Calculadora de autovalores 2×2
Escriba las cuatro entradas de una matriz 2×2 y obtenga sus valores y vectores propios: la matriz de filas (4, 1) y (2, 3) tiene traza 7, determinante 10 y valores propios 5 y 2. Gratis en su navegador.
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Una calculadora de autovalores 2×2 responde a la pregunta clásica del álgebra lineal para las matrices cuadradas no triviales más pequeñas: dada una matriz real A con cuatro entradas finitas, ¿qué escalares λ y qué vectores no nulos v satisfacen Av = λv? Esta herramienta construye el polinomio característico mónico det(A − λI) = λ² − tr(A)λ + det(A), resuelve la cuadrática con el discriminante Δ = tr² − 4 det y devuelve dos autovalores reales distintos, un autovalor real repetido o un par conjugado complejo, junto con autovectores coincidentes (vectores reales unitarios o vectores complejos como partes real e imaginaria).
Qué calcula la ecuación característica de una matriz 2×2
Al expandir el determinante dos por dos se obtiene la cuadrática mónica λ² − (a+d)λ + (ad − bc), de modo que los coeficientes quedan completamente determinados por la traza tr(A) = a + d y el determinante det(A) = ad − bc. El discriminante de esa cuadrática es Δ = tr(A)² − 4 det(A), que se expande de forma equivalente a (a − d)² + 4bc.
Cuando Δ es positivo hay dos autovalores reales distintos λ± = (tr ± √Δ) / 2; cuando Δ es cero hay un autovalor real repetido λ = tr/2 de multiplicidad algebraica dos; cuando Δ es negativo las raíces son el par conjugado complejo α ± iβ con α = tr/2 y β = √|Δ|/2.
Cada autovalor real λ viene con al menos un autovector real del espacio nulo de A − λI: un generador conveniente es la fila no nula de esa matriz convertida en un 2-vector, que esta herramienta orienta para que la primera componente no nula sea no negativa y luego normaliza a longitud euclídea unitaria. Para un autovalor repetido la multiplicidad geométrica puede ser uno (una sola recta de autovectores, el caso defectuoso) o dos (todo vector no nulo funciona cuando A es un múltiplo escalar de la identidad).
Docentes, evaluadores y autores de katas de código cuidan tanto el rechazo no numérico como las raíces: una celda con texto no es una entrada de matriz, e inventar cero o NaN ocultaría el error.
Consejos prácticos, límites y búsquedas relacionadas
Mantenga cada entrada dentro del rango absoluto publicado y prefiera arreglos numéricos anidados cuando controle el cliente; la forma texto es cómoda para flujos de pegar desde hoja de cálculo pero se interpreta bajo las mismas reglas numéricas. Los discriminantes casi nulos se tratan como cero exacto bajo un épsilon fijo para que el ruido de coma flotante no convierta una raíz repetida en un par complejo minúsculo.
Esta página apunta a quien busca una calculadora de autovalores 2×2, un resolutor de ecuación característica o autovectores dos por dos en línea; no es un eigensolver n×n general, ni una herramienta de descomposición en valores singulares, ni un sistema de álgebra computacional para entradas simbólicas. Prefiera esta capacidad cuando ya tenga cuatro entradas numéricas y solo necesite el espectro en forma cerrada; si la fuente es un problema enunciado, arme primero la matriz de coeficientes.
Las comprobaciones de ida y vuelta son fáciles: verifique que cada par real reportado cumple Av ≈ λv dentro del redondeo, que el producto de autovalores iguala det y la suma iguala la traza, y que los pares complejos aparecen como conjugados. Use herramientas de rango de matriz cuando necesite el rango por pivotes en lugar del espectro, y reserve bibliotecas numéricas n×n para problemas densos mayores fuera de este alcance educativo dos por dos.
Qué puede hacer con ella
Comprobación de deberes de autoproblemas 2×2
Los estudiantes pegan matrices dos por dos de libro y comparan raíces características y autovectores manuscritos con un resultado determinista antes de entregar.
Comprobaciones rápidas de espectro en modelos pequeños
Tuberías de control y datos afirman el espectro de un bloque 2×2 (estabilidad, autovalores positivos) sin arrastrar una pila completa de álgebra lineal numérica.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calculan aquí los autovalores 2×2?
