Calculadora de autovalores 2×2

Uma calculadora de autovalores 2×2 responde à pergunta clássica da álgebra linear para as menores matrizes quadradas não triviais: dada uma matriz real A com quatro entradas finitas, quais escalares λ e quais vetores não nulos v satisfazem Av = λv? Esta ferramenta monta o polinômio característico mônico det(A − λI) = λ² − tr(A)λ + det(A), resolve a quadrática com o discriminante Δ = tr² − 4 det e devolve dois autovalores reais distintos, um autovalor real repetido ou um par conjugado complexo, junto com autovetores correspondentes (vetores reais unitários ou vetores complexos como partes real e imaginária).

O que a equação característica calcula para uma matriz 2×2

Expandindo o determinante dois por dois obtém-se a quadrática mônica λ² − (a+d)λ + (ad − bc), de modo que os coeficientes ficam completamente determinados pelo traço tr(A) = a + d e pelo determinante det(A) = ad − bc. O discriminante dessa quadrática é Δ = tr(A)² − 4 det(A), que se expande de forma equivalente a (a − d)² + 4bc.

Quando Δ é positivo há dois autovalores reais distintos λ± = (tr ± √Δ) / 2; quando Δ é zero há um autovalor real repetido λ = tr/2 de multiplicidade algébrica dois; quando Δ é negativo as raízes são o par conjugado complexo α ± iβ com α = tr/2 e β = √|Δ|/2.

Cada autovalor real λ vem com pelo menos um autovetor real do espaço nulo de A − λI: um gerador conveniente é a linha não nula dessa matriz convertida em um 2-vetor, que esta ferramenta orienta para que a primeira componente não nula seja não negativa e depois normaliza para comprimento euclidiano unitário. Para um autovalor repetido a multiplicidade geométrica pode ser um (uma única reta de autovetores, o caso defectivo) ou dois (todo vetor não nulo funciona quando A é um múltiplo escalar da identidade).

Professores, corretores e autores de katas se importam tanto com a rejeição não numérica quanto com as raízes: uma célula com texto não é entrada de matriz, e inventar zero ou NaN esconderia o erro.

Dicas práticas, limites e buscas relacionadas

Mantenha cada entrada dentro da faixa absoluta publicada e prefira arrays numéricos aninhados quando controlar o cliente; a forma texto é conveniente para fluxos de colar da planilha mas ainda se interpreta sob as mesmas regras numéricas. Discriminantes quase nulos são tratados como zero exato sob um épsilon fixo para que o ruído de ponto flutuante não transforme uma raiz repetida em um par complexo minúsculo.

Esta página mira quem busca uma calculadora de autovalores 2×2, um resolvedor de equação característica ou autovetores dois por dois online; não é um eigensolver n×n geral, nem ferramenta de decomposição em valores singulares, nem sistema de álgebra computacional para entradas simbólicas. Prefira esta capacidade quando já tiver quatro entradas numéricas e só precisar do espectro em forma fechada; se a fonte for um problema enunciado, monte primeiro a matriz de coeficientes.

Cheques de ida e volta são fáceis: verifique que cada par real reportado cumpre Av ≈ λv dentro do arredondamento, que o produto dos autovalores iguala det e a soma iguala o traço, e que pares complexos aparecem como conjugados. Use ferramentas de posto de matriz quando precisar do posto por pivôs em vez do espectro, e reserve bibliotecas numéricas n×n para problemas densos maiores fora deste escopo educativo dois por dois.