Polynommultiplikation
Multiplizieren Sie Polynome ohne Flüchtigkeitsfehler aus: (1 + 2x) mal (3 + 4x) ergibt 3 + 10x + 8x², und der Grad des Produkts, 2, ist die Summe der Grade. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Ein Polynommultiplikations-Rechner wandelt zwei Koeffizientenlisten in das expandierte Produkt der entsprechenden Polynome um. Geben Sie p und q als Zahlenarrays mit dem konstanten Glied zuerst ein—so bedeutet [1, 2] 1 + 2x und [3, 4] 3 + 4x—und das Werkzeug liefert die Produktkoeffizienten, lesbare Polynomzeichenketten, Grade beider Faktoren und des Produkts sowie schrittweise Faltungsnotizen. Hausaufgabenprüfungen, Prüfungsvorbereitung, erwartete Werte von Coding-Kata und Signalverarbeitungs-Demos brauchen dieselbe diskrete Faltung ohne Computeralgebra-System.
Was Koeffizientenlisten bedeuten und wie das Produkt gebildet wird
Ein univariates Polynom ist durch seine Folge reeller Koeffizienten vollständig bestimmt, sobald die Ordnungskonvention festliegt. Dieses Werkzeug nutzt die Konstante-zuerst-Konvention, die Programmierung und numerische Bibliotheken dominiert: das Array [a0, a1, a2, …, am] steht für a0 plus a1 mal x plus a2 mal x im Quadrat bis am mal x hoch m. Die zweite Eingabe nutzt dieselbe Konvention.
Der formale Grad ist der höchste Index, dessen Absolutwert über einem winzigen Epsilon liegt, sodass eine Liste mit numerischem Staub am Ende den richtigen mathematischen Grad meldet. Das Nullpolynom—jeder Koeffizient null nach dem Runden—ist als Faktor oder Produkt erlaubt, und sein Grad wird nach der üblichen Algebra-Konvention als minus eins gemeldet.
Praktische Tipps, Grenzen und verwandte Suchen
Halten Sie Koeffizientengrößen innerhalb des veröffentlichten absoluten Bereichs, damit Paarprodukte nicht in einen nichtendlichen Faltungsterm überlaufen, den der Löser ablehnen muss. Abschließende Nullen in einer Eingabeliste bleiben in den Echo-Arrays erhalten, blähen aber den formalen Grad nach der Epsilon-Prüfung nicht auf; die Produktlänge folgt weiterhin der vollen Faltungslänge, damit Indexausrichtung für Unit-Tests vorhersehbar bleibt.
Klassische Klassenraum-Prüfungen umfassen (1 + x) mal (1 + x) gleich 1 + 2x + x im Quadrat, (2 + 3x) mal (4 − x) gleich 8 + 10x − 3x im Quadrat, und eine Konstante mal jedes Polynom skaliert jeden Koeffizienten. Bevorzugen Sie diese Fähigkeit, wenn Sie bereits beide Koeffizientenvektoren haben und nur das expandierte Produkt brauchen; ist Ihre Quelle ein geschriebener Ausdruck, parsen Sie zuerst die Koeffizienten.
Round-Trip-Prüfungen sind einfach: berechnen Sie einige product[k]-Einträge von Hand aus der Faltungsformel und bestätigen Sie, dass sie dem veröffentlichten product-Array im selben Zwölf-Dezimalstellen-Runden entsprechen.
Anwendungsfälle
Hausaufgabenprüfungen zum Expandieren von Produkten
Studierende geben zwei Koeffizientenlisten aus Lehrbuchaufgaben ein und vergleichen handexpandierte Produkte, Grade und lesbare Polynomzeichenketten mit einem deterministischen Ergebnis vor der Abgabe.
Signal- und Steuerungsdemos mit FIR-Faltung
Pipelines behandeln kurze FIR-Impulsantworten als Polynome und multiplizieren sie zur Filterkaskade mit demselben Koeffizientenprodukt ohne CAS-Abhängigkeit.
Häufige Fragen
Wie sind die Koeffizienten geordnet?
Konstantes Glied zuerst: [a0, a1, a2] bedeutet a0 + a1·x + a2·x². Das Produkt nutzt dieselbe Reihenfolge von niedrig nach hoch.
Was passiert, wenn eine Liste leer ist?
Ein leeres Array sind fehlende Daten, nicht das Nullpolynom.
Entfernt das Produkt abschließende Nullen?
Das product-Array behält die volle Faltungslänge (len(p)+len(q)−1). Der formale Grad ignoriert abschließende Nah-Nullen für das degree-Feld und die Pretty-Print-Zeichenkette.
Kann ich mehr als zwei Polynome multiplizieren?
Nicht in einem Aufruf. Multiplizieren Sie paarweise: speisen Sie das Produkt des ersten Paars als p für den nächsten Faktor ein.
