Skalarprodukt-Rechner
Geben Sie zwei gleich lange Vektoren ein und erhalten Sie Skalarprodukt, beide Längen und den Winkel zwischen ihnen: [1, 2, 3] und [4, −5, 6] ergeben 12 und einen spitzen Winkel. Kostenlos in Ihrem Browser.
- Kostenlos
- Läuft in Ihrem Browser
- Ohne Anmeldung
- Ihre Daten bleiben auf Ihrem Gerät
Im Browser ausführen – kostenlos
Rechenbeispiel
- Erster Text
- 1, 2, 3
- Zweiter Text
- 4, -5, 6
- N
- 3
- Skalarprodukt
- 12
- Betrag a
- 3,7416573868
- Betrag b
- 8,7749643874
Ein Skalarprodukt-Rechner wandelt zwei gleich lange Vektoren in den Skalar a·b, die euklidischen Längen jedes Vektors, den Kosinus des Winkels zwischen ihnen und den Winkel selbst in Radiant und Grad um. Geben Sie Vektor a und Vektor b als Arrays endlicher Zahlen gleicher Dimension ein; das Werkzeug summiert die komponentenweisen Produkte, zieht Quadratwurzeln für die Beträge und wendet arccos auf den geklemmten Kosinus an, sodass Gleitkommafehler keinen ungültigen Winkel erfinden. Nullvektoren machen den Winkel undefiniert; auch dieser Fall wird abgelehnt.
Was Skalarprodukt und Winkel bedeuten
Der euklidische Betrag eines Vektors ist die Quadratwurzel seines Selbst-Skalarprodukts, also ist |a| die Wurzel aus a·a und |b| die aus b·b. Die geometrische Definition sagt dann, dass a·b gleich |a| mal |b| mal cos θ ist, was zu θ gleich arccos von (a·b) geteilt durch (|a||b|) umgestellt wird, sobald beide Beträge strikt positiv sind. Lehrkräfte, Grafikprogrammierer und Praktiker des maschinellen Lernens achten auf diese Identität: sie ist die Grundlage von Projektion, Beleuchtungsnormalen, Kosinus-Ähnlichkeit und der Prüfung, dass zwei Kanten in einem Netz senkrecht sind.
Dieses Werkzeug kennzeichnet die Relation außerdem als orthogonal, parallel gleiche Richtung, parallel entgegengesetzte Richtung, spitz oder stumpf, sodass Sie die Orientierung behaupten können, ohne Schwellen selbst abzuleiten. Unterschiedliche Längen sind ein harter Fehler, weil die Summe der Produkte nur definiert ist, wenn jede Komponente einen Partner hat — Auffüllen mit Nullen würde die geometrische Bedeutung ändern und Formfehler im aufrufenden Code verbergen.
Praktische Tipps, Grenzen und verwandte Suchen
Halten Sie beide Vektoren vor dem Aufruf auf gleicher Länge; wenn Ihre Quelldaten manchmal eine abschließende Null weglassen, korrigieren Sie die Form stromaufwärts statt auf stilles Auffüllen zu vertrauen. Bevorzugen Sie Zahlenarrays gegenüber vorformatierten Zeichenketten, wenn Sie den Client steuern; Zeichenkettenformen werden nur akzeptiert, wenn jedes Token einem strengen endlichen Zahlenmuster entspricht. Nahezu orthogonale Gleitkommaergebnisse können nach der Rundung leicht neben null landen — brauchen Sie einen harten rechten Winkel für Tests, verwenden Sie exakte Ganzzahlen wie [1, 0] und [0, 1].
Bevorzugen Sie diese Fähigkeit, wenn Sie bereits numerische Komponenten haben und a·b plus θ brauchen; ist die Quelle eine Textaufgabe, extrahieren Sie zuerst die beiden Koordinatenlisten.
Anwendungsfälle
Unit-Tests für Grafik- und Physikcode
Erzeugen Sie bekannte orthogonale, spitze, stumpfe und parallele Paare sowie gezielte Ablehnungen bei Längenmismatch für erwartete Werte in Spiel- und Physik-Engines.
Vorab-Kosinus-Ähnlichkeit in Pipelines
Datenjobs prüfen gleiche Embedding-Längen, berechnen Skalarprodukt und Winkel und verzweigen nach relation vor Clustering, Ranking oder Beleuchtungsrechnungen.
Häufige Fragen
Was passiert bei unterschiedlichen Vektorlängen?
Die komponentenweise Summe ist nur definiert, wenn beide Vektoren dieselbe Dimension teilen.
Wie wird der Winkel zwischen Vektoren berechnet?
θ = arccos( (a·b) / (|a||b|) ), mit cos θ auf [-1, 1] geklemmt. Ergebnisse kommen in Radiant und Grad.
Wie berechne ich das Skalarprodukt zweier Vektoren?
Multiplizieren Sie die Komponenten an gleicher Stelle und addieren Sie die Ergebnisse. Für [1, 2, 3] und [4, −5, 6] ergibt das 4 − 10 + 18, also 12.
Was bedeutet ein Skalarprodukt von null?
Die beiden Vektoren stehen dann senkrecht aufeinander und bilden einen rechten Winkel. Der Rechner kennzeichnet das als orthogonal und sagt auch, ob der Winkel spitz oder stumpf ist oder die Vektoren parallel sind.
Warum wird ein Nullvektor abgelehnt?
