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2×2固有値計算機

Q: 成分が数でない場合はどうなりますか？

ツールは NaN 固有値を捏造せず、テキストを黙って零に変換しません。

Q: 2×2より大きい行列でも使えますか？

いいえ。 この能力は閉形式の特性二次式が適用されるよう、厳密に2×2の実行列だけを受け付けます。n×n 問題には一般の数値固有値ソルバーを使ってください。

Q: 判別式が負の場合は？

複素共役固有値対 α ± iβ が得られ、固有ベクトルは実部と虚部として報告されます。実固有値を持たない実行列に対する複素数上の正しいスペクトルです。

Q: 固有ベクトルとは何ですか？

行列を掛けても向きが変わらず、固有値の倍率で伸び縮みするだけの、零でないベクトルです。行が (4, 1) と (2, 3) の行列では、ベクトル (1, 1) が固有値5に対応します。

2×2行列の4つの成分を入力すると、固有値と固有ベクトルが分かります。行が (4, 1) と (2, 3) の行列はトレース7、行列式10で、固有値は5と2です。ブラウザで無料で使えます。

無料
ブラウザで動作
登録不要
データは端末の外に出ません

無料で実行 API仕様を見る

ご利用方法ウェブAPIメールTelegramアプリ近日

2×2固有値計算機は、最も小さい非自明な正方行列に対する線形代数の古典的な問いに答えます。4つの有限成分を持つ実行列 A が与えられたとき、どのスカラー λ とどの非零ベクトル v が Av = λv を満たすか。本ツールはモニックな特性多項式 det(A − λI) = λ² − tr(A)λ + det(A) を組み立て、判別式 Δ = tr² − 4 det で二次方程式を解き、相異なる2つの実固有値、重複する1つの実固有値、または複素共役対のいずれかと、対応する固有ベクトル（単位実ベクトル、または実部と虚部としての複素ベクトル）を返します。行列を入れ子の数値行、またはカンマと改行付きの平文として入力してください。経路は純粋な決定的算術です。

2×2行列で特性方程式が計算するもの

2×2行列式を展開するとモニック二次式 λ² − (a+d)λ + (ad − bc) が得られ、係数はトレース tr(A) = a + d と行列式 det(A) = ad − bc だけで完全に決まります。その二次式の判別式は Δ = tr(A)² − 4 det(A) で、同等に (a − d)² + 4bc に展開されます。

Δ が正なら相異なる2つの実固有値 λ± = (tr ± √Δ) / 2、Δ が零なら代数的多重度2の重複実固有値 λ = tr/2、Δ が負なら複素共役対 α ± iβ（α = tr/2、β = √|Δ|/2）です。各実固有値 λ には A − λI の零空間から少なくとも1つの実固有ベクトルが付きます。

便利な生成元はその行列の非零行を2ベクトルにしたもので、本ツールは最初の非零成分が非負になるよう向きを揃え、ユークリッド単位長に正規化します。重複固有値では幾何的多重度が1（固有ベクトルの直線1本、欠陥の場合）または2（A が単位行列のスカラー倍なら任意の非零ベクトルが働く）になり得ます。

教員、採点者、コーディングカタの作者は根と同様に非数値拒否を重視します。テキストを含むセルは行列成分ではなく、零や NaN を捏造すると誤りを隠します。

実務のヒント、制限、関連検索

各成分を公開の絶対範囲内に保ち、クライアントを制御できるときは入れ子の数値配列を優先してください。テキスト形式は表計算からの貼り付けに便利ですが、同じ数値規則で解析されます。ほぼ零の判別式は固定イプシロンの下で厳密零とみなし、浮動小数の雑音が重複根を微小な複素対に反転させないようにします。

教えるときは例を組み合わせます。[[4つの数値成分が既にあり閉形式スペクトルだけが必要なときにこの能力を選び、文章題なら先に係数行列を組み立ててください。往復確認は容易です。報告された各実ペアが丸め内で Av ≈ λv を満たすこと、固有値の積が det・和がトレースに等しいこと、複素対が共役として現れることを検証します。

スペクトルではなくピボット階数が必要なら行列ランクツールを使い、この教育的2×2範囲外の大きな密問題には n×n 数値ライブラリを保ってください。

活用例

2×2固有問題の宿題チェック

学生が教科書の2×2行列を貼り付け、手計算の特性根と固有ベクトルを決定的な結果と照合してから提出します。

小規模モデルでのスペクトル事前確認

制御・データパイプラインが2×2ブロックのスペクトル（安定性、正の固有値）を主張し、完全な数値線形代数スタックを引き込まずに済みます。

よくある質問

ここでの2×2固有値の計算方法は？

ツールはモニック特性多項式 λ² − tr(A)λ + det(A) を作り、判別式 Δ = tr² − 4 det を評価して二次方程式を解きます。固有ベクトルは A − λI の零空間（Δ < 0 のときは複素共役構成）から得ます。

