零空間の計算機
行 (1, 2, 3) と (2, 4, 6) の階数は1なので、零空間の基底は (−2, 1, 0) と (−3, 0, 1) の2本になります。行列を行ごとに入力すると、核の基底、退化次数、階数が分かります。ブラウザで無料で使えます。
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零空間の計算機は、線形代数の問い「Ax が零になる」に答えます。数値の行として与えられた行列 A は、実 n 次元空間のどのベクトル x を原点へ送るのでしょうか。本ツールは行列を簡約行階段形へ落とし、自由列を自由変数として読み、自由変数ごとに特殊解を組み立てて、返される各配列が A v を零にするように核の基底を作ります。列階数が満杯なら核は自明で基底は空のリストです。階数が列数より小さければ、階数・退化次数の定理により退化次数は n から階数を引いた値になり、その本数の一次独立なベクトルが配列として戻ります。宿題の検算、試験の正答器、制御理論の核、学習者ソルバーの単体テストは、数式処理系を立ち上げずに同じ決定的な基底を必要とします。
零空間とは何か、RREF から基底を組み立てる方法
実数の m 行 n 列行列 A の零空間（核とも呼ばれます）は、A x が R^m の零ベクトルになるような R^n の列ベクトル x すべての集合です。常に部分空間であり、原点を含み、加法とスカラー倍で閉じています。その次元が A の退化次数です。
階数・退化次数の定理は、A の階数と退化次数の和が列数 n に等しいと述べます。したがって列階数が満杯の行列の核は零ベクトルだけからなる自明なものであり、階数が不足した行列は正の次元の核を持ちます。本計算機は部分ピボット選択付きのガウス・ジョルダン消去で簡約行階段形まで進め、基底を求めます。
先頭の 1 がピボットであり、ピボットのない列は自由です。各自由列 j について、アルゴリズムは特殊解を一つ作ります。得られた配列の一覧は核を張り、構成により一次独立であり、授業で教える基底の定義そのものです。
消去後に絶対値が固定イプシロン以下になった成分は厳密な零とみなし、浮動小数の打ち消しが幽霊ピボットを捏造したり真の自由列を隠したりしないようにします。教員と自動採点は、有限でない値の拒否をベクトルそのものと同じくらい重視します。有限数でないセルは行列の成分ではなく、黙った変換はその誤りを隠してしまうからです。
実務上の注意、制限、関連する検索
各成分を公開された絶対値の範囲内に保ち、クライアントを制御できるときは入れ子の数値配列の送信を優先してください。浮動小数の打ち消しでほぼ零になったピボットはイプシロン判定で落とされるため、ほぼ従属な行で階数が膨らんで報告される核が縮小することはありません。指導では例を対にしてください。
二行目が一行目の二倍である古典的な 2 行 3 列は階数 1 で、マイナス 2・1・0 とマイナス 3・0・1 が張る二次元の核を持ちます。2 行 2 列の単位行列は自明な核と空の基底です。2 行 2 列の零行列は退化次数 2 で平面の標準基底です。
すでに数値の行があり核の基底だけが必要なときに本能力を選んでください。出典が文章題なら、先に係数行列を組み立てます。往復確認は簡単です。 返された各基底ベクトルに元の行列を掛けて数値的な零を確かめ、独立な行を落としても核は変わらず、列を落とすと変わり得ることを確かめてください。
中間対象そのものが必要なら、階数や簡約行階段形の関連ツールをそれぞれのページでご利用ください。
活用例
核の基底に関する宿題の検算
学習者は教科書の係数行を貼り付け、提出前に特殊解の基底・階数・自由列を決定的な結果と照合します。
線形代数の学習者コード向け単体テスト
自明・一次元・高次元の既知の核と、有限でない成分の意図的な拒否を、型稽古の期待値として生成します。
モデルと制御における核の事前確認
パイプラインは斉次系を解いたり不可観測方向を調べたりする前に、設計行列や制約行列が期待どおりの退化次数かを断言します。
よくある質問
ここでは零空間の基底をどのように計算しますか？
ツールは作業用コピーを部分ピボット選択付きの簡約行階段形へ落とし、自由列ごとに特殊解を一本組み立てます。それらのベクトルが ker(A) の基底になります。
成分が有限数でない場合はどうなりますか？
NaN、Infinity、空セル、非数値トークンは行列の成分ではなく、課金されません。
右辺が非零の Ax = b も解きますか？
いいえ。 斉次な核の基底だけを返します。非斉次系の特解が必要なら、拡大係数行列のソルバーをご利用ください。
退化次数とは何で、階数とどう関係しますか？
退化次数は零空間の基底に含まれるベクトルの本数です。次元定理により、階数と退化次数の和は列の数に等しくなります。3列で階数1の行列なら、退化次数は2です。
基底ベクトルが正しいかどうかはどう確かめますか？
