Calculadora de espacio nulo
Las filas (1, 2, 3) y (2, 4, 6) tienen rango 1, así que su espacio nulo necesita dos vectores de base: (−2, 1, 0) y (−3, 0, 1). Escriba una matriz fila a fila y obtenga la base del núcleo, la nulidad y el rango. Gratis en su navegador.
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Una calculadora de espacio nulo responde a la pregunta del álgebra lineal Ax igual a cero: ¿qué vectores x del espacio real de dimensión n envía al origen una matriz A dada como filas de entradas numéricas? Esta herramienta construye una base de ese núcleo al reducir la matriz a forma escalonada reducida por filas, leer las columnas libres como variables libres y ensamblar una solución especial por cada variable libre, de modo que cada arreglo devuelto cumple A v igual a cero. Cuando la matriz tiene rango de columna completo el núcleo es trivial y la base es la lista vacía; cuando el rango es menor que el número de columnas, el teorema rango-nulidad afirma que la nulidad vale n menos el rango, y ese mismo número de vectores independientes vuelve como arreglos.
Qué es el espacio nulo y cómo se arma una base desde la RREF
El espacio nulo, también llamado núcleo, de una matriz real m por n A es el conjunto de todos los vectores columna x en R^n tales que A x iguala el vector nulo en R^m. Siempre es un subespacio: contiene el origen y es cerrado bajo la suma y el producto por un escalar. Su dimensión es la nulidad de A.
El teorema rango-nulidad afirma que el rango de A más la nulidad de A iguala n, el número de columnas; así, una matriz de rango de columna completo tiene un núcleo trivial cuyo único miembro es el vector nulo, mientras que una matriz de rango deficiente tiene un núcleo de dimensión positiva. Esta calculadora halla una base mediante eliminación de Gauss-Jordan con pivoteo parcial hasta la forma escalonada reducida por filas. Cada uno líder es un pivote; las columnas sin pivote son libres.
La lista resultante de arreglos genera el núcleo y es linealmente independiente por construcción, que es exactamente la definición de aula de una base. Las entradas cuyo valor absoluto cae en o por debajo de un épsilon fijo tras la eliminación se tratan como ceros exactos para que la cancelación flotante no invente pivotes fantasma ni oculte una columna libre verdadera.
Docentes y evaluadores automáticos valoran el rechazo de lo no finito tanto como los vectores: una celda que no es un número finito no es una entrada de matriz, y una coerción silenciosa ocultaría ese error.
Consejos prácticos, límites y búsquedas relacionadas
Mantenga cada entrada dentro del rango absoluto publicado y prefiera enviar arreglos de números anidados cuando controle el cliente. Los pivotes casi nulos tras cancelación flotante se descartan con la prueba de épsilon para que el ruido no infle el rango en filas casi dependientes, lo que encogería el núcleo informado.
Esta página apunta a quienes buscan una calculadora de espacio nulo, núcleo de una matriz o base de ker A en línea; no es una herramienta de descomposición en valores singulares, ni un resolutor de autovalores, ni un hallador de solución particular de Ax igual a b. Prefiera esta capacidad cuando ya tenga filas numéricas y solo necesite una base del núcleo; si la fuente es un problema enunciado, arme primero la matriz de coeficientes.
Las comprobaciones de ida y vuelta son sencillas: multiplique cada vector de base devuelto por la matriz original y confirme un cero numérico, y confirme que eliminar una fila independiente no cambia el núcleo mientras que eliminar una columna sí puede. Use herramientas afines de rango y de forma escalonada reducida cuando necesite esos objetos intermedios en sus propias páginas.
Qué puede hacer con ella
Comprobación de deberes de bases del núcleo
Los estudiantes pegan filas de coeficientes de libro y comparan la base de soluciones especiales, el rango y las columnas libres con un resultado determinista antes de entregar.
Comprobaciones previas del núcleo en modelos y control
Las canalizaciones afirman que una matriz de diseño o de restricciones tiene la nulidad esperada antes de resolver sistemas homogéneos o inspeccionar direcciones no observables.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula aquí la base del espacio nulo?
La herramienta reduce una copia de trabajo de la matriz a forma escalonada reducida por filas con pivoteo parcial y construye una solución especial por cada columna libre. Esos vectores forman una base de ker(A).
¿Qué ocurre si una entrada no es un número finito?
NaN, Infinity, celdas vacías y tokens no numéricos no son entradas de matriz y nunca se cobran.
¿Qué significa una base vacía?
