ضرب كثيرات الحدود
وسّع جداء كثيرات الحدود دون أخطاء: (1 + 2x) في (3 + 4x) يساوي 3 + 10x + 8x²، ودرجة الجداء 2 هي مجموع الدرجتين. مجانًا في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
تعمل هذه الأداة داخل متصفحك — مجانًا، ولا تُرسل بياناتك إلى أي خادم
تحوّل حاسبة ضرب كثيرات الحدود قائمتي معاملات إلى الجداء الموسَّع لكثيرتي الحدود المناظرتين. أدخل p و q كمصفوفات أعداد مع الحد الثابت أولاً—فـ [1, 2] تعني 1 + 2x و [3, 4] تعني 3 + 4x—فتُرجع الأداة معاملات الجداء وسلاسل كثير حدود مقروءة ودرجات العاملين والجداء وملاحظات التفاف خطوة بخطوة. فحوصات الواجبات وتحضير الامتحانات وقيم kata البرمجة المتوقعة وعروض معالجة الإشارات تحتاج نفس الالتفاف المنفصل دون فتح نظام جبر حاسوبي.
ماذا تعني قوائم المعاملات وكيف يتكوّن الجداء
كثير الحدود وحيد المتغير يتحدد بالكامل بتسلسل معاملاته الحقيقية بعد تثبيت اصطلاح الترتيب. تستخدم هذه الأداة اصطلاح الحد-الثابت-أولاً السائد في البرمجة والمكتبات العددية: المصفوفة [a0, a1, a2, …, am] تمثّل a0 زائد a1 في x زائد a2 في x تربيع حتى am في x مرفوعاً إلى m. الإدخال الثاني يستخدم نفس الاصطلاح.
ذلك المجموع هو بالضبط الالتفاف المنفصل للتسلسلين، وطوله دائماً len(p) زائد len(q) ناقص واحد قبل إسقاط الأصفار الختامية للعرض. الدرجة الشكلية هي أعلى فهرس تتجاوز قيمته المطلقة إبسيلون ضئيلاً، فقائمة تنتهي بغبار عددي ما زالت تبلّغ الدرجة الرياضية الصحيحة. كثير الحدود الصفري—كل معامل صفر بعد التقريب—مسموح كعامل أو كجداء، وتُبلَّغ درجته كناقص واحد باصطلاح الجبر المعتاد.
نصائح عملية وحدود وبحوث ذات صلة
أبقِ مقادير المعاملات ضمن النطاق المطلق المنشور حتى لا تفيض الجداءات الزوجية إلى حد التفاف غير منتهٍ يجب على الحل رفضه. الأصفار الختامية في قائمة إدخال تُحفظ في مصفوفات الصدى لكنها لا تضخّم الدرجة الشكلية بعد فحص الإبسيلون؛ طول الجداء ما زال يتبع طول الالتفاف الكامل فيبقى محاذاة الفهارس متوقعة لاختبارات الوحدة.
فحوصات الصف الكلاسيكية تشمل (1 + x) في (1 + x) يساوي 1 + 2x + x تربيع، و (2 + 3x) في (4 − x) يساوي 8 + 10x − 3x تربيع، وثابت في أي كثير حدود يوسّع كل معامل. يستهدف هذا الهبوط من يبحث عن حاسبة ضرب كثيرات حدود أو ضرب كثيرتي حدود بالمعاملات أو توسيع جداء كثيرات حدود عبر الإنترنت؛ ليس مضاعفاً متعدد المتغيرات ولا محللاً إلى عوامل ولا باحث جذور.
فضّل هذه القدرة عندما لديك متجها المعاملات مسبقاً وتحتاج فقط الجداء الموسَّع؛ إن كان المصدر تعبيراً مكتوباً فحلّل المعاملات أولاً. فحوصات الذهاب والإياب سهلة: أعد حساب بعض عناصر product[k] يدوياً من صيغة الالتفاف وتأكد أنها تطابق مصفوفة product المنشورة ضمن نفس تقريب الاثني عشر عشرياً.
حالات الاستخدام
فحوصات واجبات لتوسيع الجداءات
يدخل الطلاب قائمتي معاملات من مسائل الكتب ويقارنون الجداءات الموسَّعة يدوياً والدرجات والسلاسل المقروءة بنتيجة حتمية قبل التسليم.
اختبارات وحدة لمكتبات كثيرات الحدود الطلابية
ولّد حالات التفاف معروفة الصحة مع رفض متعمد للقائمة الفارغة لقيم kata البرمجة المتوقعة وتركيبات التكامل المستمر.
عروض إشارة وتحكم بالتفاف FIR
تعامل الأنابيب استجابات النبض FIR القصيرة ككثيرات حدود وتضربها لتتالي المرشحات بنفس جداء المعاملات دون اعتماد على CAS.
الأسئلة الشائعة
كيف تُرتَّب المعاملات؟
الحد الثابت أولاً: [a0, a1, a2] تعني a0 + a1·x + a2·x². يستخدم الجداء نفس الترتيب من الأدنى إلى الأعلى.
