Calculadora de espaço nulo
As linhas (1, 2, 3) e (2, 4, 6) têm posto 1, então o espaço nulo precisa de dois vetores de base: (−2, 1, 0) e (−3, 0, 1). Digite a matriz linha por linha e receba a base do núcleo, a nulidade e o posto. Grátis no seu navegador.
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Uma calculadora de espaço nulo responde à pergunta da álgebra linear Ax igual a zero: quais vetores x do espaço real de dimensão n uma matriz A, dada como linhas de entradas numéricas, envia à origem? Esta ferramenta constrói uma base desse núcleo ao reduzir a matriz à forma escalonada reduzida por linhas, ler as colunas livres como variáveis livres e montar uma solução especial por variável livre, de modo que cada array devolvido satisfaz A v igual a zero. Quando a matriz tem posto de coluna completo o núcleo é trivial e a base é a lista vazia; quando o posto é menor que o número de colunas, o teorema do posto-nulidade diz que a nulidade vale n menos o posto, e esse mesmo número de vetores independentes volta como arrays. Conferências de lição de casa, oráculos de prova, núcleos de teoria de controle e testes unitários de solucionadores de alunos precisam dessa mesma base determinística sem levantar um sistema de álgebra computacional.
O que é o espaço nulo e como uma base nasce da RREF
O espaço nulo, também chamado núcleo, de uma matriz real m por n A é o conjunto de todos os vetores-coluna x em R^n tais que A x iguala o vetor nulo em R^m. Sempre é um subespaço: contém a origem e é fechado sob adição e multiplicação por escalar. Sua dimensão é a nulidade de A.
O teorema do posto-nulidade afirma que o posto de A mais a nulidade de A iguala n, o número de colunas; assim, uma matriz de posto de coluna completo tem núcleo trivial cujo único membro é o vetor nulo, enquanto uma matriz de posto deficiente tem núcleo de dimensão positiva. Esta calculadora encontra uma base por eliminação de Gauss-Jordan com pivoteamento parcial até a forma escalonada reduzida por linhas. Cada um líder é um pivô; colunas sem pivô são livres.
A lista resultante de arrays gera o núcleo e é linearmente independente por construção, que é exatamente a definição de sala de aula de uma base. Entradas cujo valor absoluto cai em ou abaixo de um épsilon fixo após a eliminação são tratadas como zeros exatos para que o cancelamento flutuante não invente pivôs fantasma nem oculte uma coluna livre verdadeira.
Professores e avaliadores automáticos valorizam a rejeição do não finito tanto quanto os vetores: uma célula que não é um número finito não é entrada de matriz, e uma coerção silenciosa esconderia esse erro.
Dicas práticas, limites e buscas relacionadas
Mantenha cada entrada dentro da faixa absoluta publicada e prefira enviar arrays de números aninhados quando você controla o cliente. Pivôs quase nulos após cancelamento flutuante são descartados pelo teste de épsilon para que o ruído não infle o posto em linhas quase dependentes, o que encolheria o núcleo informado.
Esta página visa quem busca calculadora de espaço nulo, núcleo de uma matriz ou base de ker A online; não é ferramenta de decomposição em valores singulares, nem solucionador de autovalores, nem localizador de solução particular de Ax igual a b. Prefira esta capacidade quando já tiver linhas numéricas e só precisar de uma base do núcleo; se a fonte for um problema enunciado, monte primeiro a matriz de coeficientes.
Checagens de ida e volta são fáceis: multiplique cada vetor de base devolvido pela matriz original e confirme um zero numérico, e confirme que remover uma linha independente não muda o núcleo enquanto remover uma coluna pode mudar. Use ferramentas afins de posto e de forma escalonada reduzida quando precisar desses objetos intermediários nas próprias páginas.
Casos de uso
Conferência de lição sobre bases do núcleo
Alunos colam linhas de coeficientes do livro e comparam a base de soluções especiais, o posto e as colunas livres com um resultado determinístico antes de entregar.
Testes unitários para código de álgebra linear
Gere núcleos triviais, unidimensionais e de dimensão maior de referência, mais rejeições deliberadas de entradas não finitas, para valores esperados de katas.
Checagens prévias do núcleo em modelos e controle
Pipelines afirmam que uma matriz de projeto ou de restrições tem a nulidade esperada antes de resolver sistemas homogêneos ou inspecionar direções não observáveis.
Perguntas frequentes
Como a base do espaço nulo é calculada aqui?
