حاسبة القيم الذاتية 2×2
أدخلوا العناصر الأربعة لمصفوفة 2×2 لتحصلوا على قيمها الذاتية ومتجهاتها الذاتية: المصفوفة ذات الصفين (4, 1) و(2, 3) أثرها 7 ومحددها 10 وقيمتاها الذاتيتان 5 و2. مجانًا في متصفحكم.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
تعمل هذه الأداة داخل متصفحك — مجانًا، ولا تُرسل بياناتك إلى أي خادم
تجيب حاسبة القيم الذاتية 2×2 عن سؤال الجبر الخطي الكلاسيكي لأصغر المصفوفات المربعة غير التافهة: بمصفوفة حقيقية A ذات أربع مداخل منتهية، ما المقاييس λ والمتجهات غير الصفرية v التي تحقق Av = λv؟ تبني هذه الأداة كثير الحدود المميز الموحَّد det(A − λI) = λ² − tr(A)λ + det(A)، وتحل التربيعية بالمميّز Δ = tr² − 4 det، وتُرجع إما قيمتين ذاتيتين حقيقيتين متمايزتين أو قيمة ذاتية حقيقية مكررة أو زوجًا مترافقًا عقديًا، مع متجهات ذاتية مطابقة (متجهات حقيقية وحدوية أو متجهات عقدية كأجزاء حقيقية وتخيلية).
ما تحسبه المعادلة المميزة لمصفوفة 2×2
بتوسيع محدد الاثنين في اثنين نحصل على التربيعية الموحَّدة λ² − (a+d)λ + (ad − bc)، فتتحدد المعاملات تمامًا بالأثر tr(A) = a + d والمحدد det(A) = ad − bc. مميّز تلك التربيعية هو Δ = tr(A)² − 4 det(A)، ويكافئ التوسيع (a − d)² + 4bc.
عندما يكون Δ موجبًا توجد قيمتان ذاتيتان حقيقيتان متمايزتان λ± = (tr ± √Δ) / 2؛ وعندما يكون Δ صفرًا توجد قيمة ذاتية حقيقية مكررة λ = tr/2 بتعدد جبري اثنين؛ وعندما يكون Δ سالبًا تكون الجذور الزوج المترافق العقدي α ± iβ مع α = tr/2 وβ = √|Δ|/2.
تأتي كل قيمة ذاتية حقيقية λ مع متجه ذاتي حقيقي واحد على الأقل من فضاء العدم لـ A − λI: مولّد ملائم هو الصف غير الصفري لتلك المصفوفة محوَّلًا إلى متجه ثنائي، وتوجّهه هذه الأداة بحيث يكون أول مكوّن غير صفري غير سالب ثم تطبّعه إلى طول إقليدي وحدوي. لتكرار ذاتي قد يكون التعدد الهندسي واحدًا (خط واحد من المتجهات الذاتية، الحالة المعيبة) أو اثنين (يعمل كل متجه غير صفري عندما تكون A مضاعفًا قياسيًا للهوية).
يهتم المعلمون والمصححون ومؤلفو تمارين البرمجة برفض غير العددي بقدر اهتمامهم بالجذور: خلية نصية ليست مدخل مصفوفة، واختلاق صفر أو NaN يخفي الخطأ.
نصائح عملية وحدود وبحوث ذات صلة
أبقِ كل مدخل ضمن النطاق المطلق المنشور وفضّل مصفوفات عددية متداخلة عندما تتحكم في العميل؛ الشكل النصي مريح لتدفقات اللصق من الجداول لكنه يُحلل بالقواعد العددية نفسها. تُعامل المميّزات شبه الصفرية كصفر دقيق تحت إبسيلون ثابت حتى لا يحوّل ضجيج الفاصلة العائمة جذرًا مكررًا إلى زوج عقدي ضئيل. تستهدف هذه الصفحة من يبحث عن حاسبة قيم ذاتية 2×2 أو حلّال معادلة مميزة أو متجهات ذاتية اثنين في اثنين عبر الإنترنت؛ وهي ليست حلاًّ عامًا n×n ولا أداة تفكيك قيم مفردة ولا نظام جبر رمزي لمداخل رمزية.
