Calculadora de combinação linear
Multiplique cada vetor pelo seu coeficiente e some os resultados componente a componente: 2 vezes (1, 0) mais 3 vezes (0, 1) dá (2, 3). Até 64 vetores da mesma dimensão, para conferir espaços gerados, misturar cores ou somar forças. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Coeficientes
- 2, 3
- Resultado
- 2, 3
- Dimensão
- 2
- Quantidade de termos
- 2
Uma combinação linear de vetores é o único vetor obtido ao escalar cada vetor de entrada por um coeficiente escalar emparelhado e depois somar essas cópias escaladas componente a componente. Esta calculadora recebe uma lista de coeficientes e uma lista de vetores da mesma contagem, multiplica cada vetor pelo seu coeficiente e devolve o vetor resultante. Professores usam essa identidade para conferir lições de geradores, bases e coordenadas baricêntricas; código de gráficos e de física a usa para misturar deslocamentos, cores RGB e resultantes de força. Todos os vetores devem compartilhar uma dimensão.
O que significa uma combinação linear de vetores
Para k vetores reais v1 até vk que compartilham uma dimensão n, e k escalares reais c1 até ck, a combinação linear é o único vetor c1 v1 mais c2 v2 mais até ck vk. A componente i desse resultado é a soma ordinária de c1 vezes a entrada i-ésima de v1 mais c2 vezes a entrada i-ésima de v2 mais até ck vezes a entrada i-ésima de vk.
Em duas dimensões isso é uma mistura ponderada de setas no plano; em três dimensões a mesma receita mistura x, y e z; em n dimensões escala-se cada coordenada emparelhada e encerra-se. Geometricamente cada coeficiente estica ou inverte o seu vetor, e a soma é a lei do paralelogramo (ou do polígono) aplicada a essas cópias escaladas. Álgebra e geometria só concordam quando todos os vetores têm o mesmo comprimento e cada coeficiente tem parceiro.
Uma lista de três pesos contra dois vetores não é combinação linear na álgebra linear elementar; inventar um um ou um zero ausente mudaria o resultado em silêncio e esconderia um defeito de forma no código chamador. O mesmo erro rígido vale quando os próprios vetores têm dimensões misturadas. Combinações lineares são a linguagem de geradores, bases, coordenadas baricêntricas, mistura de cor e resultantes de força: todo vetor de um subespaço é alguma soma ponderada de vetores geradores.
Professores usam a forma por componentes para corrigir lições; motores de gráficos e de física a usam porque é um laço fechado de multiplicações e somas. Contagens ou dimensões diferentes são um erro rígido porque o paralelogramo ponderado só está definido quando cada termo está completo.
Dicas práticas, limites e buscas relacionadas
Mantenha a lista de coeficientes com o mesmo comprimento da lista de vetores antes de chamar; se os dados de origem às vezes omitem um peso final, corrija a forma a montante em vez de confiar em um preenchimento silencioso.
Emparelhe casos clássicos ao ensinar: dois coeficientes contra a base canônica do plano para um percurso de livro; termos tridimensionais de sinal misto para uma folha que de fato usa subtração; um único coeficiente contra um único vetor para mostrar que o escalamento é o caso de um termo; e contagens deliberadamente diferentes como [1, 2] versus um vetor para a rota de erro. Esta página visa quem busca uma combinação linear de vetores, uma calculadora de combinação linear ou uma soma ponderada de componentes vetoriais.
Não é uma ferramenta de soma de dois vetores (que recebe exatamente duas listas sem peso), nem de produto escalar (que devolve um escalar), nem de produto vetorial, nem um serviço de multiplicação de matrizes. Prefira esta capacidade quando já tiver coeficientes numéricos e listas de coordenadas e precisar de c1 v1 mais até ck vk; se a fonte for um enunciado, extraia primeiro os pesos e as listas de coordenadas.
Casos de uso
Testes unitários de gráficos e física
Gere somas ponderadas bidimensionais e tridimensionais de referência mais rejeições deliberadas por contagem distinta para valores esperados em motores, shaders e solucionadores.
Resultantes ponderadas em pipelines de dados
Jobs validam contagens de termos iguais, formam uma mistura ponderada de deslocamentos, cores ou vetores de força e passam o vetor resultante à etapa seguinte.
Perguntas frequentes
Como se calcula uma combinação linear de vetores?
Escale cada vetor pelo coeficiente emparelhado e some as cópias escaladas componente a componente.
O que acontece se a contagem de coeficientes diferir do número de vetores?
Uma combinação linear só está definida quando cada vetor tem um coeficiente parceiro; nada é preenchido nem truncado.
