Polinomio desde raíces
Convierta raíces conocidas en un polinomio en forma estándar: las raíces 1, 2 y 3 dan (x − 1)(x − 2)(x − 3), que se desarrolla como x³ − 6x² + 11x − 6. Repita una raíz para que sea doble. Gratis en su navegador.
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Una calculadora de polinomio a partir de raíces convierte una lista de ceros reales en el vector de coeficientes expandidos de un polinomio univariado. Introduzca las raíces r1 hasta rn y un coeficiente líder a opcional no nulo (por defecto uno, polinomio mónico). La multiplicidad se codifica repitiendo una raíz en la lista.
De raíces a coeficientes: factores lineales y expansión
Todo polinomio univariado no nulo sobre los reales se factoriza (salvo una escala líder) en factores lineales por sus raíces reales y cuadráticas irreducibles por pares conjugados complejos. Multiplicar por un coeficiente líder a no nulo escala uniformemente cada coeficiente expandido y fija el coeficiente de mayor grado igual a a cuando el grado formal es n.
La multiplicidad no es un campo aparte: liste la misma raíz dos veces para una raíz doble, tres veces para una triple, y así sucesivamente, como escriben los libros (x menos dos) al cuadrado como (x menos dos) por (x menos dos). La expansión avanza por multiplicaciones sucesivas. Parta de la constante uno, reemplace la lista actual de coeficientes por su producto con el siguiente factor lineal (x menos ri)—una convolución de desplazamiento y resta de longitud uno—y tras consumir todas las raíces escale por a.
La secuencia resultante se almacena con el término constante primero para alinearse con herramientas hermanas de suma, multiplicación y división de polinomios. El grado formal es el índice más alto cuyo valor absoluto supera un épsilon diminuto, de modo que el polvo flotante no infla el grado reportado. Comprobaciones clásicas: raíces uno y dos con líder uno dan x al cuadrado menos tres x más dos; raíces uno y menos uno con líder dos dan dos x al cuadrado menos dos; una sola raíz cero da el monomio x.
Aula, automatización y diferencia con buscadores de raíces
La intención de búsqueda de una calculadora de polinomio a partir de raíces es la inversa de un buscador de raíces de polinomios: aprendices y scripts ya conocen los ceros y necesitan la forma estándar expandida, no al revés. Las plataformas de tutoría usan este extremo para que el alumnado compruebe expansiones a mano de (x menos tres)(x más uno) frente a una lista de coeficientes determinista. Los generadores de exámenes muestrean raíces enteras, expanden una vez y guardan tanto el enunciado factorizado como la clave de coeficientes.
Demos de control y señal que colocan polos o ceros en ubicaciones de diseño expanden el polinomio característico del mismo modo sin importar un CAS completo. Prefiera esta capacidad cuando su fuente de verdad es una lista de raíces; prefiera el hermano buscador de raíces cuando ya tiene el vector de coeficientes. Mantenga magnitudes y recuentos de raíces dentro de los límites publicados para que las multiplicaciones sucesivas no desborden.
Las comprobaciones de ida y vuelta son fáciles cuando todas las raíces son reales y se listan con multiplicidad: expanda aquí, alimente coeficientes a un buscador de raíces y compare las raíces recuperadas con la misma política de redondeo. La página apunta a quien busca polinomio a partir de raíces, construir polinomio desde ceros, expandir factores lineales a coeficientes y polinomio mónico desde raíces en línea.
Qué puede hacer con ella
Comprobación de deberes al expandir factores lineales
El alumnado introduce raíces conocidas y un coeficiente líder opcional, y compara coeficientes expandidos a mano y la cadena en forma estándar con un resultado determinista antes de entregar.
Claves de examen y autoevaluación LMS
Genere polinomios mónicos o escalados desde listas de raíces muestreadas para que los correctores dispongan de claves de coeficientes estables sin software simbólico.
Preguntas frecuentes
¿En qué orden van los coeficientes?
Término constante primero: [a0, a1, a2] significa a0 + a1·x + a2·x².
¿Cómo codifico una raíz repetida?
