剰余の定理計算機
2 - 3x + x^2をx − 2で割った余りは0なので、2は根です。この余りをホーナー法でp(r)として求め、筆算の割り算なしで各手順を示します。ブラウザで無料で使えます。
- 無料
- ブラウザで動作
- 登録不要
- データは端末の外に出ません
無料で実行
処理はブラウザ内で完結します。ファイルは送信されません。無料でご利用いただけます。
剰余の定理計算機は、一変数多項式p(x)をx−r型の一次因子で割ったときの剰余を、整除の筆算なしに求めます。多項式の剰余の定理によりその剰余はただ一つの値p(r)に等しく、本ツールはホーナーの入れ子乗算でp(r)を計算し、中間のべきが膨らまず各ステップを監査可能に保ちます。定数項を先頭にした係数——[2, −3, 1]は2−3x+x²——と値rを入力すると、剰余、rが根かどうか、読みやすいp(x)文字列、除数文字列、宿題や単体テストに貼れる順序付きホーナー手順が返ります。
剰余の定理の主張とホーナーによるp(r)の評価
多項式の剰余の定理は、実（または有理）係数の任意の一変数多項式p(x)をモニック一次因子x−rで割ると、一意の剰余が定数p(r)であることを述べます。代数的にはp(x)=(x−r)·q(x)+p(r)という恒等式です。右辺をx=rで評価すればq(x)を構築せずに剰余が直ちに得られます。
ホーナー法はpを入れ子形に書き換え、最高次から定数項までrによる乗算と係数の加算だけで評価します。最終アキュムレータがまさにp(r)、すなわち剰余です。形式次数は絶対値が微小なイプシロンを超える最大の添字とし、末尾の数値ノイズで次数が膨らまないようにし、丸め後すべて零の零多項式は次数マイナス一で許容します。
活用例
因数分解前の素早い根判定
チューターや解法者が有理候補rを試し、完全な因数分解やグラフ化に進む前の高速フィルタとして剰余零を用います。
よくある質問
係数の順序はどうなっていますか？
定数項が先頭です：[a0, a1, a2]はa0 + a1·x + a2·x²を意味します。ホーナーは最高次係数からa0まで辿ります。
商の多項式は返しますか？
いいえ。 本能力は剰余p(r)とホーナー手順のみを返します。q(x)の完全な総合除法は範囲外です。
余りが0とはどういう意味ですか？
x − rが多項式を割り切るという意味で、rは根になります。2 - 3x + x^2をx − 2で割ると余りは0なので、2が根だと確認できます。
割り算の筆算ではなくホーナー法を使うのはなぜですか？
rを掛けて次の係数を足す操作だけで済むためです。大きなべき乗を計算せずに済み、途中の値もすべて確認でき、最後の値がそのまま余りになります。
係数を空のまま計算できますか？
いいえ。空の係数は0の多項式とは見なされず、入力不足として受け付けません。すべての係数が0の場合は0の多項式として計算できます。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/remainder-theorem \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coeffs":[2,-3,1],"r":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/remainder-theorem", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"coeffs": [
2,
-3,
1
],
"r": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/remainder-theorem",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coeffs": [
2,
-3,
1
],
"r": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/remainder-theorem", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coeffs":[2,-3,1],"r":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coeffs":[2,-3,1],"r":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/remainder-theorem", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"coeffs": [
2,
-3,
1
],
"r": 2
