ForHosting KIT · Mathématiques

Calculateur du théorème du reste

En divisant 2 - 3x + x^2 par x − 2, le reste vaut 0 : 2 est donc une racine. La calculatrice obtient ce reste comme p(r) avec la méthode de Horner, sans division longue, et vous montre chaque étape. Gratuit dans votre navigateur.

Gratuit
Fonctionne dans votre navigateur
Sans inscription
Vos données restent sur votre appareil

Lancer gratuitement Voir l’API

Utilisez-le depuis WebAPIE-mailTelegramApp bientôt

Un calculateur du théorème du reste trouve le reste lorsqu'un polynôme univarié p(x) est divisé par un facteur linéaire de la forme x moins r sans effectuer la division euclidienne longue. Par le théorème du reste polynomial ce reste égale la valeur unique p(r), et cet outil calcule p(r) par la multiplication imbriquée de Horner afin que les puissances intermédiaires n'explosent pas et que chaque étape reste auditable. Saisissez les coefficients avec le terme constant en premier —ainsi [2, −3, 1] signifie 2 − 3x + x au carré— et la valeur r ; la réponse renvoie le reste, si r est une racine, une chaîne lisible de p(x), la chaîne du diviseur et les étapes ordonnées de Horner que vous pouvez coller dans un devoir ou des tests unitaires.

Ce qu'affirme le théorème du reste et comment Horner évalue p(r)

Le théorème du reste polynomial dit que, lorsqu'un polynôme univarié p(x) à coefficients réels (ou rationnels) est divisé par le facteur linéaire monique x moins r, le reste unique est la constante p(r). Algébriquement c'est l'identité p(x) égale (x moins r) fois un quotient q(x) plus la constante p(r). Évaluer le membre de droite en x égal à r récupère immédiatement le reste sans construire q(x).

La méthode de Horner réécrit p sous forme imbriquée de sorte que l'évaluation n'utilise que des multiplications par r et des additions de coefficients successifs, du terme de plus haut degré jusqu'au constant. Cet accumulateur final est exactement p(r) et donc le reste. Le degré formel est le plus grand indice dont la valeur absolue dépasse un epsilon minuscule afin que la poussière numérique finale n'enfle pas le degré, et le polynôme nul —tout coefficient zéro après arrondi— est autorisé avec degré moins un.

Conseils pratiques, limites et recherches associées

Gardez les magnitudes des coefficients et de r dans la plage absolue publiée afin que les produits successifs ne débordent pas vers un accumulateur non fini que le solveur doit rejeter.

Les contrôles classiques en classe incluent p(x) égal à x au carré moins trois x plus deux en r égal à deux, qui donne un reste zéro car deux est une racine, et le même polynôme en r égal à un, qui donne aussi un reste zéro, ou un cubique comme deux moins trois x plus x au carré en r égal à deux avec un reste non nul que vous pouvez vérifier à la main.

Cette page cible ceux qui cherchent un calculateur du théorème du reste, le reste polynomial de la division par x moins r, ou évaluer p(r) par la méthode de Horner en ligne ; ce n'est pas la division synthétique qui renvoie le quotient complet, ni un chercheur de racines qui cherche r, ni un évaluateur multivarié.

Préférez cette capacité lorsque vous avez déjà les coefficients et un r candidat et que vous n'avez besoin que du reste ou d'un contrôle de racine ; si vous avez besoin des coefficients du quotient complet, utilisez la division synthétique ailleurs.

Cas d’usage

Contrôles rapides de racine avant factorisation

Tuteurs et solveurs testent des candidats rationnels pour r et utilisent le reste zéro comme filtre rapide avant d'investir dans une factorisation complète ou un tracé.

Questions fréquentes

Dans quel ordre sont les coefficients ?

Terme constant en premier : [a0, a1, a2] signifie a0 + a1·x + a2·x². Horner parcourt du coefficient de plus haut degré jusqu'à a0.

Que se passe-t-il si les coefficients manquent ou sont vides ?

Un champ manquant ou un tableau vide n'est pas un polynôme nul ; les coefficients sont obligatoires.

Renvoyez-vous le polynôme quotient ?

Non. Cette capacité ne renvoie que le reste p(r) et les étapes de Horner. La division synthétique complète de q(x) est hors périmètre.

Le calculateur du théorème du reste est-il gratuit ?

L'outil navigateur est gratuit et s'exécute en local.

Que signifie un reste égal à 0 ?

Cela signifie que x − r divise exactement le polynôme, donc r est une racine. En divisant 2 - 3x + x^2 par x − 2, le reste vaut 0, ce qui confirme que 2 est une racine.

Outils associés

Pour les développeurs — accès API

Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.

Endpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/remainder-theorem

Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.

Appeler depuis votre stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/remainder-theorem \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"coeffs":[2,-3,1],"r":2}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/remainder-theorem", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "coeffs": [
      2,
      -3,
      1
    ],
    "r": 2
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/remainder-theorem",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "coeffs": [
        2,
        -3,
        1
    ],
    "r": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/remainder-theorem", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"coeffs":[2,-3,1],"r":2}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"coeffs":[2,-3,1],"r":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/remainder-theorem", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Exemple de requête

{
  "coeffs": [
    2,
    -3,
    1
  ],
  "r": 2
}

Exemple de réponse

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.remainder_theorem",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.