Liste el mismo valor varias veces. Una raíz doble en 2 es roots [2, 2], que expande (x−2)².
¿Cómo uso un coeficiente principal distinto de 1?
Indíquelo como coeficiente principal y todos los coeficientes desarrollados se multiplican por él. Con las raíces 1 y −1 y coeficiente principal 2, el resultado es 2x² − 2 en lugar de x² − 1.
¿Qué polinomio sale de una sola raíz igual a 0?
Sale el monomio x, de grado 1. Cada raíz aporta un factor (x menos la raíz), de modo que la raíz 0 aporta simplemente x.
¿Cuántas raíces puedo introducir?
Hasta sesenta y cuatro raíces reales, cada una un número finito. El grado del polinomio resultante es igual al número de raíces, contando las repetidas.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-from-roots \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"roots":[1,2,3]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-from-roots", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"roots": [
1,
2,
3
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-from-roots",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"roots": [
1,
2,
3
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-from-roots", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"roots":[1,2,3]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"roots":[1,2,3]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-from-roots", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"roots": [
1,
2,
3
]
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.polynomial_from_roots",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Listas de raíces vacías y un coeficiente líder cero fallan con invalid_input en lugar de inventar una constante silenciosa o un grado colapsado. El camino es aritmética pura y determinista—sin red, sin semillas aleatorias, sin dependencia del reloj—de modo que el ejecutor gratuito del navegador y la API prepaga coinciden tras el redondeo fijo a doce decimales en cada llamada.
Contrato de entrada, campos de respuesta y errores
Envíe un cuerpo JSON con roots obligatorio, un array no vacío de como máximo sesenta y cuatro números finitos, y leading opcional (alias a, leading_coefficient, scale) con valor por defecto uno. Roots también acepta alias zeros, root_list y r. Cada raíz puede llegar como número JSON o como cadena numérica estricta; se acepta una cadena de array codificada en JSON para clientes que solo envían campos de texto. Los valores absolutos deben permanecer dentro de un billón para que los productos intermedios sigan finitos en precisión doble IEEE en el Worker y en el navegador. En éxito el cuerpo repite roots y leading redondeados, fija coefficients a la lista expandida con constante primero, coefficients_high_to_low a los mismos valores invertidos para pantallas de mayor potencia primero, degree y root_count a enteros, factors_str a un producto compacto de factores lineales con la escala líder prefijada cuando no es uno, polynomial a una forma expandida legible con signos sensatos y coeficientes unitarios omitidos, formula a una identidad breve, message a un resumen de grado en una línea, y steps a líneas de sustitución ordenadas para goldens y capturas de clase. La validación fallida—roots ausente, arrays vacíos, no-arrays, entradas no finitas, listas más largas que el máximo publicado, valores fuera de límites absolutos, leading cero o coeficientes intermedios no finitos—devuelve invalid_input y nunca se cobra. El precio es un $0.002 fijo por petición exitosa con unidad item.
Aula, automatización y diferencia con buscadores de raíces
Las tareas fallidas con invalid_input no consumen saldo prepago, lo que mantiene baratos los scripts exploratorios cuando se envían a propósito listas vacías o un coeficiente líder cero.
Casos de integración
Pruebas unitarias de bibliotecas polinómicas
Produzca expansiones conocidas de ∏(x−ri) más rechazos de lista vacía y leading cero para fixtures de kata de código e integración continua.
Preguntas técnicas
¿Cómo construyo un polinomio a partir de una lista de raíces?
Envíe roots como un array no vacío de números finitos y leading opcional (por defecto 1). La API expande leading·∏(x−ri) y devuelve coeficientes con constante primero más una cadena polinómica legible.
¿Qué ocurre si leading es cero o roots está vacío?
Ambos son invalid_input. Un coeficiente líder cero colapsaría el grado; una lista de raíces vacía es dato de factores ausente, no un modo solo-constante documentado.
¿Cuánto cuesta la calculadora de polinomio a partir de raíces?
La herramienta del navegador es gratuita. Las peticiones API usan saldo prepago de KIT a $0.002 por llamada exitosa; la entrada inválida no se cobra.