlichen Diskriminante überlaufen, die der Löser ablehnen muss. Bevorzugen Sie Zahlen statt vorformatierter Zeichenketten, wenn Sie den Client steuern; numerische Zeichenketten werden nur akzeptiert, wenn sie einem strengen endlichen Zahlenmuster entsprechen. Nahe null liegende Diskriminanten nach Gleitkomma-Auslöschung werden als doppelte reelle Wurzel klassifiziert, damit Rauschen ein Doppelwurzelproblem nicht in zwei fast gleiche reelle Wurzeln kippt.

Bevorzugen Sie diese Fähigkeit, wenn Sie bereits a, b und c haben und nur die Vorzeichenklassifikation brauchen; stammt Ihre Quelle aus einem Textproblem, extrahieren Sie zuerst die drei Koeffizienten.