Tarifs

par requête$0.002

Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.

Limites

`max_coeffs`	256
`max_abs`	1000000000000

Erreurs

HTTP	Code	Signification
`401`	`unauthorized`	Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization.
`402`	`insufficient_balance`	Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche.
`404`	`unknown_type`	Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête.
`429`	`rate_limited`	Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez.

Notes techniques

Les listes de coefficients manquantes ou vides sont rejetées avec invalid_input au lieu d'inventer silencieusement un polynôme nul. Le chemin est de l'arithmétique déterministe pure —pas de réseau, pas de graines aléatoires, pas de dépendance à l'horloge— de sorte que l'exécuteur gratuit du navigateur et l'API prépayée renvoient le même JSON après un arrondi décimal fixe chaque fois que vous l'appelez pour la préparation d'examens, des katas de code ou des contrôles rapides de racines.

Ce qu'affirme le théorème du reste et comment Horner évalue p(r)

Avec la convention terme constant d'abord de cette API, le tableau [a0, a1, …, an] signifie a0 plus a1 fois x jusqu'à an fois x à la n ; Horner part de an, multiplie par r, ajoute a_{n−1}, multiplie encore par r et continue jusqu'à ajouter a0. Ce qui n'est jamais autorisé est un champ manquant ou un tableau de coefficients vide : vide n'est pas un polynôme nul ; c'est une donnée manquante, et l'API renvoie invalid_input pour que les scripts de devoirs et les pipelines de notation échouent de façon bruyante au lieu de traiter le silence comme zéro.

Comment appeler l'API et ce qui revient

Envoyez un corps JSON avec deux champs obligatoires : coeffs (alias coefficients, p, poly), un tableau non vide de nombres finis avec le terme constant en premier, et r (alias value, at, root), le nombre fini figurant dans le diviseur x moins r. Chaque tableau de coefficients peut contenir au plus deux cent cinquante-six entrées, et chaque valeur absolue de coefficient ainsi que la valeur absolue de r doivent rester dans un billion afin que les produits intermédiaires de Horner restent finis en précision double IEEE sur le Worker et dans le navigateur. Les nombres en chaîne sont acceptés s'ils correspondent à un motif numérique fini strict ; les chaînes de tableaux encodés en JSON sont aussi acceptées pour les clients qui n'envoient que des champs texte. En succès la réponse renvoie coeffs et r arrondis, fixe remainder et p_of_r à la même valeur évaluée, is_root à true lorsque le reste est numériquement zéro dans l'epsilon, degree au degré formel de p, p_str et divisor_str à des polynômes compacts lisibles, formula à un court énoncé du théorème du reste avec Horner, message à un résumé d'une ligne du reste ou de la racine, et steps à un tableau ordonné de lignes d'accumulation de Horner que vous pouvez asserter dans des tests. Une validation échouée —coeffs ou r manquants, tableaux vides, non-tableaux, entrées non finies, listes plus longues que le maximum publié, valeurs hors limites absolues ou accumulation de Horner non finie— renvoie invalid_input et n'est jamais facturée. Le tarif est un forfait de $0.002 par requête réussie avec item unitaire et prix marginal unitaire nul.

Conseils pratiques, limites et recherches associées

Préférez envoyer de vrais tableaux JSON plutôt que des chaînes préformatées lorsque vous contrôlez le client. Associez ces succès à un champ coeffs manquant ou à un tableau de coefficients vide pour documenter le chemin dur d'invalid_input. Les tâches échouées qui renvoient invalid_input ne consomment pas le solde prépayé, ce qui garde les scripts exploratoires peu coûteux lorsque les apprenants omettent volontairement des coefficients.

Cas d'intégration

Contrôle des devoirs sur reste et racines

Les élèves saisissent les coefficients du manuel et un r candidat, puis comparent le reste et l'indicateur is_root au travail de Horner à la main avant de rendre le devoir d'algèbre.

Tests unitaires pour évaluateurs polynomiaux

Générez des cas connus de p(r) et des rejets délibérés pour coefficients manquants ou vides comme valeurs attendues de katas de code et fixtures d'intégration continue.

Questions techniques

Un reste zéro signifie-t-il que r est une racine ?

Oui. Lorsque le reste est numériquement zéro dans l'epsilon, is_root est true et (x − r) divise p(x) de façon exacte.

Consulter la documentation complète du KIT →

Lancer gratuitement

Ce qu'affirme le théorème du reste et comment Horner évalue p(r)

Conseils pratiques, limites et recherches associées

Cas d’usage

Contrôles rapides de racine avant factorisation

Questions fréquentes

Outils associés

Pour les développeurs — accès API

Endpoint

Appeler depuis votre stack

Exemple de requête

Exemple de réponse

Tarifs

Limites

Erreurs

Notes techniques

Ce qu'affirme le théorème du reste et comment Horner évalue p(r)

Comment appeler l'API et ce qui revient

Conseils pratiques, limites et recherches associées

Cas d'intégration

Contrôle des devoirs sur reste et racines

Tests unitaires pour évaluateurs polynomiaux

Questions techniques

merci