Ein Nullvektor hat keine Richtung, deshalb ist der Winkel zu einem anderen Vektor nicht definiert. Statt einen erfundenen Winkel anzuzeigen, lehnt der Rechner diesen Fall ab.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/dot-product \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":[1,2,3],"b":[4,-5,6]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/dot-product", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": [
1,
2,
3
],
"b": [
4,
-5,
6
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/dot-product",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": [
1,
2,
3
],
"b": [
4,
-5,
6
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/dot-product", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":[1,2,3],"b":[4,-5,6]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":[1,2,3],"b":[4,-5,6]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/dot-product", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"a": [
1,
2,
3
],
"b": [
4,
-5,
6
]
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.dot_product",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Limits
max_abs | 1000000000000 |
max_dim | 1000 |
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Haben die beiden Vektoren unterschiedliche Längen, liefert die API einen klaren invalid_input-Fehler statt stillschweigend aufzufüllen oder zu kürzen — genau das, was Hausaufgabenprüfer, Grafikpipelines und Unit-Tests brauchen, wenn ein Formfehler sonst als falscher Winkel verborgen bliebe.
Was Skalarprodukt und Winkel bedeuten
Für zwei reelle Vektoren a und b derselben Dimension n ist das Skalarprodukt die Summe von i gleich eins bis n von a_i mal b_i. Diese eine reelle Zahl ist positiv, wenn die Vektoren einen spitzen Winkel bilden, null, wenn sie orthogonal (senkrecht) sind, und negativ, wenn der Winkel stumpf ist.
So rufen Sie die API auf und was zurückkommt
Jedes muss ein nichtleeres Array endlicher Zahlen sein oder eine Zeichenkette, die als geklammerte oder komma- bzw. leerzeichengetrennte Liste endlicher Zahlen geparst wird. Senden Sie einen JSON-Körper mit zwei Pflichtfeldern: a (Aliase u, vector_a, vec1) und b (Aliase v, vector_b, vec2). Die Dimensionen müssen exakt übereinstimmen und dürfen eintausend Komponenten nicht überschreiten; jeder absolute Komponentenwert muss innerhalb einer Billion bleiben, damit Zwischensummen der Quadrate in IEEE-Doppelpräzision auf dem Worker und im Browser endlich bleiben. Bei Erfolg spiegelt die Antwort gerundetes a und b, setzt n auf die gemeinsame Länge, dot_product auf den gerundeten Skalar, magnitude_a und magnitude_b auf die gerundeten euklidischen Längen, cosine auf den geklemmten cos θ, angle_rad und angle_deg auf den Winkel in beiden Einheiten, relation auf eines der fünf Orientierungslabels, formula auf die definierende Identitätszeichenkette, message auf eine kurze Zusammenfassung und steps auf ein geordnetes Array von Substitutionszeilen, die Sie in einem Arbeitsblatt zeigen oder in Tests assertieren können. Fehlgeschlagene Validierung — fehlende Felder, kein Array, leere Vektoren, ungleiche Längen, nichtendliche Komponenten, Werte außerhalb absoluter Grenzen, Dimension über dem veröffentlichten Maximum, Nullbetrag oder nichtendliches Zwischenprodukt — liefert invalid_input und wird nie berechnet. Der Preis ist ein pauschales $0.002 pro erfolgreicher Anfrage mit Einheit item und marginalem Stückpreis null.
Praktische Tipps, Grenzen und verwandte Suchen
Kombinieren Sie beim Unterrichten klassische Fälle: [1, 2, 3] mit [4, −5, 6] für ein Produkt mit gemischten Vorzeichen und spitzem oder stumpfem Winkel je nach Summe; [1, 0] mit [0, 1] für eine reine Orthogonaldemo; [1, 2] mit [2, 4] für parallel gleiche Richtung; und bewusst ungleiche Längen wie [1, 2] versus [1, 2, 3] für den invalid_input-Pfad. Diese Seite zielt auf Personen, die einen Skalarprodukt-Rechner, den Winkel zwischen zwei Vektoren oder Kosinus-Ähnlichkeit von Koordinatenlisten suchen; es ist kein Kreuzprodukt-Werkzeug (das drei Dimensionen braucht und einen Vektor liefert), kein Matrixmultiplikationsdienst und kein symbolisches Computeralgebrasystem. Fehlgeschlagene Aufgaben mit invalid_input verbrauchen kein vorausbezahltes Guthaben, was explorative Skripte günstig hält, wenn Lernende absichtlich ungleiche Längen senden. Round-Trip-Prüfungen sind einfach: berechnen Sie die Produktsumme von Hand nach, bestätigen Sie Beträge mit einem Taschenrechner und prüfen Sie, dass angle_deg etwa einhundertachtzig durch pi mal angle_rad innerhalb der veröffentlichten Zwölf-Dezimalstellen-Rundung ist.
Integrationsbeispiele
Hausaufgabenprüfung zur Vektorgeometrie
Lernende geben zwei Koordinatenlisten aus Lehrbuchübungen ein und vergleichen handschriftliches a·b, |a|, |b| und θ mit einem deterministischen JSON-Ergebnis vor der Abgabe.
Technische Fragen
Was ist das Skalarprodukt zweier Vektoren?
Für gleich lange Vektoren a und b ist a·b die Summe von a_i mal b_i über jede Komponente. Geometrisch gilt a·b = |a||b|cos θ.
Darf einer der Vektoren der Nullvektor sein?
Nein auf dem Winkelpfad. Ein Nullbetrag macht cos θ undefiniert, daher lehnt die API Nullvektoren mit invalid_input ab.
Ist der Skalarprodukt-Rechner kostenlos?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos und läuft lokal. API-Aufrufe nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreicher Anfrage; Fehlschläge werden nie berechnet.