Wie entsteht jeder Koeffizient des Produkts?
Der Koeffizient vor x hoch k ist die Summe aller Produkte von Koeffizienten, deren Potenzen zusammen k ergeben. Bei (1 + 2x)(3 + 4x) ist der Koeffizient vor x also 1 · 4 plus 2 · 3, das sind 10.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-multiply \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"p":[1,2],"q":[3,4]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-multiply", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"p": [
1,
2
],
"q": [
3,
4
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-multiply",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"p": [
1,
2
],
"q": [
3,
4
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-multiply", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"p":[1,2],"q":[3,4]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"p":[1,2],"q":[3,4]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-multiply", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"p": [
1,
2
],
"q": [
3,
4
]
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.polynomial_multiply",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Limits
max_coeffs | 256 |
max_abs | 1000000000000 |
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Leere Listen werden mit einem klaren invalid_input-Fehler abgelehnt statt still ein Nullpolynom zu erfinden.
Was Koeffizientenlisten bedeuten und wie das Produkt gebildet wird
Das algebraische Produkt zweier solcher Polynome ist wieder ein Polynom, dessen Koeffizient bei Grad k die Summe über i von a_i mal b_{k−i} für jedes Indexpaar innerhalb beider Arrays ist. Diese Summe ist genau die diskrete Faltung der beiden Folgen, und ihre Länge ist stets len(p) plus len(q) minus eins, bevor abschließende Nullen für die Anzeige fallen. Nicht erlaubt ist ein leeres Koeffizientenarray: leer ist kein Nullpolynom; es sind fehlende Daten, und die API liefert invalid_input, damit Hausaufgabenskripte und Bewertungspipelines laut scheitern statt Stille als null zu behandeln.
So rufen Sie die API auf und was zurückkommt
Senden Sie einen JSON-Körper mit zwei nichtleeren Pflichtarrays endlicher Zahlen: p (Aliase poly1, a, left) und q (Aliase poly2, b, right). Jedes Array darf höchstens zweihundertsechsundfünfzig Koeffizienten halten, und jeder absolute Koeffizientenwert muss innerhalb einer Billion bleiben, damit Zwischenprodukte in IEEE-Doppelpräzision auf dem Worker und im Browser endlich bleiben. Zeichenketten-Zahlen werden akzeptiert, wenn sie einem strengen endlichen Zahlenmuster entsprechen; JSON-kodierte Array-Zeichenketten ebenfalls für Clients, die nur Textfelder senden. Bei Erfolg spiegelt die Antwort gerundete p und q, setzt product auf die volle Faltungskoeffizientenliste (Konstante zuerst), degree_p, degree_q und degree auf die formalen Grade der Faktoren und des Produkts, p_str, q_str und product_str auf kompakte lesbare Polynome mit sinnvollen Vorzeichen und weggelassenen Einheitskoeffizienten, formula auf eine kurze englische Beschreibung der Koeffizientenfaltung, message auf eine einzeilige Gradzusammenfassung und steps auf ein geordnetes Array von Substitutionszeilen, die Sie in Tests behaupten können. Fehlgeschlagene Validierung—fehlende Felder, leere Arrays, Nicht-Arrays, nichtendliche Einträge, Listen länger als das veröffentlichte Maximum, Werte außerhalb absoluter Grenzen oder nichtendliche Produkte—liefert invalid_input und wird nie berechnet. Der Preis ist ein flaches $0.002 pro erfolgreicher Anfrage mit Einheits-Posten und null marginalem Einheitspreis.
Praktische Tipps, Grenzen und verwandte Suchen
Bevorzugen Sie echte JSON-Arrays statt vorformatierter Zeichenketten, wenn Sie den Client steuern. Paaren Sie diese Erfolge mit leerem p oder leerem q, um den harten invalid_input-Pfad zu dokumentieren. Diese Landing-Seite zielt auf Personen, die nach einem Polynommultiplikations-Rechner, Multiplikation zweier Polynome nach Koeffizienten oder Expandieren eines Polynomprodukts online suchen; sie ist kein multivariater Multiplikator, kein Faktorisierer und kein Nullstellenfinder. Fehlgeschlagene Aufgaben, die invalid_input liefern, verbrauchen kein vorausbezahltes Guthaben, was explorative Skripte billig hält, wenn Lernende absichtlich leere Listen senden.
Integrationsbeispiele
Unit-Tests für Studierenden-Polynombibliotheken
Erzeugen Sie bekannte gute Faltungsfälle plus absichtliche Ablehnungen leerer Listen für Coding-Kata-Erwartungswerte und Continuous-Integration-Fixtures.
Technische Fragen
Ist der Polynommultiplikations-Rechner kostenlos?
Das Browser-Tool ist kostenlos und läuft lokal. API-Aufrufe nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreicher Anfrage; fehlgeschlagene Aufgaben werden nie berechnet.