كثير حدود من الجذور
حوّل الجذور المعروفة إلى كثيرة حدود بالصيغة القياسية: الجذور 1 و2 و3 تعطي (x − 1)(x − 2)(x − 3)، وبعد الفك x³ − 6x² + 11x − 6. كرر الجذر ليصبح مضاعفًا. مجانًا في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
تعمل هذه الأداة داخل متصفحك — مجانًا، ولا تُرسل بياناتك إلى أي خادم
تحوّل حاسبة كثير الحدود من الجذور قائمة من الأصفار الحقيقية إلى متجه المعاملات الموسَّعة لكثير حدود بمتغير واحد. أدخل الجذور r1 إلى rn ومعاملًا قائدًا اختياريًا غير صفري a (الافتراضي واحد لكثير حدود أحادي). تُرمَّز التعددية بتكرار جذر في القائمة.
من الجذور إلى المعاملات: عوامل خطية وتوسيع
يتحلّل كل كثير حدود غير صفري بمتغير واحد على الأعداد الحقيقية (حتى مقياس قائد) إلى عوامل خطية لجذوره الحقيقية وتربيعيات غير قابلة للاختزال للأزواج المترافقة المركبة. الضرب بمعامل قائد a غير صفري يقيّس كل معامل موسَّع بانتظام ويجعل معامل أعلى درجة يساوي a عندما تكون الدرجة الشكلية n. التعددية ليست حقلًا منفصلًا: اسرد الجذر نفسه مرتين لجذر مزدوج، وثلاث مرات لجذر ثلاثي، وهكذا، كما تكتب الكتب (x ناقص اثنين) مربعًا على صورة (x ناقص اثنين) في (x ناقص اثنين).
يسير التوسيع بضرب متتالٍ. ابدأ من الثابت واحد، واستبدل قائمة المعاملات الحالية بجدائها مع العامل الخطي التالي (x ناقص ri)—وهو التفاف إزاحة وطرح بطول واحد—وبعد استهلاك كل الجذور قِس بـ a. تُخزَّن المتتالية الناتجة بالحد الثابت أولًا لتتوافق مع أدوات كثيرات الحدود الشقيقة للجمع والضرب والقسمة.
الدرجة الشكلية هي أعلى مؤشر يتجاوز قيمته المطلقة إبسلون ضئيلًا، فلا ينفخ غبار الفاصلة العائمة الدرجة المُبلَّغ عنها. فحوصات كلاسيكية: الجذران واحد واثنان بقائد واحد يعطيان x مربعًا ناقص ثلاثة x زائد اثنين؛ والجذران واحد وسالب واحد بقائد اثنين يعطيان اثنين x مربعًا ناقص اثنين؛ وجذر صفري وحيد يعطي الحد الأحادي x.
الفصل والأتمتة والفرق عن باحثي الجذور
قصد البحث عن حاسبة كثير حدود من الجذور هو عكس باحث جذور كثيرات الحدود: المتعلمون والسكربتات يعرفون الأصفار مسبقًا ويحتاجون الشكل القياسي الموسَّع لا العكس. تستخدم منصات التدريس هذه النهاية ليتحقق الطلاب من توسيعات يدوية ل (x ناقص ثلاثة)(x زائد واحد) مقابل قائمة معاملات حتمية. تولّد مولّدات الامتحانات جذورًا صحيحة وتوسّع مرة واحدة وتخزّن كلًا من نص السؤال المعامل ومفتاح المعاملات.
تحتاج اختبارات وحدات مكتبات كثيرات الحدود الطلابية إلى جداءات معروفة لعوامل خطية مع رفض متعمد للقائمة الفارغة. عروض التحكم والإشارة التي تضع أقطابًا أو أصفارًا في مواقع تصميم توسّع كثير الحدود المميز بالطريقة نفسها دون استيراد CAS كامل. فضّل هذه القدرة عندما يكون مصدر الحقيقة قائمة جذور؛ وفضّل الشقيق باحث الجذور عندما لديك مسبقًا متجه المعاملات.
أبقِ مقادير الجذور وأعدادها ضمن الحدود المنشورة كي لا تفيض الضروب المتتالية. فحوصات الذهاب والإياب سهلة عندما تكون كل الجذور حقيقية ومسرودة مع التعددية: وسّع هنا ثم غذِّ المعاملات لباحث جذور وقارن الجذور المسترجعة بسياسة التقريب نفسها. تستهدف الصفحة من يبحث عن كثير حدود من الجذور، وبناء كثير حدود من الأصفار، وتوسيع عوامل خطية إلى معاملات، وكثير حدود أحادي من الجذور عبر الإنترنت.
حالات الاستخدام
فحص الواجبات لتوسيع العوامل الخطية
يدخل الطلاب جذورًا معروفة ومعاملًا قائدًا اختياريًا ثم يقارنون المعاملات الموسَّعة يدويًا وسلسلة الشكل القياسي بنتيجة حتمية قبل التسليم.
مفاتيح الامتحان والتصحيح الآلي في LMS
ولّد كثيرات حدود أحادية أو مقيَّسة من قوائم جذور عيّنة ليحتفظ المصححون بمفاتيح معاملات مستقرة دون برمجيات رمزية.