La herramienta forma el polinomio característico mónico λ² − tr(A)λ + det(A), evalúa el discriminante Δ = tr² − 4 det y resuelve la cuadrática. Los autovectores salen del espacio nulo de A − λI (o construcción conjugada compleja cuando Δ < 0).
¿Qué ocurre si una entrada no es un número?
La herramienta nunca inventa autovalores NaN ni convierte texto a cero en silencio.
¿Funciona para matrices mayores que 2×2?
No. Esta capacidad solo acepta matrices reales exactamente dos por dos para que aplique la cuadrática característica en forma cerrada. Use un eigensolver numérico general para problemas n×n.
¿Y si el discriminante es negativo?
Obtiene un par conjugado complejo de autovalores α ± iβ con autovectores reportados como partes real e imaginaria. Ese es el espectro correcto sobre los complejos para una matriz real sin autovalores reales.
¿Es gratuita la calculadora de autovalores 2×2?
La herramienta del navegador es gratuita y se ejecuta en local.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/eigenvalues-2x2 \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"matrix":[[4,1],[2,3]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/eigenvalues-2x2", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"matrix": [
[
4,
1
],
[
2,
3
]
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/eigenvalues-2x2",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"matrix": [
[
4,
1
],
[
2,
3
]
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/eigenvalues-2x2", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"matrix":[[4,1],[2,3]]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[4,1],[2,3]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/eigenvalues-2x2", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"matrix": [
[
4,
1
],
[
2,
3
]
]
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.eigenvalues_2x2",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Límites
max_abs | 1000000000000 |
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Introduzca la matriz como filas numéricas anidadas o como texto plano con comas y saltos de línea; las celdas no numéricas y todo lo que no sea exactamente dos por dos se rechazan con invalid_input para que deberes y tuberías no vean NaN silenciosos. La ruta es aritmética determinista pura —sin red, sin semillas aleatorias, sin reloj— de modo que el ejecutor gratuito del navegador y la API de prepago devuelven el mismo JSON tras un redondeo fijo a doce decimales cada vez que se invoca.
Qué calcula la ecuación característica de una matriz 2×2
Para una matriz real A = [[a, b], [c, d]], los autovalores son las raíces del polinomio característico p(λ) = det(A − λI). Los autovalores complejos llegan con autovectores complejos reportados como vectores de coordenadas reales e imaginarias por separado para que el JSON se mantenga en números simples.
Cómo llamar a la API y qué recibe de vuelta
Acepte un arreglo de exactamente dos filas de dos números finitos cada una —por ejemplo [[4, 1], [2, 3]]— o un bloque de texto con dos filas separadas por saltos de línea o punto y coma y entradas separadas por comas o espacios. Envíe un cuerpo JSON con un campo obligatorio matrix (alias rows, A y data). Cada entrada debe ser un número finito cuyo valor absoluto permanezca dentro del límite publicado de un billón; dimensiones distintas de dos por dos, filas vacías, matrix ausente y celdas no numéricas devuelven invalid_input y nunca se cobran. En caso de éxito la respuesta fija matrix al original redondeado, trace y det a los invariantes redondeados, characteristic a la terna de coeficientes mónicos [1, −tr, det] más una cadena de fórmula y el discriminante, kind a uno de two_real, repeated_real o complex_conjugate, eigenvalues a una lista ordenada de valores con banderas reales y multiplicidades, eigenvectors a datos de vector coincidentes (y normalizados unitarios), message a un resumen breve y steps a un arreglo ordenado de notas de derivación que puede mostrar en hojas o afirmar en pruebas. El precio es un $0.002 fijo por petición exitosa con unidad item y precio unitario marginal cero. La validación fallida nunca consume saldo prepago, lo que mantiene baratos los scripts exploratorios cuando los aprendices envían a propósito celdas de texto o errores de pegado tres por tres.
Consejos prácticos, límites y búsquedas relacionadas
Al enseñar, empareje ejemplos: [[4, 1], [2, 3]] tiene autovalores reales distintos cinco y dos con autovectores claros; la identidad tiene un autovalor doble uno con multiplicidad geométrica dos; un bloque de rotación-escala como [[0, −1], [1, 0]] produce autovalores imaginarios puros ±i; y una matriz con una celda de cadena demuestra la ruta dura invalid_input para entradas no numéricas.
Casos de integración
Pruebas unitarias de código de álgebra lineal
Genere casos two_real, repeated y complex_pair de referencia más rechazos no numéricos deliberados para valores esperados en katas de programación.