فضّل هذه القدرة عندما تملك أربعة مداخل عددية وتحتاج فقط الطيف بصيغة مغلقة؛ إن كان المصدر مسألة نصية فركّب مصفوفة المعاملات أولًا. فحوصات الذهاب والإياب سهلة: تحقق من أن كل زوج حقيقي مبلغ يحقّق Av ≈ λv ضمن التقريب، وأن جداء القيم الذاتية يساوي det ومجموعها يساوي الأثر، وأن الأزواج العقدية تظهر كمترافقات. استخدم أدوات رتبة المصفوفة عندما تحتاج الرتبة بالمحور لا الطيف، واحتفظ بمكتبات عددية n×n للمسائل الكثيفة الأكبر خارج هذا النطاق التعليمي اثنين في اثنين.
حالات الاستخدام
مراجعة واجبات مسائل القيم الذاتية 2×2
يلصق الطلاب مصفوفات اثنين في اثنين من الكتاب ويقارنون الجذور المميزة والمتجهات الذاتية المكتوبة يدويًا بنتيجة حتمية قبل التسليم.
فحوصات طيف سريعة في نماذج صغيرة
تؤكد خطوط التحكم والبيانات طيف كتلة 2×2 (الاستقرار، قيم ذاتية موجبة) دون سحب مكدس كامل للجبر الخطي العددي.
الأسئلة الشائعة
كيف تُحسب القيم الذاتية 2×2 هنا؟
تشكّل الأداة كثير الحدود المميز الموحَّد λ² − tr(A)λ + det(A)، وتقيّم المميّز Δ = tr² − 4 det، وتحل التربيعية. تأتي المتجهات الذاتية من فضاء العدم لـ A − λI (أو بناء مترافق عقدي عندما Δ < 0).
ماذا يحدث إن لم يكن المدخل عددًا؟
لا تختلق الأداة قيمًا ذاتية NaN ولا تُكره النص إلى صفر بصمت.
هل تعمل لمصفوفات أكبر من 2×2؟
لا. تقبل هذه القدرة مصفوفات حقيقية اثنين في اثنين فقط لتطبيق التربيعية المميزة بصيغة مغلقة. استخدم حلاًّ عدديًا عامًا لمسائل n×n.
ماذا لو كان المميّز سالبًا؟
تحصل على زوج مترافق عقدي من القيم الذاتية α ± iβ مع متجهات ذاتية كأجزاء حقيقية وتخيلية. ذلك هو الطيف الصحيح على الأعداد العقدية لمصفوفة حقيقية بلا قيم ذاتية حقيقية.
ما المتجه الذاتي؟
هو متجه غير صفري لا تُدير المصفوفة اتجاهه، بل تمدّه أو تقلّصه أو تعكسه بمقدار القيمة الذاتية. في المصفوفة ذات الصفين (4, 1) و(2, 3) يقابل المتجه (1, 1) القيمة الذاتية 5.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/eigenvalues-2x2 \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"matrix":[[4,1],[2,3]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/eigenvalues-2x2", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"matrix": [
[
4,
1
],
[
2,
3
]
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/eigenvalues-2x2",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"matrix": [
[
4,
1
],
[
2,
3
]
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/eigenvalues-2x2", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"matrix":[[4,1],[2,3]]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[4,1],[2,3]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/eigenvalues-2x2", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"matrix": [
[
4,
1
],
[
2,
3
]
]
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.eigenvalues_2x2",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الحدود
max_abs | 1000000000000 |
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
أدخل المصفوفة كصفوف عددية متداخلة أو كنص عادي بفواصل وأسطُر جديدة؛ تُرفض الخلايا غير العددية وكل ما ليس اثنين في اثنين تمامًا بـ invalid_input حتى لا ترى الواجبات وخطوط الأنابيب قيم NaN صامتة. المسار حساب حتمي خالص — بلا شبكة ولا بذور عشوائية ولا اعتماد على الساعة — لذا يُرجع المنفّذ المجاني في المتصفح وAPI المدفوعة مسبقًا نفس JSON بعد تقريب ثابت إلى اثنتي عشرة خانة عشرية في كل استدعاء.
