2×2-Eigenwert-Rechner

Ein 2×2-Eigenwert-Rechner beantwortet die klassische lineare-Algebra-Frage für die kleinsten nichttrivialen quadratischen Matrizen: Gegeben eine reelle Matrix A mit vier endlichen Einträgen — welche Skalare λ und welche von Null verschiedenen Vektoren v erfüllen Av = λv? Dieses Werkzeug baut das monische charakteristische Polynom det(A − λI) = λ² − tr(A)λ + det(A), löst die Quadratik mit der Diskriminante Δ = tr² − 4 det und liefert entweder zwei verschiedene reelle Eigenwerte, einen doppelten reellen Eigenwert oder ein komplex konjugiertes Paar, zusammen mit passenden Eigenvektoren (reelle Einheitsvektoren oder komplexe Vektoren als Real- und Imaginärteil).

Was Eigenwerte über eine Matrix verraten

Ein Eigenvektor ist eine Richtung, die eine Matrix nicht dreht, sondern nur streckt, staucht oder umkehrt; der Eigenwert gibt an, um welchen Faktor. Bei einer 2×2-Matrix genügen zwei Zahlen, um die Eigenwerte festzulegen: die Spur, also die Summe der Diagonaleinträge, und die Determinante. Aus ihnen entsteht die Gleichung λ² − Spur·λ + Determinante gleich null. Für die Matrix mit den Zeilen (4, 1) und (2, 3) sind die Spur 7 und die Determinante 10, die Eigenwerte also 5 und 2.

Reell, doppelt oder komplex

Welche Art von Eigenwerten herauskommt, entscheidet die Diskriminante, also das Quadrat der Spur minus das Vierfache der Determinante. Ist sie positiv, gibt es zwei verschiedene reelle Eigenwerte, wie im Beispiel mit der Diskriminante 9. Ist sie null, gibt es einen doppelten reellen Eigenwert. Ist sie negativ, entsteht ein konjugiert komplexes Paar, und die Eigenvektoren werden mit Real- und Imaginärteil angegeben. Ein häufiger Fehler ist es, Zeilen und Spalten zu vertauschen: Spur und Determinante bleiben gleich, die Eigenvektoren aber nicht.

Was die charakteristische Gleichung für eine 2×2-Matrix berechnet

Die Entwicklung der Zwei-mal-zwei-Determinante liefert die monische Quadratik λ² − (a+d)λ + (ad − bc), sodass die Koeffizienten vollständig durch die Spur tr(A) = a + d und die Determinante det(A) = ad − bc bestimmt sind. Die Diskriminante dieser Quadratik ist Δ = tr(A)² − 4 det(A), was äquivalent zu (a − d)² + 4bc expandiert.

Ist Δ positiv, gibt es zwei verschiedene reelle Eigenwerte λ± = (tr ± √Δ) / 2; ist Δ null, gibt es einen doppelten reellen Eigenwert λ = tr/2 algebraischer Vielfachheit zwei; ist Δ negativ, sind die Wurzeln das komplex konjugierte Paar α ± iβ mit α = tr/2 und β = √|Δ|/2.

Jeder reelle Eigenwert λ kommt mit mindestens einem reellen Eigenvektor aus dem Nullraum von A − λI: ein praktischer Erzeuger ist die von Null verschiedene Zeile dieser Matrix als 2-Vektor, den dieses Werkzeug so orientiert, dass die erste von Null verschiedene Komponente nichtnegativ ist, und dann auf euklidische Einheitslänge normalisiert. Bei einem doppelten Eigenwert kann die geometrische Vielfachheit eins sein (eine einzige Gerade von Eigenvektoren, der defekte Fall) oder zwei (jeder von Null verschiedene Vektor funktioniert, wenn A ein skalares Vielfaches der Einheitsmatrix ist).

Lehrkräfte, Bewerter und Kata-Autoren achten ebenso sehr auf die nichtnumerische Ablehnung wie auf die Wurzeln: Eine Zelle mit Text ist kein Matrixeintrag, und Null oder NaN zu erfinden würde den Fehler verbergen.

Praktische Tipps, Grenzen und verwandte Suchen

Halten Sie jeden Eintrag im veröffentlichten Absolutbereich und bevorzugen Sie verschachtelte Zahlenarrays, wenn Sie den Client steuern; die Textform ist praktisch für Einfügen-aus-Tabellenkalkulation, parst aber unter denselben Zahlenregeln. Nahezu null Diskriminanten werden unter einem festen Epsilon als exakte Null behandelt, damit Gleitkommarauschen eine doppelte Wurzel nicht in ein winziges komplexes Paar kippt. Bevorzugen Sie diese Fähigkeit, wenn Sie bereits vier numerische Einträge haben und nur das geschlossene Spektrum brauchen; ist die Quelle eine Textaufgabe, stellen Sie zuerst die Koeffizientenmatrix zusammen.

Round-Trip-Prüfungen sind einfach: prüfen Sie, dass jedes gemeldete reelle Paar Av ≈ λv innerhalb der Rundung erfüllt, dass das Produkt der Eigenwerte det und die Summe die Spur ergibt, und dass komplexe Paare als Konjugierte erscheinen. Nutzen Sie Matrixrang-Werkzeuge, wenn Sie Pivot-Rang statt Spektrum brauchen, und behalten Sie n×n-Numerikbibliotheken für größere dichte Probleme außerhalb dieses pädagogischen Zwei-mal-zwei-Rahmens.