Polynom aus Nullstellen
Machen Sie aus bekannten Nullstellen ein Polynom in Normalform: Die Nullstellen 1, 2 und 3 ergeben (x − 1)(x − 2)(x − 3), ausmultipliziert x³ − 6x² + 11x − 6. Eine doppelte Nullstelle tragen Sie zweimal ein. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Ein Rechner für Polynome aus Nullstellen wandelt eine Liste reeller Nullstellen in den entwickelten Koeffizientenvektor eines univariaten Polynoms um. Geben Sie die Wurzeln r1 bis rn und optional einen von null verschiedenen Leitkoeffizienten a ein (Standard eins, monisches Polynom). Vielfachheit wird durch Wiederholen einer Wurzel in der Liste kodiert.
Von Nullstellen zu Koeffizienten: Linearfaktoren und Entwicklung
Jedes von null verschiedene univariate Polynom über den reellen Zahlen zerfällt (bis auf eine Leitskala) in Linearfaktoren für seine reellen Nullstellen und irreduzible Quadratfaktoren für komplexe konjugierte Paare. Multiplikation mit einem von null verschiedenen Leitkoeffizienten a skaliert jeden entwickelten Koeffizienten gleichmäßig und setzt den höchsten Gradkoeffizienten gleich a, wenn der formale Grad n ist. Vielfachheit ist kein separates Feld: listen Sie dieselbe Wurzel zweimal für eine Doppelwurzel, dreimal für eine dreifache, und so weiter, wie Lehrbücher (x minus zwei) im Quadrat als (x minus zwei) mal (x minus zwei) schreiben.
Die Entwicklung läuft über sukzessive Multiplikationen. Starten Sie bei der Konstanten eins, ersetzen Sie die aktuelle Koeffizientenliste durch ihr Produkt mit dem nächsten Linearfaktor (x minus ri)—eine Verschiebe-und-Subtrahier-Faltung der Länge eins—und skalieren Sie nach Verbrauch aller Wurzeln mit a. Die resultierende Folge wird mit konstantem Term zuerst gespeichert, damit sie zu Geschwister-Werkzeugen für Addition, Multiplikation und Division von Polynomen passt.
Der formale Grad ist der höchste Index, dessen Absolutwert über einem winzigen Epsilon liegt, sodass Gleitkomma-Staub den gemeldeten Grad nicht aufbläht. Klassische Prüfungen: Wurzeln eins und zwei mit Leit eins ergeben x im Quadrat minus drei x plus zwei; Wurzeln eins und minus eins mit Leit zwei ergeben zwei x im Quadrat minus zwei; eine einzelne Wurzel null ergibt das Monom x.
Unterricht, Automatisierung und Unterschied zu Nullstellenfindern
Die Suchintention eines Polynom-aus-Nullstellen-Rechners ist die Umkehrung eines Polynom-Nullstellenfinders: Lernende und Skripte kennen die Nullstellen bereits und brauchen die entwickelte Standardform, nicht umgekehrt. Tutor-Plattformen nutzen diesen Endpunkt, damit Schüler Handentwicklungen von (x minus drei)(x plus eins) gegen eine deterministische Koeffizientenliste prüfen. Prüfungsgeneratoren ziehen ganzzahlige Wurzeln, entwickeln einmal und speichern sowohl die faktorisierte Aufgabe als auch den Koeffizientenschlüssel.
Unit-Tests studentischer Polynombibliotheken brauchen bekannte Produkte von Linearfaktoren plus gezielte Ablehnungen leerer Listen. Steuer- und Signal-Demos, die Pole oder Nullstellen an Entwurfspunkten setzen, entwickeln das charakteristische Polynom ebenso ohne ein vollständiges CAS. Bevorzugen Sie diese Fähigkeit, wenn Ihre Wahrheitsquelle eine Wurzelliste ist; bevorzugen Sie den Nullstellenfinder-Geschwister, wenn Sie bereits den Koeffizientenvektor haben.
Halten Sie Wurzelbeträge und -anzahlen in den veröffentlichten Grenzen, damit sukzessive Multiplikationen nicht überlaufen. Round-Trip-Prüfungen sind einfach, wenn alle Wurzeln reell und mit Vielfachheit gelistet sind: hier entwickeln, Koeffizienten an einen Nullstellenfinder speisen und zurückgewonnene Wurzeln mit derselben Rundungspolitik vergleichen. Die Landingpage zielt auf Suchen nach Polynom aus Nullstellen, Polynom aus Nullen bauen, Linearfaktoren zu Koeffizienten entwickeln und monisches Polynom aus Wurzeln online.
Anwendungsfälle
Hausaufgabenprüfung beim Entwickeln von Linearfaktoren
Schüler geben bekannte Wurzeln und optionalen Leitkoeffizienten ein und vergleichen handentwickelte Koeffizienten und die Standardform-Zeichenkette mit einem deterministischen Ergebnis vor der Abgabe.
