Calculadora de espacio columna
Halle una base del espacio columna de cualquier matriz: con las filas (1, 2, 3), (2, 4, 6) y (1, 0, 1), las columnas originales (1, 2, 1) y (2, 4, 0) forman la base, así que la dimensión es 2. Verá cada paso. Gratis en su navegador.
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Una calculadora de espacio de columnas responde a una pregunta clásica del álgebra lineal: ¿qué vectores generan el espacio de columnas de una matriz real? Introduzca la matriz como filas numéricas anidadas o como texto plano con comas y saltos de línea; la herramienta ejecuta la eliminación gaussiana con pivoteo parcial sobre una copia de trabajo, identifica las columnas pivote bajo un épsilon fijo y devuelve las columnas correspondientes de la matriz ORIGINAL como base, porque las operaciones elementales de fila preservan las dependencias lineales entre columnas: las columnas pivote de la forma reducida señalan columnas independientes de la entrada. La respuesta incluye los vectores de la base, la dimensión (que coincide con el rango), los índices de las columnas pivote empezando en cero, la matriz original redondeada, la forma escalonada por filas y los pasos de eliminación ordenados. Las revisiones de tareas, la preparación de exámenes, la validación previa de mínimos cuadrados y los casos de prueba de katas de programación necesitan esa misma base sin levantar un sistema de álgebra computacional.
Qué es el espacio de columnas y por qué las columnas pivote dan una base
El espacio de columnas de una matriz real A de m×n —escrito Col A— es el conjunto de todas las combinaciones lineales de sus columnas, que es exactamente el conjunto de vectores b para los que Ax = b tiene solución. Su dimensión es el rango de A, y una base es un conjunto mínimo de columnas que aún genera todo el espacio.
El teorema estándar que se usa aquí es que las operaciones elementales de fila preservan las relaciones lineales entre columnas: si la columna tres de la forma escalonada es el doble de la columna uno, entonces la columna tres de la matriz original también es el doble de la columna uno. Por tanto, las columnas de A que ocupan posiciones pivote en la forma escalonada son linealmente independientes, cualquier otra columna es combinación de ellas y juntas forman una base de Col A.
Observe el detalle sutil que los estudiantes pasan por alto: los vectores de la base provienen de la matriz ORIGINAL, no de la reducida; las columnas pivote de la forma escalonada suelen generar un subespacio distinto de R^m, aunque ambos espacios comparten la misma dimensión. Las entradas cuyo valor absoluto queda en o por debajo de un épsilon fijo tras la eliminación se tratan como ceros exactos, de modo que la cancelación de punto flotante en columnas casi dependientes no inventa pivotes fantasma ni infla la dimensión reportada.
La salida enumera cada intercambio y cada paso de eliminación en orden, de modo que usted puede verificar el recorrido del algoritmo a mano o en una suite de pruebas sin volver a derivar la aritmética.
Consejos prácticos, límites y búsquedas relacionadas
Mantenga cada entrada dentro del rango absoluto publicado y prefiera enviar arreglos de números anidados cuando controle el cliente; la forma de texto es cómoda para flujos de pegado desde hojas de cálculo, pero se analiza bajo las mismas reglas numéricas.
Un ejemplo clásico resuelto es la matriz tres por tres con filas [1,2,3], [2,4,6], [1,0,1]: la columna dos es el doble de la columna uno y el espacio fila colapsa, la eliminación encuentra pivotes solo en las columnas cero y uno, y la base son las dos primeras columnas originales con dimensión dos.
La matriz cero es el caso límite que hay que recordar en las pruebas: no tiene pivotes, el espacio de columnas es el vector cero como conjunto unitario, y esta herramienta devuelve una base vacía con dimensión cero y un mensaje explicativo en lugar de un error.
Cuando las columnas son casi dependientes pero no exactamente —algo común en datos de sensores y matrices de diseño de mínimos cuadrados—, el épsilon fijo decide, así que espere que las columnas dudosas se descarten como combinaciones de anteriores en lugar de reportarse como una base frágil de rango completo.
Esta página está dirigida a quienes buscan una calculadora de espacio de columnas, una base del espacio de columnas en línea o una base por columnas pivote; no es una herramienta de SVD, no es un ortonormalizador (la base es un subconjunto de las columnas originales, no la salida de Gram-Schmidt) y no es un solucionador de espacio nulo: combínela con una capacidad de rango o de espacio nulo si los necesita.
Las comprobaciones de ida y vuelta son sencillas: multiplique la base por los coeficientes de dependencia leídos de la forma escalonada y confirme que cada columna descartada se reproduce exactamente tras el redondeo, y confirme que intercambiar dos columnas de entrada cambia el conjunto de pivotes de forma predecible.
Qué puede hacer con ella
Revisión de tareas con ejercicios de base del espacio de columnas
Los estudiantes pegan matrices de sus libros y comparan sus columnas pivote y vectores de base elegidos a mano con un resultado determinista antes de entregar.
Comprobaciones previas de selección de variables en pipelines de datos
Los pipelines detectan columnas numéricas redundantes en una matriz de diseño: las columnas no pivote son combinaciones lineales de las anteriores y pueden descartarse antes del ajuste.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula aquí la base del espacio de columnas?
