Multiplication de polynômes
Développez un produit de polynômes sans erreur : (1 + 2x) fois (3 + 4x) donne 3 + 10x + 8x², et le degré du produit, 2, est la somme des degrés. Gratuit dans votre navigateur.
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Une calculatrice de multiplication de polynômes transforme deux listes de coefficients en le produit développé des polynômes correspondants. Entrez p et q comme tableaux de nombres avec le terme constant d'abord—ainsi [1, 2] signifie 1 + 2x et [3, 4] signifie 3 + 4x—et l'outil renvoie les coefficients du produit, des chaînes de polynômes lisibles, les degrés des deux facteurs et du produit, et des notes de convolution étape par étape. Les contrôles de devoirs, la préparation d'examens, les valeurs attendues de kata de code et les démos de traitement du signal ont besoin de la même convolution discrète sans ouvrir un système d'algèbre informatique.
Ce que signifient les listes de coefficients et comment le produit est formé
Un polynôme univarié est entièrement déterminé par sa suite de coefficients réels une fois la convention d'ordre fixée. Cet outil utilise la convention terme-constant-d'abord qui domine la programmation et les bibliothèques numériques : le tableau [a0, a1, a2, …, am] représente a0 plus a1 fois x plus a2 fois x au carré, jusqu'à am fois x à la m. La seconde entrée utilise la même convention.
Cette somme est exactement la convolution discrète des deux suites, et sa longueur est toujours len(p) plus len(q) moins un avant de supprimer les zéros finaux pour l'affichage. Le degré formel est l'indice le plus élevé dont la valeur absolue dépasse un epsilon minuscule, de sorte qu'une liste qui se termine par de la poussière numérique signale encore le bon degré mathématique. Le polynôme zéro—tous les coefficients nuls après arrondi—est autorisé comme facteur ou comme produit, et son degré est signalé comme moins un par la convention algébrique habituelle.
Conseils pratiques, limites et recherches associées
Gardez les magnitudes de coefficients dans la plage absolue publiée pour que les produits par paires ne débordent pas en un terme de convolution non fini que le solveur doit rejeter. Les zéros finaux d'une liste d'entrée sont préservés dans les tableaux renvoyés mais n'inflent pas le degré formel après le contrôle d'epsilon ; la longueur du produit suit encore la longueur complète de convolution pour que l'alignement d'indices reste prévisible pour les tests unitaires.
Contrôles classiques de classe : (1 + x) fois (1 + x) égale 1 + 2x + x au carré, (2 + 3x) fois (4 − x) égale 8 + 10x − 3x au carré, et une constante fois tout polynôme met à l'échelle chaque coefficient. Cet atterrissage vise les personnes qui cherchent une calculatrice de multiplication de polynômes, multiplier deux polynômes par coefficients ou développer un produit de polynômes en ligne ; ce n'est ni un multiplicateur multivarié, ni un factoriseur, ni un chercheur de racines.
Préférez cette capacité lorsque vous avez déjà les deux vecteurs de coefficients et n'avez besoin que du produit développé ; si votre source est une expression écrite, analysez d'abord les coefficients. Les contrôles aller-retour sont faciles : recalculez à la main quelques entrées product[k] par la formule de convolution et confirmez qu'elles correspondent au tableau product publié dans le même arrondi à douze décimales.
Cas d’usage
Contrôles de devoirs pour développer des produits
Les élèves entrent deux listes de coefficients de problèmes de manuel et comparent produits développés à la main, degrés et chaînes lisibles à un résultat déterministe avant de rendre.
Démos signal et contrôle avec convolution FIR
Des pipelines traitent de courtes réponses impulsionnelles FIR comme polynômes et les multiplient pour cascader des filtres, avec le même produit de coefficients sans dépendance CAS.
Questions fréquentes
Comment les coefficients sont-ils ordonnés ?
Terme constant d'abord : [a0, a1, a2] signifie a0 + a1·x + a2·x². Le produit utilise le même ordre du bas vers le haut.
Que se passe-t-il si l'une des listes est vide ?
Un tableau vide est une donnée manquante, pas le polynôme zéro.
Le produit supprime-t-il les zéros finaux ?
Le tableau product conserve la longueur complète de convolution (len(p)+len(q)−1). Le degré formel ignore les quasi-zéros finaux pour le champ degree et la chaîne d'impression.