Os vetores podem ter dimensões diferentes?
Não. Cada vetor interno deve compartilhar uma dimensão.
Um único vetor escalado é combinação linear?
Sim. Um coeficiente e um vetor é o caso de um termo: o resultado é esse coeficiente vezes esse vetor. Dois ou mais termos somam as cópias escaladas.
Quanto custa a calculadora de combinação linear?
A ferramenta do navegador é gratuita e roda no aparelho.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/linear-combination \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[2,3],"vectors":[[1,0],[0,1]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/linear-combination", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"coefficients": [
2,
3
],
"vectors": [
[
1,
0
],
[
0,
1
]
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/linear-combination",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
2,
3
],
"vectors": [
[
1,
0
],
[
0,
1
]
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/linear-combination", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[2,3],"vectors":[[1,0],[0,1]]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[2,3],"vectors":[[1,0],[0,1]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/linear-combination", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"coefficients": [
2,
3
],
"vectors": [
[
1,
0
],
[
0,
1
]
]
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.linear_combination",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_terms | 64 |
max_dim | 256 |
max_abs | 1000000000000 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Se a contagem de coeficientes diferir do número de vetores, a ferramenta devolve invalid_input em vez de inventar um peso ausente, para que um escalar omitido não se esconda como uma seta errada. O caminho é aritmética determinística pura — sem rede, sem sementes aleatórias, sem relógio —, de modo que o executor gratuito do navegador e a API pré-paga devolvem o mesmo JSON após arredondamento fixo a doze casas decimais em cada chamada.
O que significa uma combinação linear de vetores
Esta calculadora trata portanto uma contagem de coeficientes diferente do número de vetores como invalid_input, não como um sucesso preenchido.
Como chamar a API e o que volta na resposta
Os coeficientes devem ser um array não vazio de números finitos, ou uma string que se interprete como lista entre colchetes ou separada por vírgulas ou espaços de números finitos. Envie um corpo JSON com dois campos obrigatórios: coefficients (apelidos coeffs, scalars, weights, c) e vectors (apelidos vs, vecs, v). Os vetores devem ser um array aninhado não vazio de listas numéricas de igual dimensão, ou uma string JSON dessa forma. A contagem de coeficientes deve igualar exatamente o número de vetores; cada vetor interno deve compartilhar uma dimensão de no máximo duzentos e cinquenta e seis componentes; aceitam-se no máximo sessenta e quatro termos; cada coeficiente ou componente em valor absoluto deve permanecer dentro de um trilhão para que os produtos intermediários sigam finitos em precisão dupla IEEE. Em sucesso a resposta ecoa coefficients e vectors arredondados, define result como a soma ponderada por componentes, dimension como o comprimento compartilhado, term_count como k, formula como a cadeia da identidade definidora e steps como um array ordenado de linhas de substituição que você pode mostrar em uma folha ou afirmar em testes. A validação falha — campos ausentes, listas vazias, uma contagem de coeficientes diferente do número de vetores, dimensões internas misturadas, valores não finitos, valores fora dos limites absolutos ou um tamanho acima do máximo publicado — devolve invalid_input e nunca é cobrada. O preço é um US$ 0,002 fixo por requisição bem-sucedida com unidade item. Exemplo: coefficients [2, 3] com vectors [[1, 0], [0, 1]] produz result [2, 3] e dimension 2. Exemplo: coefficients [1, -1, 2] com vectors [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [0, 1, -1]] produz result [-3, -1, -5]. Emparelhe um descompasso deliberado de contagem, como dois coeficientes contra um vetor, quando quiser o caminho invalid_input.
Dicas práticas, limites e buscas relacionadas
Prefira arrays numéricos a strings pré-formatadas quando controlar o cliente; formas em string só são aceitas se cada token coincidir com um padrão numérico finito estrito para os coeficientes, ou um array JSON de arrays para os vetores. Sobras de ponto flutuante perto de zero ainda podem cair um pouco fora de zero após o arredondamento: se precisar de uma origem exata para testes, use inteiros como coefficients [1, -1] com vectors [[1, 0], [1, 0]]. Tarefas falhas que devolvem invalid_input não consomem saldo pré-pago, o que mantém baratos os scripts exploratórios quando aprendizes enviam de propósito contagens distintas. Checagens de ida e volta são simples: recálcule à mão cada componente escalada e confirme que dimension iguala o comprimento interno enviado e que term_count iguala o número de pares.
Casos de integração
Conferência de lições de geradores e bases
Alunos informam coeficientes e vetores geradores de exercícios de livro e comparam a combinação linear manuscrita com um resultado JSON determinístico antes de entregar.