حاسبة الضرب النقطي
أدخلوا متجهين بالطول نفسه لتحصلوا على ضربهما القياسي وطوليهما والزاوية بينهما: يعطي [1, 2, 3] و[4, −5, 6] الناتج 12 وزاوية حادة. مجانًا في متصفحكم.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- النص الأول
- 1, 2, 3
- النص الثاني
- 4, -5, 6
- N
- 3
- الضرب النقطي
- 12
- المعيار a
- 3.7416573868
- المعيار b
- 8.7749643874
تحوّل حاسبة الضرب النقطي متجهين متساويي الطول إلى العدد القياسي a·b وأطوال إقليدية لكل متجه وجيب تمام الزاوية بينهما والزاوية نفسها بالراديان والدرجات. أدخل المتجه a والمتجه b كمصفوفات أعداد منتهية بنفس البُعد؛ تجمع الأداة نواتج المكوّنات، وتأخذ الجذور التربيعية للمعايير، وتطبّق arccos على جيب التمام المقصوص حتى لا يختلق خطأ الفاصلة العائمة زاوية غير صالحة. المتجهات الصفرية تجعل الزاوية غير معرّفة، لذلك يُرفض ذلك أيضًا.
معنى الضرب النقطي والزاوية
ذلك العدد الحقيقي الوحيد موجب عندما يشكّل المتجهان زاوية حادة، وصفر عندما يكونان متعامدين (عموديين)، وسالب عندما تكون الزاوية منفرجة. المعيار الإقليدي لمتجه هو الجذر التربيعي لضربه النقطي بنفسه، لذا |a| يساوي جذر a·a و|b| جذر b·b. التعريف الهندسي يقول عندئذ إن a·b يساوي |a| في |b| في cos θ، فيُعاد ترتيبه إلى θ يساوي arccos لـ (a·b) مقسومًا على (|a||b|) متى كان كلا المعيارين موجبين تمامًا.
يهتم المعلمون ومبرمجو الرسوميات وممارسو التعلم الآلي بهذه المتطابقة: فهي أساس الإسقاط وقيم الإضاءة وتشابه جيب التمام والتحقق من تعامد حافتين في شبكة. تسمّي هذه الأداة العلاقة أيضًا متعامدة أو متوازية بنفس الاتجاه أو متوازية بالاتجاه المعاكس أو حادة أو منفرجة حتى تثبت الاتجاه دون إعادة اشتقاق العتبات. الأطوال المختلفة خطأ صارم لأن مجموع النواتج معرّف فقط عندما يكون لكل مكوّن شريك — والحشو بالأصفار يغيّر المعنى الهندسي ويخفي أخطاء الشكل في الشيفرة المستدعية.
نصائح عملية وحدود وبحوث ذات صلة
أبقِ المتجهين بنفس الطول قبل الاستدعاء؛ إن كانت بيانات المصدر تسقط أحيانًا صفرًا أخيرًا فأصلح الشكل في المنبع بدل الاعتماد على حشو صامت. فضّل مصفوفات عددية على سلاسل مسبقة التنسيق عندما تتحكم في العميل؛ تُقبل أشكال السلاسل فقط إذا طابق كل رمز نمطًا عدديًا منتهيًا صارمًا. قد تبقى نتائج شبه متعامدة في الفاصلة العائمة بعيدة قليلًا عن الصفر بعد التقريب — إن احتجت زاوية قائمة صارمة للاختبارات فاستخدم أعدادًا صحيحة دقيقة مثل [1, 0] و[0, 1].
تستهدف هذه الصفحة من يبحث عن حاسبة ضرب نقطي أو الزاوية بين متجهين أو تشابه جيب التمام لقوائم إحداثيات؛ وهي ليست أداة ضرب متجهي (تحتاج ثلاثة أبعاد وتعيد متجهًا) ولا خدمة ضرب مصفوفات ولا نظام جبر رمزي. فضّل هذه القدرة عندما تملك مكوّنات عددية وتحتاج a·b مع θ؛ إن كان المصدر مسألة نصية فاستخرج قائمتي الإحداثيات أولًا.
حالات الاستخدام
اختبارات وحدوية لشيفرة الرسوميات والفيزياء
أنشئ أزواجًا متعامدة وحادة ومنفرجة ومتوازية مرجعية بالإضافة إلى رفض متعمد لاختلاف الطول لقيم متوقعة في محركات الألعاب والفيزياء.
تشابه جيب التمام المسبق في خطوط البيانات
تتحقق وظائف البيانات من تساوي أطوال التضمين وتحسب الضرب النقطي والزاوية ثم تتفرع حسب relation قبل التجميع أو الترتيب أو حساب الإضاءة.
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث إذا اختلف طولا المتجهين؟
مجموع المكوّنات معرّف فقط عندما يشارك المتجهان البعد نفسه.
كيف تُحسب الزاوية بين المتجهات؟
θ = arccos( (a·b) / (|a||b|) ) مع قص cos θ إلى [-1, 1] للأمان العددي. تُعاد النتائج بالراديان والدرجات.
كيف أحسب الضرب القياسي لمتجهين؟
اضربوا المركّبات المتقابلة في الموضع نفسه ثم اجمعوا النواتج. مع [1, 2, 3] و[4, −5, 6] يكون الحساب 4 − 10 + 18، أي 12.
ماذا يعني أن يكون الضرب القياسي صفرًا؟
يعني أن المتجهين متعامدان ويصنعان زاوية قائمة. تصف الحاسبة هذه الحالة بالتعامد، وتخبركم أيضًا إن كانت الزاوية حادة أو منفرجة أو كان المتجهان متوازيين.