El núcleo es trivial y la nulidad vale cero.
¿Resuelve Ax = b con un segundo miembro no nulo?
No. Solo devuelve una base del núcleo homogéneo. Para una solución particular de un sistema inhomogéneo, use un resolutor de matriz aumentada.
¿Qué es la nulidad y cómo se relaciona con el rango?
La nulidad es el número de vectores de la base del espacio nulo. El teorema del rango dice que rango más nulidad es igual al número de columnas: una matriz de 3 columnas y rango 1 tiene nulidad 2.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/null-space \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"rows":[[1,2,3],[2,4,6]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/null-space", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"rows": [
[
1,
2,
3
],
[
2,
4,
6
]
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/null-space",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"rows": [
[
1,
2,
3
],
[
2,
4,
6
]
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/null-space", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"rows":[[1,2,3],[2,4,6]]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"rows":[[1,2,3],[2,4,6]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/null-space", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"rows": [
[
1,
2,
3
],
[
2,
4,
6
]
]
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.null_space",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Límites
max_rows | 32 |
max_cols | 32 |
max_abs | 1000000000000 |
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Toda entrada debe ser un número finito: NaN, Infinity y tokens no numéricos se rechazan con invalid_input en lugar de coercerse en silencio. La ruta es aritmética pura con un épsilon fijo y redondeo a doce decimales, de modo que el ejecutor gratuito del navegador y la API prepaga devuelven el mismo JSON en cada llamada.
Qué es el espacio nulo y cómo se arma una base desde la RREF
Por cada columna libre j el algoritmo construye una solución especial: fija la variable libre x_j a uno, las demás variables libres a cero, y lee las variables ligadas como las entradas RREF negadas de esa columna libre. Los campos publicados pivot_columns y free_columns le permiten afirmar la ruta del algoritmo en pruebas u hojas de trabajo sin rederivar la escalera a mano.
Cómo invocar la API y qué devuelve
Empareje la respuesta con su propio trazador si necesita un bosquejo del núcleo en R^2 o R^3; este extremo devuelve solo la base algebraica y no emite gráficos ni prosa paso a paso más allá de los campos estructurados. Envíe un cuerpo JSON con un campo obligatorio rows, con alias matrix y A. El valor debe ser un arreglo anidado de filas de igual longitud de números finitos —por ejemplo dos filas de tres números cada una— para que el formulario web pinte un editor de filas en lugar de una caja JSON cruda. Toda entrada debe ser un número finito cuyo valor absoluto no supere el límite publicado de un billón, y la matriz completa puede tener como máximo treinta y dos filas y treinta y dos columnas para que el trabajo del Worker y del navegador siga siendo interactivo. En caso de éxito la respuesta asigna basis a un arreglo de arreglos, un vector del núcleo por columna libre de izquierda a derecha; nullity al número de esos vectores; rank al conteo de pivotes; row_count y col_count a las dimensiones; trivial a si el núcleo es solo el origen; pivot_columns y free_columns a índices basados en cero; y matrix a un eco redondeado del original. La validación fallida —rows ausente, filas vacías, cualquier entrada no finita, magnitudes por encima del límite, dimensiones por encima de los topes o longitudes de fila inconsistentes— devuelve invalid_input y nunca se cobra. El precio es un $0.002 fijo por petición exitosa con unidad item.
Consejos prácticos, límites y búsquedas relacionadas
Al enseñar, empareje ejemplos: la clásica matriz dos por tres cuya segunda fila es el doble de la primera tiene rango uno y un núcleo bidimensional generado por menos dos uno cero y menos tres cero uno; la identidad dos por dos tiene núcleo trivial y base vacía; una matriz nula dos por dos tiene nulidad dos y la base canónica del plano; y una celda con un token no numérico demuestra la ruta dura de invalid_input para una entrada que no es un número finito. Las tareas fallidas que devuelven invalid_input no consumen saldo prepago, lo que mantiene baratos los scripts exploratorios cuando los aprendices envían a propósito una celda no finita.
Casos de integración
Pruebas unitarias para código de álgebra lineal
Genere núcleos triviales, unidimensionales y de mayor dimensión de referencia, más rechazos deliberados de entradas no finitas, para valores esperados de katas.
Preguntas técnicas
¿Cuánto cuesta la calculadora de espacio nulo?
La herramienta del navegador es gratuita. Las peticiones API usan saldo KIT prepago a $0.002 por llamada exitosa; la entrada inválida no se cobra.