成分が数でない場合はどうなりますか？

ツールは NaN 固有値を捏造せず、テキストを黙って零に変換しません。

2×2より大きい行列でも使えますか？

いいえ。この能力は閉形式の特性二次式が適用されるよう、厳密に2×2の実行列だけを受け付けます。n×n 問題には一般の数値固有値ソルバーを使ってください。

判別式が負の場合は？

複素共役固有値対 α ± iβ が得られ、固有ベクトルは実部と虚部として報告されます。実固有値を持たない実行列に対する複素数上の正しいスペクトルです。

固有ベクトルとは何ですか？

行列を掛けても向きが変わらず、固有値の倍率で伸び縮みするだけの、零でないベクトルです。行が (4, 1) と (2, 3) の行列では、ベクトル (1, 1) が固有値5に対応します。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/eigenvalues-2x2

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/eigenvalues-2x2 \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"matrix":[[4,1],[2,3]]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/eigenvalues-2x2", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "matrix": [
      [
        4,
        1
      ],
      [
        2,
        3
      ]
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/eigenvalues-2x2",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "matrix": [
        [
            4,
            1
        ],
        [
            2,
            3
        ]
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/eigenvalues-2x2", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"matrix":[[4,1],[2,3]]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[4,1],[2,3]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/eigenvalues-2x2", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "matrix": [
    [
      4,
      1
    ],
    [
      2,
      3
    ]
  ]
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.eigenvalues_2x2",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

制限

max_abs 1000000000000

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

非数値セルや厳密に2×2でないものは invalid_input で拒否され、宿題やパイプラインが静かな NaN を見ないようにします。ネットワークも乱数シードも壁時計依存もなく、無料のブラウザ実行器と前払い API は固定12桁丸めの後、毎回同じ JSON を返します。

2×2行列で特性方程式が計算するもの

実行列 A = [[a, b], [c, d]] について、固有値は特性多項式 p(λ) = det(A − λI) の根です。複素固有値は実部と虚部の座標ベクトルとして報告され、JSON が素の数値のままになるようにします。

API の呼び出し方と返り値

ちょうど2行・各2有限数の配列 — 例 [[4, 1], [2, 3]] — か、改行またはセミコロンで区切った2行とカンマまたは空白で区切った成分のテキストブロックを受け付けます。各成分は絶対値が公開限界の1兆以内の有限数でなければなりません。失敗した検証は前払い残高を消費しないため、学習者が意図的にテキストセルや3×3の貼り付け誤りを送る探索スクリプトを安く保てます。必須フィールド matrix（別名 rows、A、data）を持つ JSON 本体を送ってください。2×2以外の次元、空行、matrix 欠落、非数値セルはすべて invalid_input を返し課金されません。成功時、応答は matrix を丸めた元行列、trace と det を丸めた不変量、characteristic をモニック係数三つ組 [1, −tr, det] に公式文字列と判別式を加えたもの、kind を two_real・repeated_real・complex_conjugate のいずれか、eigenvalues を実フラグと多重度付きの順序付き値リスト、eigenvectors を対応するベクトル（および単位正規化）データ、message を短い要約、steps をワークシート表示やテスト断言に使える導出メモの順序付き配列に設定します。価格は成功リクエストごとに固定 $0.002、単位 item、限界単価は零です。

実務のヒント、制限、関連検索

4, 1], [2, 3]] は相異なる実固有値5と2と明確な固有ベクトル、単位行列は幾何的多重度2の二重固有値1、[[0, −1], [1, 0]] のような回転・拡大ブロックは純虚固有値 ±i、文字列セルを含む行列は非数値の硬 invalid_input 経路を示します。このページは2×2固有値計算機、特性方程式ソルバー、2×2固有ベクトルをオンラインで探す人向けであり、一般の n×n 固有値ソルバーでも特異値分解ツールでも記号成分のコンピュータ代数系でもありません。

連携の活用例

学生向け線形代数コードの単体テスト

two_real・repeated・complex_pair の既知良好例と意図的な非数値拒否を生成し、コーディングカタの期待値に使います。

技術的な質問

2×2固有値計算機は無料ですか？

ブラウザツールは無料でローカル実行です。API 呼び出しは成功リクエストごとに $0.002 の前払い KIT 残高を使い、失敗は課金されません。

KITの完全なドキュメントを見る →

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無料で実行

2×2行列で特性方程式が計算するもの

実務のヒント、制限、関連検索

活用例

2×2固有問題の宿題チェック

小規模モデルでのスペクトル事前確認

よくある質問

関連ツール

開発者向け — APIアクセス

エンドポイント

お使いのスタックから呼び出す

リクエスト例

レスポンス例

料金

制限

エラー

技術的な注記

2×2行列で特性方程式が計算するもの

API の呼び出し方と返り値

実務のヒント、制限、関連検索

連携の活用例

学生向け線形代数コードの単体テスト

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