元の行列にそのベクトルを掛け、すべての行で0になるかを確かめます。ベクトル (−2, 1, 0) と行 (1, 2, 3) なら、−2 + 2 + 0 で0になります。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/null-space \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"rows":[[1,2,3],[2,4,6]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/null-space", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"rows": [
[
1,
2,
3
],
[
2,
4,
6
]
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/null-space",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"rows": [
[
1,
2,
3
],
[
2,
4,
6
]
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/null-space", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"rows":[[1,2,3],[2,4,6]]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"rows":[[1,2,3],[2,4,6]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/null-space", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"rows": [
[
1,
2,
3
],
[
2,
4,
6
]
]
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.null_space",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
制限
max_rows | 32 |
max_cols | 32 |
max_abs | 1000000000000 |
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
各成分は有限数でなければならず、NaN や Infinity、非数値トークンは黙って変換せず invalid_input で拒否します。経路は固定イプシロンと小数十二桁の丸めによる純粋な算術なので、無料のブラウザ実行と前払い API は毎回同じ JSON を返します。
零空間とは何か、RREF から基底を組み立てる方法
自由変数 x_j を 1、他の自由変数を 0 とし、束縛変数はその自由列の符号反転した RREF 成分として読みます。公開される pivot_columns と free_columns により、階段を手で再導出せずにテストやワークシートでアルゴリズム経路を断言できます。
API の呼び方と返ってくる内容
値は有限数の等長な行の入れ子配列でなければなりません。たとえば各 3 成分の行が 2 本ある形です。各成分は絶対値が公開上限の一兆を超えない有限数で、行列全体は行も列も最大三十二までとし、Worker とブラウザの作業が対話的に保たれるようにしています。R^2 や R^3 の核のスケッチが必要なら、ご自身の作図と組み合わせてください。必須フィールド rows（別名 matrix と A）を持つ JSON 本体を送ってください。そうすればウェブのフォームは生の JSON 枠ではなく行エディタを描けます。成功時、応答は basis を配列の配列（左から右の自由列ごとに核ベクトル一本）、nullity をその本数、rank をピボット数、row_count と col_count を次元、trivial を核が原点だけかどうか、pivot_columns と free_columns を 0 始まりの添字、matrix を元の丸めエコーに設定します。検証失敗（rows 欠落、空行、有限でない成分、上限を超える大きさ、次元超過、行長の不一致）は invalid_input を返し、課金されません。料金は成功したリクエスト 1 件につき定額の $0.002 で、単位は item です。この端点は代数的な基底だけを返し、構造化フィールドを超える図や手順文は出しません。
実務上の注意、制限、関連する検索
非数値トークンのセルは、有限数でない成分に対する厳しい invalid_input 経路を示します。このページは零空間の計算機、行列の核、ker A の基底をオンラインで探す方を対象とし、特異値分解の道具でも固有値ソルバーでも、Ax が b に等しい非斉次系の特解ファインダーでもありません。invalid_input を返す失敗タスクは前払い残高を消費しないため、学習者がわざと有限でないセルを送る探索スクリプトの費用を抑えられます。
技術的な質問
空の基底は何を意味しますか。
行列は列階数が満杯なので、Ax = 0 の解は零ベクトルだけです。核は自明で、退化次数は零です。
零空間の計算機の料金はいくらですか。
ブラウザ上のツールは無料です。API リクエストは成功した呼び出し 1 件につき $0.002 で前払いの KIT 残高を使い、不正な入力は課金されません。