Calculateur de valeurs propres 2×2
Saisissez les quatre coefficients d’une matrice 2×2 et obtenez ses valeurs et vecteurs propres : la matrice de lignes (4, 1) et (2, 3) a pour trace 7, pour déterminant 10 et pour valeurs propres 5 et 2. Gratuit dans votre navigateur.
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Un calculateur de valeurs propres 2×2 répond à la question classique d'algèbre linéaire pour les plus petites matrices carrées non triviales : donnée une matrice réelle A à quatre entrées finies, quels scalaires λ et quels vecteurs non nuls v satisfont Av = λv ? Cet outil construit le polynôme caractéristique monique det(A − λI) = λ² − tr(A)λ + det(A), résout la quadratique avec le discriminant Δ = tr² − 4 det et renvoie soit deux valeurs propres réelles distinctes, soit une valeur propre réelle double, soit une paire conjuguée complexe, avec les vecteurs propres correspondants (vecteurs réels unitaires ou vecteurs complexes en parties réelle et imaginaire).
Ce que calcule l'équation caractéristique pour une matrice 2×2
En développant le déterminant deux par deux on obtient la quadratique monique λ² − (a+d)λ + (ad − bc), de sorte que les coefficients sont entièrement déterminés par la trace tr(A) = a + d et le déterminant det(A) = ad − bc. Le discriminant de cette quadratique est Δ = tr(A)² − 4 det(A), qui se développe de façon équivalente en (a − d)² + 4bc.
Lorsque Δ est positif il y a deux valeurs propres réelles distinctes λ± = (tr ± √Δ) / 2 ; lorsque Δ est nul il y a une valeur propre réelle double λ = tr/2 de multiplicités algébrique deux ; lorsque Δ est négatif les racines sont la paire conjuguée complexe α ± iβ avec α = tr/2 et β = √|Δ|/2.
Chaque valeur propre réelle λ s'accompagne d'au moins un vecteur propre réel issu du noyau de A − λI : un générateur commode est la ligne non nulle de cette matrice transformée en 2-vecteur, que cet outil oriente pour que la première composante non nulle soit non négative puis normalise à longueur euclidienne unitaire. Pour une valeur propre double la multiplicités géométrique peut être un (une seule droite de vecteurs propres, cas défectif) ou deux (tout vecteur non nul convient lorsque A est un multiple scalaire de l'identité).
Enseignants, correcteurs et auteurs de katas soignent autant le rejet non numérique que les racines : une cellule texte n'est pas une entrée de matrice, et inventer zéro ou NaN masquerait l'erreur.
Conseils pratiques, limites et recherches liées
Gardez chaque entrée dans la plage absolue publiée et préférez les tableaux numériques imbriqués lorsque vous contrôlez le client ; la forme texte est pratique pour coller depuis un tableur mais s'analyse sous les mêmes règles numériques. Les discriminants quasi nuls sont traités comme zéro exact sous un epsilon fixe afin que le bruit flottant ne transforme pas une racine double en une minuscule paire complexe.
Cette page vise qui cherche un calculateur de valeurs propres 2×2, un solveur d'équation caractéristique ou des vecteurs propres deux par deux en ligne ; ce n'est pas un eigensolver n×n général, ni un outil de décomposition en valeurs singulières, ni un système d'algèbre formelle pour entrées symboliques. Préférez cette capacité lorsque vous avez déjà quatre entrées numériques et n'avez besoin que du spectre en forme fermée ; si la source est un problème rédigé, assemblez d'abord la matrice des coefficients.
Les contrôles aller-retour sont simples : vérifiez que chaque paire réelle rapportée satisfait Av ≈ λv dans l'arrondi, que le produit des valeurs propres égale det et la somme égale la trace, et que les paires complexes apparaissent comme conjuguées. Utilisez des outils de rang de matrice lorsque vous avez besoin du rang par pivots plutôt que du spectre, et réservez les bibliothèques numériques n×n aux problèmes denses plus grands hors de cette portée éducative deux par deux.
Cas d’usage
Contrôles de devoirs pour problèmes propres 2×2
Les élèves collent des matrices deux par deux de manuel et comparent racines caractéristiques et vecteurs propres manuscrits à un résultat déterministe avant de rendre.
Contrôles rapides de spectre dans de petits modèles
Des pipelines de contrôle et de données affirment le spectre d'un bloc 2×2 (stabilité, valeurs propres positives) sans tirer toute une pile d'algèbre linéaire numérique.
Questions fréquentes
Comment les valeurs propres 2×2 sont-elles calculées ici ?
L'outil forme le polynôme caractéristique monique λ² − tr(A)λ + det(A), évalue le discriminant Δ = tr² − 4 det et résout la quadratique. Les vecteurs propres viennent du noyau de A − λI (ou construction conjuguée complexe lorsque Δ < 0).
Que se passe-t-il si une entrée n'est pas un nombre ?
