Linearkombination-Rechner

Eine Linearkombination von Vektoren ist der einzige Vektor, den Sie erhalten, indem Sie jeden Eingabevektor mit einem passenden skalaren Koeffizienten skalieren und diese skalierten Kopien anschließend komponentenweise addieren. Dieser Rechner nimmt eine Liste von Koeffizienten und eine Liste von Vektoren gleicher Anzahl, multipliziert jeden Vektor mit seinem Koeffizienten und liefert den Ergebnisvektor. Lehrkräfte nutzen diese Identität zur Kontrolle von Aufgaben zu Erzeugendensystemen, Basen und baryzentrischen Koordinaten; Grafik- und Physikcode nutzt sie, um Verschiebungen, RGB-Farben und Kraftresultierende zu mischen. Alle Vektoren müssen eine Dimension teilen.

Was eine Linearkombination von Vektoren bedeutet

Für k reelle Vektoren v1 bis vk, die eine Dimension n teilen, und k reelle Skalare c1 bis ck ist die Linearkombination der eindeutige Vektor c1 v1 plus c2 v2 plus bis ck vk. Die i-te Komponente dieses Ergebnisses ist die gewöhnliche Summe c1 mal dem i-ten Eintrag von v1 plus c2 mal dem i-ten Eintrag von v2 plus bis ck mal dem i-ten Eintrag von vk.

In zwei Dimensionen ist das eine gewichtete Mischung von Pfeilen in der Ebene; in drei Dimensionen mischt dasselbe Rezept x, y und z; in n Dimensionen skalieren Sie jede gepaarte Koordinate und hören auf. Geometrisch streckt oder kehrt jeder Koeffizient seinen Vektor um, und die Summe ist die Parallelogrammregel (oder Polygonregel) auf diese skalierten Kopien angewandt. Algebra und Geometrie stimmen nur überein, wenn alle Vektoren dieselbe Länge haben und jeder Koeffizient einen Partner hat.

Eine Liste von drei Gewichten gegen zwei Vektoren ist in der elementaren linearen Algebra keine Linearkombination; eine fehlende Eins oder Null zu erfinden würde das Ergebnis still ändern und einen Formfehler im aufrufenden Code verbergen. Derselbe harte Fehler gilt, wenn die Vektoren selbst gemischte Dimensionen haben. Linearkombinationen sind die Sprache von Erzeugendensystemen, Basen, baryzentrischen Koordinaten, Farbmischung und Kraftresultierenden: jeder Vektor in einem Unterraum ist eine gewichtete Summe erzeugender Vektoren.

Lehrkräfte nutzen die Komponentenform zur Hausaufgabenkontrolle; Grafik- und Physikengines nutzen sie, weil sie eine enge Multiplizier-Addier-Schleife ist. Unterschiedliche Anzahlen oder Dimensionen sind ein harter Fehler, weil das gewichtete Parallelogramm nur definiert ist, wenn jeder Term vollständig ist.

Praktische Hinweise, Grenzen und verwandte Suchen

Halten Sie die Koeffizientenliste vor dem Aufruf auf derselben Länge wie die Vektorliste; wenn Ihre Quelldaten manchmal ein abschließendes Gewicht weglassen, beheben Sie die Form stromaufwärts statt auf stilles Auffüllen zu vertrauen. Koppeln Sie klassische Fälle beim Unterrichten: zwei Koeffizienten gegen die Standardbasis der Ebene für einen Lehrbuchgang; dreidimensionale Terme gemischter Vorzeichen für ein Arbeitsblatt, das wirklich subtrahiert; einen einzelnen Koeffizienten gegen einen einzelnen Vektor, um zu zeigen, dass Skalierung der Ein-Term-Fall ist; und absichtlich unterschiedliche Anzahlen wie [1, 2] gegen einen Vektor für den Fehlerpfad.

Diese Seite zielt auf Menschen, die eine Linearkombination von Vektoren, einen Linearkombination-Rechner oder eine gewichtete Summe von Vektorkomponenten suchen. Es ist kein Zwei-Vektor-Additionswerkzeug (das genau zwei ungewichtete Listen nimmt), kein Skalarprodukt-Werkzeug (das einen Skalar liefert), kein Kreuzprodukt-Werkzeug und kein Matrixmultiplikationsdienst. Bevorzugen Sie diese Fähigkeit, wenn Sie bereits Zahlenkoeffizienten und Koordinatenlisten haben und c1 v1 plus bis ck vk brauchen; ist die Quelle eine Textaufgabe, ziehen Sie zuerst die Gewichte und die Koordinatenlisten heraus.