الأسئلة الشائعة
بأي ترتيب تُرتَّب المعاملات؟
الحد الثابت أولًا: [a0, a1, a2] تعني a0 + a1·x + a2·x².
كيف أرمّز جذرًا متكررًا؟
اسرد القيمة نفسها عدة مرات. الجذر المزدوج عند 2 هو roots [2, 2]، فيوسَّع إلى (x−2)².
كيف أبني كثيرة حدود من قائمة جذور؟
اضرب العوامل (x − r) لكل جذر r، ثم اضرب الناتج في المعامل الرئيسي. فمن الجذرين 1 و2 تحصل على x² − 3x + 2.
كيف أستخدم معاملًا رئيسيًا غير 1؟
أدخله معاملًا رئيسيًا فتُضرب فيه كل المعاملات الموسعة. مع الجذرين 1 و−1 والمعامل الرئيسي 2 يكون الناتج 2x² − 2 بدل x² − 1.
كم جذرًا يمكنني إدخاله؟
حتى أربعة وستين جذرًا حقيقيًا، كل منها عدد محدود. ودرجة كثيرة الحدود الناتجة تساوي عدد الجذور مع احتساب المكرر منها.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-from-roots \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"roots":[1,2,3]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-from-roots", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"roots": [
1,
2,
3
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-from-roots",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"roots": [
1,
2,
3
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-from-roots", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"roots":[1,2,3]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"roots":[1,2,3]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-from-roots", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"roots": [
1,
2,
3
]
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.polynomial_from_roots",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
تفشل قوائم الجذور الفارغة والمعامل القائد الصفري بـ invalid_input بدل اختراع ثابت صامت أو درجة منهارة. المسار حسابي خالص وحتمي—بلا شبكة ولا بذور عشوائية ولا اعتماد على الساعة—فيتفق مشغّل المتصفح المجاني وواجهة API المدفوعة مسبقًا بعد التقريب الثابت إلى اثنتي عشرة منزلة عشرية في كل استدعاء.
عقد الإدخال وحقول الاستجابة والأخطاء
أرسل جسم JSON يتضمن roots إلزاميًا، مصفوفة غير فارغة من أربعة وستين عددًا متناهيًا على الأكثر، وleading اختياريًا (aliases a وleading_coefficient وscale) بقيمة افتراضية واحد. يقبل roots أيضًا aliases zeros وroot_list وr. قد يصل كل جذر كعدد JSON أو كسلسلة رقمية صارمة؛ وتُقبل سلسلة مصفوفة مرمّزة JSON للعملاء الذين يرسلون حقول نص فقط. يجب أن تبقى القيم المطلقة ضمن تريليون واحد كي تظل الجداءات الوسيطة متناهية بدقة مزدوجة IEEE على Worker وفي المتصفح. عند النجاح يعيد الجسم roots وleading مقربين، ويضبط coefficients على القائمة الموسَّعة بالثابت أولًا، وcoefficients_high_to_low على القيم نفسها معكوسة لعرض أعلى قوة أولًا، وdegree وroot_count أعدادًا صحيحة، وfactors_str جداءً مختصرًا من عوامل خطية مع مقياس القائد مسبوقًا إن لم يكن واحدًا، وpolynomial شكلًا موسَّعًا مقروءًا بإشارات معقولة ومعاملات وحدة محذوفة، وformula هوية قصيرة، وmessage ملخص درجة بسطر واحد، وsteps خطوط تعويض مرتبة للـ goldens ولقطات الصف. فشل التحقق—غياب roots أو مصفوفات فارغة أو غير مصفوفات أو مدخلات غير متناهية أو قوائم أطول من الحد المنشور أو قيم خارج الحدود المطلقة أو leading صفري أو معاملات وسيطة غير متناهية—يعيد invalid_input ولا يُحاسب أبدًا. التسعير $0.002 ثابت لكل طلب ناجح بوحدة item.
الفصل والأتمتة والفرق عن باحثي الجذور
المهام الفاشلة بـ invalid_input لا تستهلك الرصيد المدفوع مسبقًا، فيبقى استكشاف السكربتات رخيصًا عند إرسال قوائم فارغة أو معامل قائد صفري عمدًا.
حالات التكامل
اختبارات وحدات لمكتبات كثيرات الحدود
أنتج توسيعات معروفة ل ∏(x−ri) مع رفض القائمة الفارغة وleading الصفري لـ fixtures كاتا البرمجة والتكامل المستمر.
أسئلة تقنية
كيف أبني كثير حدود من قائمة جذور؟
أرسل roots كمصفوفة غير فارغة من أعداد متناهية وleading اختياريًا (الافتراضي 1). توسّع API القيمة leading·∏(x−ri) وتعيد معاملات بالثابت أولًا مع سلسلة كثير حدود مقروءة.
ماذا لو كان leading صفرًا أو roots فارغًا؟
كلاهما invalid_input. المعامل القائد الصفري ينهار الدرجة؛ قائمة الجذور الفارغة بيانات عوامل ناقصة وليست وضعًا ثابتًا فقط موثقًا.
كم تكلفة حاسبة كثير الحدود من الجذور؟
أداة المتصفح مجانية. طلبات API تستخدم رصيد KIT المدفوع مسبقًا بسعر $0.002 لكل استدعاء ناجح؛ الإدخال غير الصالح لا يُحاسب.