Puis-je multiplier plus de deux polynômes ?
Pas en un seul appel. Multipliez par paires : alimentez le produit de la première paire comme p pour le facteur suivant.
Comment est calculé chaque coefficient du produit ?
Le coefficient de x à la puissance k est la somme des produits des coefficients dont les puissances totalisent k. Pour (1 + 2x)(3 + 4x), celui de x vaut 1 × 4 + 2 × 3, soit 10.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-multiply \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"p":[1,2],"q":[3,4]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-multiply", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"p": [
1,
2
],
"q": [
3,
4
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-multiply",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"p": [
1,
2
],
"q": [
3,
4
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-multiply", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"p":[1,2],"q":[3,4]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"p":[1,2],"q":[3,4]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-multiply", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"p": [
1,
2
],
"q": [
3,
4
]
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.polynomial_multiply",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Limites
max_coeffs | 256 |
max_abs | 1000000000000 |
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Les listes vides sont rejetées avec une erreur invalid_input claire au lieu d'inventer un polynôme zéro par silence. Le chemin est une arithmétique purement déterministe—sans réseau, sans graines aléatoires, sans dépendance d'horloge—de sorte que l'exécuteur navigateur gratuit et l'API prépayée renvoient le même JSON après un arrondi décimal fixe à chaque appel.
Ce que signifient les listes de coefficients et comment le produit est formé
Le produit algébrique de deux tels polynômes est encore un polynôme dont le coefficient au degré k est la somme sur i de a_i fois b_{k−i} pour chaque paire d'indices qui reste dans les deux tableaux. Ce qui n'est pas autorisé est un tableau de coefficients vide : vide n'est pas un polynôme zéro ; c'est une donnée manquante, et l'API renvoie invalid_input pour que scripts de devoirs et pipelines de notation échouent bruyamment au lieu de traiter le silence comme zéro.
Comment appeler l'API et ce qui revient
Envoyez un corps JSON avec deux tableaux non vides obligatoires de nombres finis : p (alias poly1, a, left) et q (alias poly2, b, right). Chaque tableau peut contenir au plus deux cent cinquante-six coefficients, et chaque valeur absolue de coefficient doit rester dans un billion pour que les produits intermédiaires restent finis en précision double IEEE sur le Worker et dans le navigateur. Les nombres en chaîne sont acceptés lorsqu'ils correspondent à un motif numérique fini strict ; les chaînes de tableau encodées en JSON sont aussi acceptées pour les clients qui n'envoient que des champs texte. En cas de succès la réponse renvoie p et q arrondis, fixe product à la liste complète de coefficients de convolution (constante d'abord), degree_p, degree_q et degree aux degrés formels des facteurs et du produit, p_str, q_str et product_str à des polynômes lisibles compacts avec signes sensés et coefficients unitaires omis, formula à une courte description en anglais de la convolution de coefficients, message à un résumé de degré en une ligne, et steps à un tableau ordonné de lignes de substitution que vous pouvez affirmer dans des tests. L'échec de validation—champs manquants, tableaux vides, non-tableaux, entrées non finies, listes plus longues que le maximum publié, valeurs hors limites absolues ou produits non finis—renvoie invalid_input et n'est jamais facturé. Le prix est un $0.002 fixe par requête réussie avec article unitaire et prix unitaire marginal zéro.
Conseils pratiques, limites et recherches associées
Préférez envoyer de vrais tableaux JSON plutôt que des chaînes préformatées lorsque vous contrôlez le client. Associez ces succès à un p vide ou un q vide pour documenter le chemin dur invalid_input. Les tâches échouées qui renvoient invalid_input ne consomment pas le solde prépayé, ce qui garde les scripts exploratoires bon marché lorsque les apprenants envoient délibérément des listes vides.
Cas d'intégration
Tests unitaires pour bibliothèques de polynômes d'élèves
Générez des cas de convolution connus comme corrects plus des rejets délibérés de liste vide pour valeurs attendues de kata de code et fixtures d'intégration continue.
Questions techniques
La calculatrice de multiplication de polynômes est-elle gratuite ?
L'outil navigateur est gratuit et s'exécute localement. Les appels API utilisent le solde prépayé KIT à $0.002 par requête réussie ; les tâches échouées ne sont jamais facturées.