A ferramenta reduz uma cópia de trabalho da matriz à forma escalonada reduzida por linhas com pivoteamento parcial e constrói uma solução especial por coluna livre. Esses vetores formam uma base de ker(A).
O que acontece se uma entrada não for um número finito?
NaN, Infinity, células vazias e tokens não numéricos não são entradas de matriz e nunca são cobrados.
O que uma base vazia significa?
O núcleo é trivial e a nulidade vale zero.
Isto resolve Ax = b com segundo membro não nulo?
Não. Devolve só uma base do núcleo homogêneo. Para uma solução particular de um sistema inhomogêneo, use um solucionador de matriz aumentada.
O que é a nulidade e qual a relação dela com o posto?
A nulidade é o número de vetores da base do espaço nulo. O teorema do posto diz que posto mais nulidade é igual ao número de colunas: uma matriz de 3 colunas e posto 1 tem nulidade 2.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/null-space \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"rows":[[1,2,3],[2,4,6]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/null-space", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"rows": [
[
1,
2,
3
],
[
2,
4,
6
]
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/null-space",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"rows": [
[
1,
2,
3
],
[
2,
4,
6
]
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/null-space", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"rows":[[1,2,3],[2,4,6]]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"rows":[[1,2,3],[2,4,6]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/null-space", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"rows": [
[
1,
2,
3
],
[
2,
4,
6
]
]
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.null_space",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_rows | 32 |
max_cols | 32 |
max_abs | 1000000000000 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Toda entrada deve ser um número finito: NaN, Infinity e tokens não numéricos são rejeitados com invalid_input em vez de coercidos em silêncio. O caminho é aritmética pura com um épsilon fixo e arredondamento a doze casas, de modo que o executor gratuito do navegador e a API pré-paga devolvem o mesmo JSON em cada chamada.
O que é o espaço nulo e como uma base nasce da RREF
Para cada coluna livre j o algoritmo constrói uma solução especial: fixa a variável livre x_j em um, as demais variáveis livres em zero, e lê as variáveis presas como as entradas RREF negadas daquela coluna livre. Os campos publicados pivot_columns e free_columns permitem afirmar o caminho do algoritmo em testes ou fichas sem rederivar a escada à mão.
Como chamar a API e o que retorna
Combine a resposta com o próprio traçador se precisar de um esboço do núcleo em R^2 ou R^3; este extremo devolve só a base algébrica e não emite gráficos nem prosa passo a passo além dos campos estruturados. Envie um corpo JSON com um campo obrigatório rows, com aliases matrix e A. O valor deve ser um array aninhado de linhas de igual comprimento de números finitos —por exemplo duas linhas de três números cada— para que o formulário da web pinte um editor de linhas em vez de uma caixa JSON crua. Toda entrada deve ser um número finito cujo valor absoluto fica dentro do limite publicado de um trilhão, e a matriz inteira pode ter no máximo trinta e duas linhas e trinta e duas colunas para o trabalho do Worker e do navegador permanecer interativo. Em caso de sucesso a resposta define basis como um array de arrays, um vetor do núcleo por coluna livre da esquerda para a direita; nullity como o número desses vetores; rank como a contagem de pivôs; row_count e col_count como as dimensões; trivial como se o núcleo é só a origem; pivot_columns e free_columns como índices de base zero; e matrix como um eco arredondado do original. Validação falha —rows ausente, linhas vazias, qualquer entrada não finita, magnitudes acima do limite, dimensões acima dos tetos ou comprimentos de linha inconsistentes— devolve invalid_input e nunca é cobrada. O preço é um US$ 0,002 fixo por requisição bem-sucedida com unidade item.
Dicas práticas, limites e buscas relacionadas
Ao ensinar, combine exemplos: a clássica matriz dois por três cuja segunda linha é o dobro da primeira tem posto um e um núcleo bidimensional gerado por menos dois um zero e menos três zero um; a identidade dois por dois tem núcleo trivial e base vazia; uma matriz nula dois por dois tem nulidade dois e a base canônica do plano; e uma célula com um token não numérico demonstra o caminho duro de invalid_input para uma entrada que não é um número finito. Tarefas falhas que devolvem invalid_input não consomem saldo pré-pago, o que mantém baratos os scripts exploratórios quando aprendizes enviam de propósito uma célula não finita.
Perguntas técnicas
Quanto custa a calculadora de espaço nulo?
A ferramenta do navegador é gratuita. Requisições API usam saldo KIT pré-pago a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.