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.remainder_theorem",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
制限
max_coeffs | 256 |
max_abs | 1000000000000 |
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
欠損または空の係数リストは零多項式を黙って捏造せず invalid_input で拒否します。経路は純決定的算術——ネットワークなし、乱数シードなし、壁時計依存なし——なので、無料ブラウザ実行器と前払いAPIは、試験準備・コーディングかた・素早い根の確認のたびに、固定小数丸め後の同じJSONを返します。
剰余の定理の主張とホーナーによるp(r)の評価
本APIの定数項先頭の規約では配列[a0, a1, …, an]はa0+a1·x+…+an·x^nを意味し、ホーナーはanから始め、rを掛け、a_{n−1}を足し、再びrを掛け、a0を加えるまで続けます。決して許容しないのは欠損フィールドまたは空の係数配列です。空は零多項式ではなく欠損データであり、APIは invalid_input を返し、宿題スクリプトや採点パイプラインが沈黙を零と扱わずに明確に失敗するようにします。
APIの呼び出し方と返却内容
必須フィールド二つを持つJSON本体を送ってください：coeffs（別名 coefficients, p, poly）は定数項先頭の有限数の非空配列、r（別名 value, at, root）は除数x−rに現れる有限数です。各係数配列は最大二百五十六要素まで、係数の絶対値とrの絶対値は一兆以内に保ち、Workerとブラウザ上のIEEE倍精度で中間のホーナー積が有限に留まるようにします。厳密な有限数値パターンに合う文字列数は受理され、テキストフィールドしか送れないクライアント向けにJSON符号化配列文字列も受理されます。成功時は丸めたcoeffsとrを返し、remainderとp_of_rを同じ評価値に、剰余がイプシロン内で数値的に零ならis_rootをtrueに、degreeをpの形式次数に、p_strとdivisor_strを読みやすいコンパクト多項式に、formulaをホーナー付き剰余の定理の短い英文述に、messageを剰余または根の一行要約に、stepsをテストでassertできる順序付きホーナー累積行の配列に設定します。検証失敗——coeffsまたはrの欠損、空の係数配列、非配列、非有限要素、公開上限を超えるリスト、絶対限界外の値、非有限のホーナー累積——は invalid_input を返し課金されません。料金は成功リクエストごとに定額$0.002、単位品目で限界単位価格は零です。
実務上のヒント、制限、関連検索
連続積がソルバの拒否対象となる非有限アキュムレータへ溢れないよう、係数の大きさとrを公開された絶対範囲内に保ってください。本ランディングは剰余の定理計算機、x−rで割った多項式剰余、ホーナー法によるp(r)のオンライン評価を探す人向けであり、商の全係数を返す総合除法でも、rを探索する根ファインダでも、多変数評価器でもありません。すでに係数と候補rがあり剰余または根判定だけが必要なときに本能力を選び、商の全係数が必要なら別途の総合除法を使ってください。クライアントを制御できる場合は、整形済み文字列より本物のJSON配列を送ることを推奨します。教室の定番確認には、r=2でx²−3x+2（二が根なので剰余零）、同じくr=1でも剰余零、あるいはr=2の二次2−3x+x²で手計算可能な非零剰余などがあります。これら成功例にcoeffs欠損や空の係数配列を組み合わせ、invalid_inputの硬い経路を文書化してください。invalid_inputを返す失敗タスクは前払い残高を消費しないため、学習者が意図的に係数を省略する探索スクリプトのコストを抑えられます。
連携の活用例
剰余と根の宿題チェック
学生が教科書の係数と候補rを入力し、代数の宿題提出前に剰余とis_rootフラグを手計算のホーナーと照合します。
学生向け多項式評価器の単体テスト
既知のp(r)ケースと、意図的な係数欠損・空配列の拒否を、コーディングかたの期待値と継続的インテグレーション用fixtureとして生成します。
技術的な質問
係数が欠損または空の場合はどうなりますか？
ツールは invalid_input を返します。欠損フィールドや空配列は零多項式ではなく、係数は必須です。
剰余が零ならrは根ですか？
はい。剰余がイプシロン内で数値的に零ならis_rootはtrueで、(x − r)はp(x)をちょうど割り切ります。
剰余の定理計算機は無料ですか？
ブラウザツールは無料でローカル実行です。API呼び出しは成功リクエストごとに$0.002の前払いKIT残高を使用し、失敗タスクは課金されません。