Calculateur d'espace colonnes
Obtenez une base de l'espace des colonnes de n'importe quelle matrice : avec les lignes (1, 2, 3), (2, 4, 6) et (1, 0, 1), les colonnes d'origine (1, 2, 1) et (2, 4, 0) forment la base, donc la dimension vaut 2. Gratuit dans votre navigateur.
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Un calculateur d'espace des colonnes répond à une question classique d'algèbre linéaire : quels vecteurs engendrent l'espace des colonnes d'une matrice réelle ? Saisissez la matrice sous forme de lignes numériques imbriquées ou de texte brut avec virgules et sauts de ligne ; l'outil exécute une élimination de Gauss avec pivot partiel sur une copie de travail, identifie les colonnes pivots sous un epsilon fixe, et renvoie les colonnes correspondantes de la matrice ORIGINALE comme base — car les opérations élémentaires sur les lignes préservent les dépendances linéaires entre colonnes, les colonnes pivots de la forme réduite désignent des colonnes indépendantes de l'entrée. La réponse inclut les vecteurs de base, la dimension (égale au rang), les indices de colonnes pivots à base zéro, la matrice originale arrondie, la forme échelonnée par lignes et les étapes d'élimination ordonnées. Vérifications de devoirs, préparation d'examens, validation préalable des moindres carrés et jeux de tests de katas de programmation ont tous besoin de cette même base sans lancer un système de calcul formel.
Ce qu'est l'espace des colonnes et pourquoi les colonnes pivots donnent une base
L'espace des colonnes d'une matrice réelle m×n A — noté Col A — est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires de ses colonnes, c'est-à-dire exactement l'ensemble des vecteurs b pour lesquels Ax = b admet une solution. Sa dimension est le rang de A, et une base est un ensemble minimal de colonnes qui engendre encore tout l'espace.
Le théorème standard utilisé ici est que les opérations élémentaires sur les lignes préservent les relations linéaires entre colonnes : si la troisième colonne de la forme échelonnée vaut le double de la première, alors la troisième colonne de la matrice originale vaut aussi le double de la première. Par conséquent, les colonnes de A situées aux positions pivots de la forme échelonnée sont linéairement indépendantes, toute autre colonne en est une combinaison, et ensemble elles forment une base de Col A.
Notez le point subtil que les étudiants manquent : les vecteurs de base proviennent de la matrice ORIGINALE, pas de la matrice réduite — les colonnes pivots de la forme échelonnée engendrent généralement un sous-espace différent de R^m, même si les deux espaces partagent la même dimension. Les entrées dont la valeur absolue tombe sous un epsilon fixe après élimination sont traitées comme des zéros exacts, de sorte que l'annulation en virgule flottante sur des colonnes presque dépendantes n'invente pas de pivots fantômes n'gonflant la dimension rapportée.
La sortie énumère chaque échange et chaque étape d'élimination dans l'ordre, vous pouvez donc vérifier le déroulement de l'algorithme à la main ou dans une suite de tests sans refaire l'arithmétique vous-même.
Conseils pratiques, limites et recherches associées
Gardez chaque entrée dans la plage absolue publiée et préférez envoyer des tableaux de nombres imbriqués lorsque vous contrôlez le client ; la forme texte est pratique pour coller depuis un tableur mais reste analysée selon les mêmes règles numériques.
Un exemple classique est la matrice trois par trois de lignes [1,2,3], [2,4,6], [1,0,1] : la colonne deux vaut le double de la colonne un et l'espace des lignes s'effondre, l'élimination ne trouve des pivots qu'aux colonnes zéro et un, et la base est formée des deux premières colonnes originales avec une dimension de deux.
La matrice nulle est le cas limite à retenir dans les tests : elle n'a aucun pivot, l'espace des colonnes est le singleton du vecteur nul, et cet outil renvoie une base vide de dimension zéro avec un message explicatif plutôt qu'une erreur.
Lorsque les colonnes sont presque mais pas exactement dépendantes — fréquent dans les données de capteurs et les matrices de conception des moindres carrés — l'epsilon fixe tranche, attendez-vous donc à ce que les colonnes limites soient écartées comme combinaisons des précédentes plutôt que rapportées comme une base fragile de rang plein.
Cette page cible les personnes recherchant un calculateur d'espace des colonnes, une base d'espace des colonnes en ligne ou une base de colonnes pivots ; ce n'est ni un outil SVD, ni un orthonormaliseur (la base est un sous-ensemble des colonnes originales, pas une sortie de Gram-Schmidt), ni un solveur de noyau — associez-le à une capacité de rang ou de noyau si nécessaire.
Les vérifications aller-retour sont faciles : multipliez la base par les coefficients de dépendance lus dans la forme échelonnée et confirmez que chaque colonne écartée est reproduite exactement après arrondi, et confirmez que l'échange de deux colonnes d'entrée modifie l'ensemble des pivots de façon prévisible.
Cas d’usage
Vérifications de devoirs sur les bases d'espaces de colonnes
Les étudiants collent des matrices de manuels et comparent leurs colonnes pivots et vecteurs de base choisis à la main à un résultat déterministe avant de rendre leur copie.
Tests unitaires pour du code d'algèbre linéaire étudiant
Générez des bases de référence pour des matrices de rang plein, de rang déficient et nulles, plus des rejets volontaires d'entrées non finies pour les valeurs attendues des katas.