Prüfungsschlüssel und LMS-Auto-Bewertung
Erzeugen Sie monische oder skalierte Polynome aus gezogenen Wurzellisten, damit Korrektoren stabile Koeffizientenschlüssel ohne symbolische Software haben.
Häufige Fragen
In welcher Reihenfolge stehen die Koeffizienten?
Konstanter Term zuerst: [a0, a1, a2] bedeutet a0 + a1·x + a2·x².
Wie kodiere ich eine mehrfache Wurzel?
Listen Sie denselben Wert mehrfach. Eine Doppelwurzel bei 2 ist roots [2, 2], was (x−2)² entwickelt.
Wie setze ich einen anderen Leitkoeffizienten als 1?
Geben Sie ihn als Leitkoeffizienten an, dann werden alle Koeffizienten damit multipliziert. Mit den Nullstellen 1 und −1 und dem Leitkoeffizienten 2 entsteht 2x² − 2 statt x² − 1.
Welches Polynom entsteht aus der einzigen Nullstelle 0?
Das Monom x vom Grad 1. Jede Nullstelle liefert einen Faktor (x minus Nullstelle), die Nullstelle 0 also einfach x.
Wie viele Nullstellen kann ich eingeben?
Bis zu vierundsechzig reelle Nullstellen, jede eine endliche Zahl. Der Grad des Polynoms entspricht der Zahl der Nullstellen, Wiederholungen mitgezählt.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-from-roots \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"roots":[1,2,3]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-from-roots", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"roots": [
1,
2,
3
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-from-roots",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"roots": [
1,
2,
3
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-from-roots", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"roots":[1,2,3]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"roots":[1,2,3]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-from-roots", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"roots": [
1,
2,
3
]
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.polynomial_from_roots",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Leere Wurzellisten und ein Leitkoeffizient null scheitern mit invalid_input, statt eine stille Konstante oder einen kollabierten Grad zu erfinden.
Eingabevertrag, Antwortfelder und Fehlerverhalten
Senden Sie einen JSON-Körper mit erforderlichem roots, einem nicht leeren Array von höchstens vierundsechzig endlichen Zahlen, und optionalem leading (Aliasse a, leading_coefficient, scale) mit Standard eins. Roots akzeptiert auch Aliasse zeros, root_list und r. Jede Wurzel darf als JSON-Zahl oder als strenge numerische Zeichenkette ankommen; eine JSON-kodierte Array-Zeichenkette wird für Clients akzeptiert, die nur Textfelder senden. Absolutwerte müssen innerhalb einer Billion bleiben, damit Zwischenprodukte in IEEE-Doppelpräzision auf dem Worker und im Browser endlich bleiben. Bei Erfolg spiegelt der Körper gerundete roots und leading, setzt coefficients auf die entwickelte Liste Konstante zuerst, coefficients_high_to_low auf dieselben Werte umgekehrt für Anzeigen mit hoher Potenz zuerst, degree und root_count auf Ganzzahlen, factors_str auf ein kompaktes Produkt von Linearfaktoren mit vorangestellter Leitskala wenn sie nicht eins ist, polynomial auf eine lesbare entwickelte Form mit sinnvollen Vorzeichen und weggelassenen Einheitskoeffizienten, formula auf eine kurze Identität, message auf eine einzeilige Gradzusammenfassung und steps auf geordnete Substitutionszeilen für Goldens und Unterrichtsaufnahmen. Fehlgeschlagene Validierung—fehlende roots, leere Arrays, Nicht-Arrays, nicht endliche Einträge, Listen länger als das veröffentlichte Maximum, Werte außerhalb absoluter Grenzen, leading null oder nicht endliche Zwischenkoeffizienten—liefert invalid_input und wird nie berechnet. Der Preis ist ein festes $0.002 pro erfolgreicher Anfrage mit Einheit item.
Unterricht, Automatisierung und Unterschied zu Nullstellenfindern
Fehlgeschlagene Aufgaben mit invalid_input verbrauchen kein vorausbezahltes Guthaben, was explorative Skripte günstig hält, wenn absichtlich leere Listen oder ein Leitkoeffizient null gesendet werden.
Integrationsbeispiele
Unit-Tests für studentische Polynombibliotheken
Erzeugen Sie bekannte Entwicklungen von ∏(x−ri) plus Ablehnungen leerer Listen und leading null für Coding-Kata-Fixtures und Continuous Integration.
Technische Fragen
Wie baue ich ein Polynom aus einer Wurzelliste?
Senden Sie roots als nicht leeres Array endlicher Zahlen und optional leading (Standard 1). Die API entwickelt leading·∏(x−ri) und liefert Koeffizienten Konstante zuerst plus eine lesbare Polynom-Zeichenkette.
Was, wenn leading null ist oder roots leer?
Beides ist invalid_input. Ein Leitkoeffizient null würde den Grad kollabieren; eine leere Wurzelliste ist fehlende Faktordaten, kein dokumentierter Nur-Konstanten-Modus.
Was kostet der Polynom-aus-Nullstellen-Rechner?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos. API-Anfragen nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Aufruf; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.