L'outil n'invente jamais de valeurs propres NaN ni ne coerce le texte en zéro en silence.
Cela fonctionne-t-il pour des matrices plus grandes que 2×2 ?
Non. Cette capacité n'accepte que des matrices réelles exactement deux par deux pour que la quadratique caractéristique en forme fermée s'applique. Utilisez un eigensolver numérique général pour les problèmes n×n.
Et si le discriminant est négatif ?
Vous obtenez une paire conjuguée complexe de valeurs propres α ± iβ avec vecteurs propres rapportés en parties réelle et imaginaire. C'est le spectre correct sur les complexes pour une matrice réelle sans valeurs propres réelles.
Qu’est-ce qu’un vecteur propre ?
C’est un vecteur non nul que la matrice ne fait pas tourner : elle se contente de l’étirer, de le raccourcir ou de l’inverser, d’un facteur égal à la valeur propre. Pour la matrice de lignes (4, 1) et (2, 3), le vecteur (1, 1) correspond à la valeur propre 5.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/eigenvalues-2x2 \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"matrix":[[4,1],[2,3]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/eigenvalues-2x2", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"matrix": [
[
4,
1
],
[
2,
3
]
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/eigenvalues-2x2",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"matrix": [
[
4,
1
],
[
2,
3
]
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/eigenvalues-2x2", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"matrix":[[4,1],[2,3]]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[4,1],[2,3]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/eigenvalues-2x2", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"matrix": [
[
4,
1
],
[
2,
3
]
]
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.eigenvalues_2x2",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Limites
max_abs | 1000000000000 |
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Saisissez la matrice comme lignes numériques imbriquées ou comme texte brut avec virgules et retours à la ligne ; les cellules non numériques et tout ce qui n'est pas exactement deux par deux sont rejetés avec invalid_input afin que devoirs et pipelines ne voient jamais de NaN silencieux. Le chemin est une arithmétique purement déterministe — sans réseau, sans graines aléatoires, sans horloge — de sorte que l'exécuteur gratuit du navigateur et l'API prépayée renvoient le même JSON après un arrondi fixe à douze décimales à chaque appel.
Ce que calcule l'équation caractéristique pour une matrice 2×2
Pour une matrice réelle A = [[a, b], [c, d]], les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique p(λ) = det(A − λI). Les valeurs propres complexes arrivent avec des vecteurs propres complexes rapportés comme vecteurs de coordonnées réelles et imaginaires séparés afin que le JSON reste en nombres simples.
Comment appeler l'API et ce que vous recevez
Acceptez un tableau d'exactement deux lignes de deux nombres finis chacune — par exemple [[4, 1], [2, 3]] — ou un bloc de texte avec deux lignes séparées par des retours à la ligne ou des points-virgules et des entrées séparées par des virgules ou des espaces. Une validation échouée ne consomme jamais le solde prépayé, ce qui maintient bon marché les scripts exploratoires lorsque les apprenants envoient volontairement des cellules texte ou des collages trois par trois. Envoyez un corps JSON avec un champ obligatoire matrix (alias rows, A et data). Chaque entrée doit être un nombre fini dont la valeur absolue reste dans la limite publiée d'un billion ; des dimensions autres que deux par deux, des lignes vides, matrix manquant et des cellules non numériques renvoient invalid_input et ne sont jamais facturés. En cas de succès la réponse fixe matrix à l'original arrondi, trace et det aux invariants arrondis, characteristic au triplet de coefficients moniques [1, −tr, det] plus une chaîne de formule et le discriminant, kind à l'un de two_real, repeated_real ou complex_conjugate, eigenvalues à une liste ordonnée de valeurs avec drapeaux réels et multiplicités, eigenvectors aux données de vecteurs correspondantes (et normalisées unitaires), message à un court résumé et steps à un tableau ordonné de notes de dérivation que vous pouvez montrer sur des fiches ou affirmer dans des tests. Le tarif est un forfait $0.002 par requête réussie avec unité item et prix unitaire marginal nul.
Conseils pratiques, limites et recherches liées
Lors de l'enseignement, associez des exemples : [[4, 1], [2, 3]] a des valeurs propres réelles distinctes cinq et deux avec des vecteurs propres clairs ; l'identité a une valeur propre double un avec multiplicités géométrique deux ; un bloc rotation-échelle comme [[0, −1], [1, 0]] produit des valeurs propres purement imaginaires ±i ; et une matrice avec une cellule chaîne démontre le chemin dur invalid_input pour les entrées non numériques.
Cas d'intégration
Tests unitaires pour code d'algèbre linéaire
Générez des cas two_real, repeated et complex_pair de référence plus des rejets non numériques volontaires pour les valeurs attendues de katas de programmation.
Questions techniques
Le calculateur de valeurs propres 2×2 est-il gratuit ?
L'outil navigateur est gratuit et s'exécute localement. Les appels API utilisent le solde KIT prépayé à $0.002 par requête réussie ; les échecs ne sont jamais facturés.