ماذا يحدث إذا كانت إحدى القائمتين فارغة؟
المصفوفة الفارغة بيانات ناقصة وليست كثير الحدود الصفري.
هل يسقط الجداء الأصفار الختامية؟
مصفوفة product تحتفظ بطول الالتفاف الكامل (len(p)+len(q)−1). تتجاهل الدرجة الشكلية شبه الأصفار الختامية لحقل degree وسلسلة الطباعة الجميلة.
هل يمكنني ضرب أكثر من كثيرتي حدود؟
ليس في استدعاء واحد. اضرب زوجاً بزوج: مرّر جداء الزوج الأول كـ p للعامل التالي.
كيف يُحسب كل معامل في الجداء؟
معامل x أس k هو مجموع حواصل ضرب المعاملات التي يكون مجموع أسسها k. في (1 + 2x)(3 + 4x) مثلًا يكون معامل x هو 1 × 4 + 2 × 3، أي 10.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-multiply \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"p":[1,2],"q":[3,4]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-multiply", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"p": [
1,
2
],
"q": [
3,
4
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-multiply",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"p": [
1,
2
],
"q": [
3,
4
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-multiply", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"p":[1,2],"q":[3,4]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"p":[1,2],"q":[3,4]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-multiply", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"p": [
1,
2
],
"q": [
3,
4
]
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.polynomial_multiply",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الحدود
max_coeffs | 256 |
max_abs | 1000000000000 |
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
تُرفض القوائم الفارغة بخطأ invalid_input واضح بدل اختراع كثير حدود صفري بالصمت. المسار حساب حتمي نقي—بلا شبكة ولا بذور عشوائية ولا اعتماد على الساعة—فيعيد منفّذ المتصفح المجاني وAPI المدفوعة مسبقاً نفس JSON بعد تقريب عشري ثابت في كل استدعاء.
ماذا تعني قوائم المعاملات وكيف يتكوّن الجداء
الجداء الجبري لكثيرتي حدود من هذا النوع هو مرة أخرى كثير حدود معامله عند الدرجة k هو المجموع على i لـ a_i في b_{k−i} لكل زوج فهارس يبقى داخل المصفوفتين. غير المسموح هو مصفوفة معاملات فارغة: الفارغ ليس كثير حدود صفرياً؛ إنه بيانات ناقصة، وتعيد API invalid_input حتى تفشل سكربتات الواجبات وأنابيب التصحيح بصوت عالٍ بدل معاملة الصمت صفراً.
كيف تستدعي API وماذا يعود
أرسل جسماً JSON بمصفوفتين إلزاميتين غير فارغتين من أعداد منتهية: p (أسماء بديلة poly1, a, left) و q (أسماء بديلة poly2, b, right). قد تحمل كل مصفوفة مئتين وستة وخمسين معاملاً على الأكثر، ويجب أن تبقى كل قيمة مطلقة للمعامل ضمن تريليون واحد حتى تبقى الجداءات الوسيطة منتهية بدقة مزدوجة IEEE على Worker وفي المتصفح. تُقبل أعداد السلاسل عند مطابقة نمط عددي منتهٍ صارم؛ وتُقبل أيضاً سلاسل مصفوفات مرمّزة JSON للعملاء الذين يرسلون حقول نص فقط. عند النجاح تعيد الاستجابة p و q مقربين، وتعيّن product لقائمة معاملات الالتفاف الكاملة (الثابت أولاً)، و degree_p و degree_q و degree لدرجات العاملين والجداء الشكلية، و p_str و q_str و product_str لكثيرات حدود مقروءة مضغوطة بعلامات معقولة ومعاملات وحدة محذوفة، و formula لوصف إنجليزي قصير لالتفاف المعاملات، و message لملخص درجة بسطر واحد، و steps لمصفوفة مرتبة من أسطر الاستبدال التي يمكن إثباتها في الاختبارات. إخفاق التحقق—حقول ناقصة، مصفوفات فارغة، غير مصفوفات، عناصر غير منتهية، قوائم أطول من الحد المنشور، قيم خارج الحدود المطلقة أو جداءات غير منتهية—يعيد invalid_input ولا يُحسب أبداً. التسعير $0.002 ثابت لكل طلب ناجح بعنصر وحدة وسعر وحدة هامشي صفر.
نصائح عملية وحدود وبحوث ذات صلة
فضّل إرسال مصفوفات JSON حقيقية بدل سلاسل مسبقة التنسيق عندما تتحكم في العميل. اقرن تلك النجاحات بـ p فارغ أو q فارغ لتوثيق مسار invalid_input الصلب. المهام الفاشلة التي تعيد invalid_input لا تستهلك الرصيد المدفوع مسبقاً، فيبقى استكشاف السكربتات رخيصاً عندما يرسل المتعلمون قوائم فارغة عمداً.
أسئلة تقنية
هل حاسبة ضرب كثيرات الحدود مجانية؟
أداة المتصفح مجانية وتعمل محلياً. تستخدم استدعاءات API رصيد KIT المدفوع مسبقاً بـ $0.002 لكل طلب ناجح؛ المهام الفاشلة لا تُحسب أبداً.