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根から多項式

分かっている根から標準形の多項式を作ります。根が1、2、3なら(x − 1)(x − 2)(x − 3)で、展開するとx³ − 6x² + 11x − 6です。重根は同じ根を2回入れます。ブラウザで無料で使えます。

無料
ブラウザで動作
登録不要
データは端末の外に出ません

ご利用方法ウェブAPIメールTelegramアプリ近日

根から多項式を求める計算機は、実零点の一覧を一変数多項式の展開済み係数ベクトルへ変換します。根 r1 から rn と、任意の非零の先頭係数 a（既定は 1 のモニック多項式）を入力してください。重複度は一覧で同じ根を繰り返して表現します。

根から係数へ: 線形因子と展開

実数上の非零の一変数多項式は（先頭のスケールを除き）実根に対する線形因子と、複素共役対に対する既約二次因子へ因数分解されます。本計算機は、代数の授業がまず扱う実根の積に焦点を当てます。非零の先頭係数 a を掛けると、展開後の各係数が一樣にスケールされ、形式次数が n のとき最高次係数は a になります。

展開は逐次乗算で進みます。定数 1 から始め、現在の係数列を次の線形因子 (x マイナス ri) との積（長さ 1 のシフトと減算の畳み込み）で置き換え、すべての根を消費したあと a でスケールします。結果列は定数項を先頭に格納し、加算・乗算・除算の兄弟多項式ツールと並びを揃えます。

形式次数は絶対値が微小なイプシロンを超える最大添字なので、浮動小数のゴミで報告次数が膨らみません。古典的な確認例として、根 1 と 2・先頭 1 は x の二乗マイナス 3x プラス 2、根 1 と −1・先頭 2 は 2x の二乗マイナス 2、根 0 のみは単項式 x になります。

教室・自動化、および根探索との違い

「根から多項式」の検索意図は「係数から根を探す」の逆です。学習者やスクリプトはすでに零点を知っており、展開された標準形を必要とします。試験生成器は整数根を標本化し一度展開し、因数分解された設問と係数の解答キーを保存します。

学生向け多項式ライブラリの単体テストには、線形因子の既知の積と意図的な空リスト拒否が必要です。設計位置に極や零点を置く制御・信号デモも、フル CAS を入れずに特性多項式を同様に展開します。真の情報源が根の一覧なら本能力を、すでに係数ベクトルなら兄弟の根探索を選んでください。

根の大きさと個数は公開上限内に保ち、逐次乗算のオーバーフローを防ぎます。すべて実根で重複度付きなら往復確認が容易で、ここで展開し係数を根探索に渡し、同じ丸め方針で回収根を比較できます。ランディングは、根から多項式、零点から多項式構築、線形因子の係数展開、根からのモニック多項式といった検索語を狙います。

活用例

線形因子展開の宿題確認

既知の根と任意の先頭係数を入力し、手計算の係数と標準形文字列を提出前に決定的な結果と照合します。

試験キーと LMS 自動採点

標本化した根一覧からモニックまたはスケール済み多項式を生成し、記号ソフトなしで安定した係数解答キーを採点者が保持できます。

よくある質問

係数の並び順は？

定数項が先頭です。[ a0, a1, a2] は a0 + a1·x + a2·x² を意味します。

重複根はどう表しますか？

同じ値を複数回列挙します。2 の二重根は roots [2, 2] で、(x−2)² に展開されます。

根のリストから多項式はどう作りますか？

各根rについて(x − r)を掛け合わせ、最後に最高次係数を掛けます。根が1と2なら、x² − 3x + 2になります。

最高次係数を1以外にするには？

最高次係数として指定すると、展開したすべての係数にその値が掛かります。根が1と−1で最高次係数が2なら、結果は2x² − 2です。

根はいくつまで入力できますか？

有限の実数を六十四個まで入力できます。多項式の次数は、重複も含めた根の個数と同じです。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-from-roots

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-from-roots \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"roots":[1,2,3]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-from-roots", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "roots": [
      1,
      2,
      3
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-from-roots",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "roots": [
        1,
        2,
        3
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-from-roots", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"roots":[1,2,3]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"roots":[1,2,3]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-from-roots", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "roots": [
    1,
    2,
    3
  ]
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.polynomial_from_roots",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

空の根一覧と先頭係数 0 は、黙って定数を作ったり次数を潰したりせず invalid_input で失敗します。経路は純粋で決定的な算術のみで、ネットワークも乱数種も時計にも依存しないため、無料のブラウザ実行と前払い API は固定の小数十二桁丸めのあと毎回一致します。

根から係数へ: 線形因子と展開

重複度は別フィールドではなく、二重根なら同じ根を二回、三重根なら三回と列挙し、教科書が (x マイナス 2) の二乗を (x マイナス 2)(x マイナス 2) と書くのと同じです。

入力契約、応答フィールド、エラー動作

必須の roots（最大六十四個の有限数の非空配列）と、任意の leading（別名 a, leading_coefficient, scale、既定 1）を含む JSON 本体を POST してください。roots は zeros, root_list, r も受け付けます。各根は JSON 数または厳密な数値文字列でよく、テキスト欄しか送れないクライアント向けに JSON 符号化された配列文字列も受け付けます。絶対値は一兆以内に保ち、Worker とブラウザの IEEE 倍精度で中間積が有限に収まるようにします。roots 欠落、空配列、非配列、非有限、公開上限超、絶対値制限外、leading 0、非有限の中間係数など検証失敗は invalid_input を返し課金されません。料金は成功リクエストごとに定額 $0.002、単位は item です。

教室・自動化、および根探索との違い

チュータリング基盤はこのエンドポイントで、(x マイナス 3)(x プラス 1) の手計算展開を決定的な係数列と照合させます。invalid_input の失敗タスクは前払い残高を消費しないため、わざと空リストや先頭係数 0 を送る探索スクリプトも安価です。

連携の活用例

学生多項式ライブラリの単体テスト

∏(x−ri) の既知展開と空リスト・leading 0 の拒否を、コーディングカタの fixture と継続的インテグレーション用に生成します。

技術的な質問

根の一覧から多項式をどう作りますか？

roots を有限数の非空配列、任意で leading（既定 1）として送ってください。API は leading·∏(x−ri) を展開し、定数先頭の係数と読みやすい多項式文字列を返します。

leading が 0、または roots が空のときは？

どちらも invalid_input です。先頭係数 0 は次数を潰し、空の根一覧は因子データの欠落であり、定数のみの文書化モードではありません。

根から多項式計算機の料金は？

ブラウザツールは無料です。API は成功呼び出しごとに前払い KIT 残高から $0.002 です。無効入力は課金されません。

KITの完全なドキュメントを見る →

根から多項式

無料で実行

根から係数へ: 線形因子と展開

教室・自動化、および根探索との違い

活用例

線形因子展開の宿題確認

試験キーと LMS 自動採点

よくある質問

関連ツール

開発者向け — APIアクセス

エンドポイント

お使いのスタックから呼び出す

リクエスト例

レスポンス例

料金

エラー

技術的な注記

根から係数へ: 線形因子と展開

入力契約、応答フィールド、エラー動作

教室・自動化、および根探索との違い

連携の活用例

学生多項式ライブラリの単体テスト

技術的な質問

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