لماذا يُرفض المتجه الصفري؟
المتجه الصفري ليس له اتجاه، لذا لا تكون الزاوية بينه وبين متجه آخر معرّفة. وبدل عرض زاوية مختلقة، ترفض الحاسبة هذه الحالة.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/dot-product \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":[1,2,3],"b":[4,-5,6]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/dot-product", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": [
1,
2,
3
],
"b": [
4,
-5,
6
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/dot-product",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": [
1,
2,
3
],
"b": [
4,
-5,
6
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/dot-product", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":[1,2,3],"b":[4,-5,6]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":[1,2,3],"b":[4,-5,6]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/dot-product", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"a": [
1,
2,
3
],
"b": [
4,
-5,
6
]
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.dot_product",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الحدود
max_abs | 1000000000000 |
max_dim | 1000 |
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
عندما يختلف طولا المتجهين تُرجع API خطأً واضحًا invalid_input بدل الحشو أو القصّ بصمت — وهذا ما يحتاجه مصححو الواجبات وخطوط الرسوميات والاختبارات الوحدوية عندما كان خطأ الشكل سيُخفى كزاوية خاطئة. المسار حساب حتمي خالص — بلا شبكة ولا بذور عشوائية ولا اعتماد على الساعة — لذا يُرجع المنفّذ المجاني في المتصفح وAPI المدفوعة مسبقًا نفس JSON بعد تقريب ثابت إلى اثنتي عشرة خانة عشرية في كل استدعاء.
معنى الضرب النقطي والزاوية
لمتجهين حقيقيين a وb من البعد نفسه n، الضرب النقطي هو مجموع a_i في b_i من i يساوي واحدًا حتى n.
كيفية استدعاء API وما يعود في الاستجابة
يجب أن يكون كل منهما مصفوفة غير فارغة من أعداد منتهية، أو سلسلة تُحلل كقائمة بين أقواس أو مفصولة بفواصل أو مسافات من أعداد منتهية. أرسل جسم JSON بحقلين إلزاميين: a (الأسماء البديلة u وvector_a وvec1) وb (الأسماء البديلة v وvector_b وvec2). يجب أن تتطابق الأبعاد تمامًا وألا تتجاوز ألف مكوّن؛ ويجب أن تبقى القيمة المطلقة لكل مكوّن ضمن تريليون واحد حتى تظل مجاميع المربعات الوسيطة منتهية بدقة IEEE المزدوجة على Worker وفي المتصفح. عند النجاح تعيد الاستجابة a وb مقرّبين، وتضبط n على الطول المشترك، وdot_product على المجموع القياسي المقرّب، وmagnitude_a وmagnitude_b على الأطوال الإقليدية المقرّبة، وcosine على cos θ المقصوص، وangle_rad وangle_deg على الزاوية بالوحدتين، وrelation على إحدى تسميات الاتجاه الخمس، وformula على سلسلة المتطابقة المعرّفة، وmessage على ملخص قصير، وsteps على مصفوفة مرتبة من أسطر التعويض يمكن عرضها في ورقة عمل أو إثباتها في الاختبارات. التحقق الفاشل — حقول ناقصة أو مدخل ليس مصفوفة أو متجهات فارغة أو أطوال غير متساوية أو مكوّنات غير منتهية أو قيم خارج الحدود المطلقة أو بُعد فوق الحد المنشور أو معيار صفري أو وسيط غير منتهٍ — يُرجع invalid_input ولا يُحصَّل أبدًا. التسعير $0.002 ثابت لكل طلب ناجح بوحدة item وسعر وحدوي هامشي صفر.
نصائح عملية وحدود وبحوث ذات صلة
عند التدريس اقرن حالات كلاسيكية: [1, 2, 3] مع [4, −5, 6] لضرب بإشارات مختلطة وزاوية حادة أو منفرجة حسب المجموع؛ [1, 0] مع [0, 1] لعرض تعامد خالص؛ [1, 2] مع [2, 4] للتوازي بنفس الاتجاه؛ وأطوالًا مختلفة عمدًا مثل [1, 2] مقابل [1, 2, 3] لمسار invalid_input. المهام الفاشلة التي تُرجع invalid_input لا تستهلك الرصيد المدفوع مسبقًا، ما يبقي سكربتات الاستكشاف رخيصة عندما يرسل المتعلمون أطوالًا غير متطابقة عمدًا. فحوصات الذهاب والإياب سهلة: أعد حساب مجموع النواتج يدويًا، وأكد المعايير بحاسبة جيب، وتحقق من أن angle_deg يقارب مئة وثمانين على pi مضروبًا في angle_rad ضمن التقريب المنشور إلى اثنتي عشرة خانة.
حالات التكامل
مراجعة واجبات هندسة المتجهات
يُدخل الطلاب قائمتي إحداثيات من تمارين الكتاب ويقارنون a·b و|a| و|b| وθ المكتوبة يدويًا بنتيجة JSON حتمية قبل التسليم.
أسئلة تقنية
ما الضرب النقطي لمتجهين؟
لمتجهين a وb متساويي الطول، a·b هو مجموع a_i في b_i على كل مكوّن. هندسيًا يساوي |a||b|cos θ.
هل يجوز أن يكون أحد المتجهين صفرًا؟
لا في مسار الزاوية. المعيار الصفري يجعل cos θ غير معرّف، لذا ترفض API المتجهات الصفرية بـ invalid_input.
هل حاسبة الضرب النقطي مجانية؟
أداة المتصفح مجانية وتعمل محليًا. تستدعي API رصيد KIT مدفوعًا مسبقًا بـ $0.002 لكل طلب ناجح؛ المهام الفاشلة لا تُحصَّل أبدًا.