ما تحسبه المعادلة المميزة لمصفوفة 2×2
لمصفوفة حقيقية A = [[a, b], [c, d]]، القيم الذاتية هي جذور كثير الحدود المميز p(λ) = det(A − λI). تصل القيم الذاتية العقدية بمتجهات ذاتية عقدية تُبلَّغ كمتجهات إحداثيات حقيقية وتخيلية منفصلة ليبقى JSON أعدادًا بسيطة.
كيفية استدعاء API وما يعود في الاستجابة
اقبل مصفوفة من صفين بالضبط لكل منهما عددان منتهيان — مثل [[4, 1], [2, 3]] — أو كتلة نصية بصفين مفصولين بأسطر جديدة أو فواصل منقوطة ومداخل مفصولة بفواصل أو مسافات. التحقق الفاشل لا يستهلك الرصيد المدفوع مسبقًا أبدًا، ما يبقي سكربتات الاستكشاف رخيصة عندما يرسل المتعلمون عمدًا خلايا نصية أو أخطاء لصق ثلاثة في ثلاثة. أرسل جسم JSON بحقل إلزامي matrix (الأسماء البديلة rows وA وdata). يجب أن يكون كل مدخل عددًا منتهيًا تبقى قيمته المطلقة ضمن الحد المنشور لتريليون واحد؛ الأبعاد غير اثنين في اثنين والصفوف الفارغة وغياب matrix والخلايا غير العددية كلها تُرجع invalid_input ولا تُحصَّل أبدًا. عند النجاح تضبط الاستجابة matrix على الأصل المقرّب، وtrace وdet على الثوابت المقرّبة، وcharacteristic على ثلاثية المعاملات الموحَّدة [1, −tr, det] مع سلسلة صيغة والمميّز، وkind على أحد two_real أو repeated_real أو complex_conjugate، وeigenvalues على قائمة مرتبة من القيم بأعلام حقيقية وتعدديات، وeigenvectors على بيانات المتجه المطابقة (والمطبَّعة وحدويًا)، وmessage على ملخص قصير، وsteps على مصفوفة مرتبة من ملاحظات الاشتقاق يمكن عرضها في أوراق العمل أو إثباتها في الاختبارات. التسعير $0.002 ثابت لكل طلب ناجح بوحدة item وسعر وحدوي هامشي صفر.
نصائح عملية وحدود وبحوث ذات صلة
عند التدريس اقرن أمثلة: [[4, 1], [2, 3]] لها قيمتان ذاتيتان حقيقيتان متمايزتان خمسة واثنان مع متجهات ذاتية واضحة؛ للهوية قيمة ذاتية مزدوجة واحد بتعدد هندسي اثنين؛ كتلة دوران-مقياس مثل [[0, −1], [1, 0]] تنتج قيمًا ذاتية تخيلية خالصة ±i؛ ومصفوفة بخلية سلسلة تُظهر مسار invalid_input الصارم للمداخل غير العددية.
حالات التكامل
اختبارات وحدوية لشيفرة الجبر الخطي
أنشئ حالات two_real وrepeated وcomplex_pair مرجعية بالإضافة إلى رفض غير عددي متعمد لقيم متوقعة في تمارين البرمجة.
أسئلة تقنية
هل حاسبة القيم الذاتية 2×2 مجانية؟
أداة المتصفح مجانية وتعمل محليًا. تستدعي API رصيد KIT مدفوعًا مسبقًا بـ $0.002 لكل طلب ناجح؛ المهام الفاشلة لا تُحصَّل أبدًا.