La herramienta reduce una copia de trabajo de la matriz a la forma escalonada por filas con pivoteo parcial y luego toma las columnas de la matriz ORIGINAL en las posiciones pivote. Esas columnas forman una base del espacio de columnas.
¿Por qué la base usa columnas de la matriz original y no de la reducida?
Las operaciones de fila cambian el propio espacio de columnas, pero preservan las relaciones lineales entre columnas. Las posiciones pivote identifican qué columnas originales son independientes, por lo que la base debe tomarse de la matriz de entrada.
¿Qué devuelve la matriz cero?
Una base vacía con dimensión 0: el espacio de columnas de la matriz cero es solo el vector cero, que no tiene vectores de base. Es un resultado exitoso válido, no un error.
¿La calculadora de espacio de columnas es gratuita?
La herramienta del navegador es gratuita y se ejecuta localmente.
¿Qué me dice el espacio columna sobre el sistema Ax = b?
Es justo el conjunto de vectores b para los que Ax = b tiene solución. Si b queda fuera del espacio columna, el sistema no tiene solución, pruebe el x que pruebe.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/column-space \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"matrix":[[1,2,3],[2,4,6],[1,0,1]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/column-space", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"matrix": [
[
1,
2,
3
],
[
2,
4,
6
],
[
1,
0,
1
]
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/column-space",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"matrix": [
[
1,
2,
3
],
[
2,
4,
6
],
[
1,
0,
1
]
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/column-space", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"matrix":[[1,2,3],[2,4,6],[1,0,1]]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[1,2,3],[2,4,6],[1,0,1]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/column-space", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"matrix": [
[
1,
2,
3
],
[
2,
4,
6
],
[
1,
0,
1
]
]
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.column_space",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Límites
max_rows | 32 |
max_cols | 32 |
max_abs | 1000000000000 |
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Cualquier entrada no finita —NaN, Infinity o texto no numérico— rechaza la solicitud con invalid_input en lugar de producir resultados silenciosos incorrectos. El proceso es aritmética puramente determinista —sin red, sin semillas aleatorias, sin dependencia del reloj—, de modo que el ejecutor gratuito del navegador y la API prepagada devuelven el mismo JSON tras el redondeo decimal fijo en cada llamada.
Qué es el espacio de columnas y por qué las columnas pivote dan una base
Esta herramienta ejecuta la eliminación gaussiana con pivoteo parcial, que intercambia la fila activa con la fila que tiene la entrada de mayor valor absoluto en la columna actual, para que los factores de división se mantengan tan bien condicionados como permite la aritmética de filas elementales en números IEEE de doble precisión.
Cómo llamar a la API y qué devuelve
Se acepta tanto un arreglo de filas numéricas de igual longitud —por ejemplo, tres filas de tres números cada una— como un bloque de texto donde las filas se separan por saltos de línea o punto y coma y las entradas por comas o espacios. Envíe un cuerpo JSON con un único campo obligatorio matrix (alias rows, A y data). Cada entrada debe ser un número finito cuyo valor absoluto se mantenga dentro del límite publicado de un billón (10^12), y la matriz completa puede tener como máximo treinta y dos filas y treinta y dos columnas para que el trabajo en el Worker y el navegador siga siendo interactivo. En caso de éxito, la respuesta asigna a dimension el tamaño de la base (igual al rango), a rows y cols las dimensiones de entrada, a pivot_columns los índices empezando en cero de las columnas pivote en orden de recorrido, a basis un arreglo de vectores columna tomados de la matriz original en esos índices, a matrix la original redondeada, a row_echelon la forma reducida redondeada, a message un breve resumen en inglés y a steps un arreglo ordenado de notas de eliminación. La validación fallida —falta de matrix, filas vacías, entradas no finitas o fuera de rango, dimensiones por encima de los límites o longitudes de fila inconsistentes— devuelve invalid_input y nunca se cobra. El precio es una tarifa fija de $0.002 por solicitud exitosa, con item unitario y precio unitario marginal cero. Los clientes que solo necesitan la dimensión pueden leer el campo dimension e ignorar la base, y los que necesitan las relaciones de dependencia pueden recuperarlas del campo row_echelon, donde cada columna no pivote expresa cómo combina las columnas pivote a su izquierda.
Consejos prácticos, límites y búsquedas relacionadas
Las tareas fallidas que devuelven invalid_input no consumen saldo prepagado, lo que mantiene baratos los scripts exploratorios cuando los estudiantes envían deliberadamente filas irregulares o texto simbólico.
Casos de integración
Pruebas unitarias para código de álgebra lineal de estudiantes
Genere bases correctas conocidas para matrices de rango completo, de rango deficiente y nulas, además de rechazos deliberados por entradas no finitas como valores esperados en katas de programación.
Preguntas técnicas
¿Qué ocurre si una entrada no es un número finito?
NaN, Infinity, celdas vacías o texto no numérico convierten la solicitud en invalid_input con un mensaje que indica la posición problemática. Las solicitudes fallidas nunca se cobran.