Pré-vérifications de sélection de variables dans les pipelines de données
Les pipelines détectent les colonnes numériques redondantes d'une matrice de conception : les colonnes non pivots sont des combinaisons linéaires des précédentes et peuvent être écartées avant l'ajustement.
Questions fréquentes
Comment la base de l'espace des colonnes est-elle calculée ici ?
L'outil réduit une copie de travail de la matrice à la forme échelonnée par lignes avec pivot partiel, puis prend les colonnes de la matrice ORIGINALE aux positions pivots. Ces colonnes forment une base de l'espace des colonnes.
Pourquoi la base utilise-t-elle les colonnes de la matrice originale et non de la réduite ?
Les opérations sur les lignes modifient l'espace des colonnes lui-même mais préservent les relations linéaires entre colonnes. Les positions pivots identifient quelles colonnes originales sont indépendantes, la base doit donc être prise dans la matrice d'entrée.
Que renvoie la matrice nulle ?
Une base vide de dimension 0 : l'espace des colonnes de la matrice nulle n'est que le vecteur nul, qui n'a aucun vecteur de base. C'est un résultat de succès valide, pas une erreur.
Le calculateur d'espace des colonnes est-il gratuit ?
L'outil dans le navigateur est gratuit et s'exécute localement.
Que dit l'espace des colonnes sur le système Ax = b ?
C'est exactement l'ensemble des vecteurs b pour lesquels Ax = b a une solution. Si b se trouve hors de l'espace des colonnes, le système n'a aucune solution, quel que soit le x essayé.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/column-space \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"matrix":[[1,2,3],[2,4,6],[1,0,1]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/column-space", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"matrix": [
[
1,
2,
3
],
[
2,
4,
6
],
[
1,
0,
1
]
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/column-space",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"matrix": [
[
1,
2,
3
],
[
2,
4,
6
],
[
1,
0,
1
]
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/column-space", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"matrix":[[1,2,3],[2,4,6],[1,0,1]]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[1,2,3],[2,4,6],[1,0,1]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/column-space", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"matrix": [
[
1,
2,
3
],
[
2,
4,
6
],
[
1,
0,
1
]
]
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.column_space",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Limites
max_rows | 32 |
max_cols | 32 |
max_abs | 1000000000000 |
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Toute entrée non finie — NaN, Infinity ou texte non numérique — rejette la requête avec invalid_input au lieu de produire des résultats erronés silencieux. Le calcul est une arithmétique purement déterministe — sans réseau, sans graines aléatoires, sans dépendance à l'horloge — donc l'exécuteur gratuit du navigateur et l'API prépayée renvoient le même JSON après un arrondi décimal fixe à chaque appel.
Ce qu'est l'espace des colonnes et pourquoi les colonnes pivots donnent une base
Cet outil exécute une élimination de Gauss avec pivot partiel, qui échange la ligne active avec la ligne contenant la plus grande valeur absolue de la colonne courante afin que les facteurs de division restent aussi bien conditionnés que l'arithmétique élémentaire sur les lignes le permet en doubles IEEE.
Comment appeler l'API et ce qu'elle renvoie
Acceptez soit un tableau de lignes numériques de même longueur — par exemple trois lignes de trois nombres chacune — soit un bloc de texte où les lignes sont séparées par des sauts de ligne ou des points-virgules et les entrées par des virgules ou des espaces. Envoyez un corps JSON avec un seul champ obligatoire matrix (alias rows, A et data). Chaque entrée doit être un nombre fini dont la valeur absolue reste dans la limite publiée d'un billion, et la matrice entière peut comporter au plus trente-deux lignes et trente-deux colonnes afin que le travail dans le Worker et le navigateur reste interactif. En cas de succès, la réponse définit dimension à la taille de la base (égale au rang), rows et cols aux dimensions d'entrée, pivot_columns aux indices à base zéro des colonnes pivots dans l'ordre de parcours, basis à un tableau de vecteurs colonnes pris dans la matrice originale à ces indices, matrix à la matrice originale arrondie, row_echelon à la forme réduite arrondie, message à un bref résumé en anglais, et steps à un tableau ordonné de notes d'élimination. Une validation échouée — matrix manquant, lignes vides, entrées non finies ou hors limites, dimensions au-delà des bornes ou longueurs de lignes incohérentes — renvoie invalid_input et n'est jamais facturée. La tarification est un forfait de $0.002 par requête réussie avec article unitaire et prix unitaire marginal nul. Les clients qui n'ont besoin que de la dimension peuvent lire le champ dimension et ignorer la base, et ceux qui ont besoin des relations de dépendance peuvent les récupérer dans le champ row_echelon, où chaque colonne non pivot exprime comment elle combine les colonnes pivots à sa gauche.
Conseils pratiques, limites et recherches associées
Les tâches échouées qui renvoient invalid_input ne consomment pas de solde prépayé, ce qui garde les scripts exploratoires économiques lorsque les apprenants envoient délibérément des lignes irrégulières ou du texte symbolique.
Questions techniques
Que se passe-t-il si une entrée n'est pas un nombre fini ?
NaN, Infinity, des cellules manquantes ou du texte non numérique rendent la requête invalid_input avec un message indiquant la position fautive. Les requêtes échouées ne sont jamais facturées.