صيغ فييتا
في x² − 3x + 2 مجموع الجذرين 3 وجداؤهما 2، يُقرآن من المعاملات بصيغ فييتا دون حل المعادلة. استخدمها للتحقق من جذور مقترحة لمعادلة تربيعية أو تكعيبية. مجانًا في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
تعمل هذه الأداة داخل متصفحك — مجانًا، ولا تُرسل بياناتك إلى أي خادم
تربط صيغ فييتا معاملات كثير حدود بمتغير واحد بالمجاميع المتناظرة الابتدائية لجذوره دون حساب تلك الجذور واحدًا تلو الآخر. عند إعطاء قائمة كثيفة من معاملات منتهية بترتيبات تصاعدية للقوى—الحد الثابت أولًا وأعلى درجة آخرًا—تعيد هذه الحاسبة مجموع كل الجذور وجداء كل الجذور للمعادلة a0 زائد a1 x زائد نقاط زائد an x إلى n يساوي صفرًا، شريطة أن يكون المعامل القائد an غير صفري. الهويات الكلاسيكية هي: المجموع يساوي سالب a تحت n ناقص واحد على an، والجداء يساوي سالب واحد إلى n مضروبًا في a0 على an. ذلك الشكل المغلق دقيق فوق الأعداد المركبة لأي درجة لا تقل عن واحد، ويصلح لكثيرات الحدود المونيكية وغير المونيكية، ويبقى حتميًا: بلا بذور عشوائية، بلا استدعاءات شبكة، وبلا انجراف للنموذج. يُرفض الإدخال غير الصالح مثل معامل قائد صفري بخطأ تحقق واضح بدل درجة خاطئة بصمت.
كيف تربط صيغ فييتا المعاملات بمجموع الجذور وجدائها
ابدأ بكثير حدود مونيكي أو غير مونيكي مكتوبًا على صورة a0 زائد a1 x زائد a2 x تربيع وهكذا حتى an في x إلى n، مع an لا يساوي صفرًا وn لا يقل عن واحد. توجد أيضًا مجاميع متناظرة ابتدائية وسيطة، لكن الطرفين—المجموع الكلي والجداء الكلي—هما الهويتان اللتان يرجع إليهما الطلاب والمهندسون أكثر عند التحقق من تحليلات تربيعية، أو تخمينات جذور تكعيبية، أو ربط كميات شبيهة بالأثر والمحددة لمصفوفات مرافقة دون بناء المصفوفة. لا يكرّر هذا التنفيذ باحثًا عدديًا عن الجذور؛ بل يحلّل قائمة المعاملات فقط ويقيّم النسبتين المغلقتين.
يحافظ ذلك التصميم على نتيجة دقيقة لتمثيل المعاملات بالفاصلة العائمة، ويتجنب التباعد عند الجذور المتعددة، وينتهي في زمن ثابت بعد مسح خطي للمصفوفة. يجب أن تكون المعاملات أعدادًا منتهية؛ يُرفض NaN وInfinity. تُرفض الدرجة صفر—مصفوفة بثابت فقط—لأن ثابتًا غير صفري له مجموعة متعددة فارغة من الجذور ولا تنطبق فييتا.
والأهم: إذا كان آخر مدخل في المصفوفة صفرًا أو قريبًا جدًا من الصفر، يفشل الطلب بإدخال غير صالح يسمي المعامل القائد، لأن الدرجة الجبرية الحقيقية ستكون أدنى، وإسقاط الأصفار اللاحقة بصمت سيغيّر أي نسبة هي صيغة الجداء.
أين تظهر فحوصات مجموع وجداء فييتا في العمل الحقيقي
تفرض مقررات الجبر في المرحلة الثانوية والجامعة باستمرار تمارين تحقّق من جذورك: بعد أن يدّعي الطلاب ثلاثة جذور لتكعيبي، يضربها المعلم ويجمعها ويقارن بنِسب المعاملات من فييتا. يعجّل وحي موثوق واحد يعيد الرقمين التصحيح وإعداد العروض دون كشف الجذور الفردية عندما يكون الدرس ما زال عن التحقق. غالبًا ما تطلب مسائل مسابقات البرمجة وتمارين الإحماء في المقابلات مجموع جذور أو جداءها فقط لكثير حدود مونيكي مشتق من تكرار أو معادلة مميزة، ويحتاج المهندسون الشكل المغلق بدل تحليل عددي هش.
تستخرج دفاتر معالجة الإشارة والتحكم كثيرات حدود مميزة لأنظمة متقطعة وتستخدم جداء الجذور للاستدلال على الحدود الثابتة وهوامش الاستقرار دون حل كل قطب. إن احتجت لاحقًا القائمة الكاملة للمجاميع المتناظرة الابتدائية، أو صيغ جذور تربيعية أو تكعيبية صريحة، أو جمع كثيرات حدود لمتجهات معاملات، فاعاملها كنيات بحث وصفحات هبوط منفصلة بدل إثقال حاسبة مجموع وجداء فييتا هذه.
حالات الاستخدام
فحوصات جذور الواجبات دون حل كامل
تحقق من جذور يدّعيها الطلاب لتربيعي أو تكعيبي بمقارنة مجموعها وجدائها بنِسب فييتا من المعاملات المعطاة.
فحوصات سلامة لكثير الحدود المميز
من كثير حدود مميز مونيكي، اقرأ المجموع (شبيه بالأثر) والجداء (شبيه بالمحددة) للقيم الذاتية دون حسابها.
تركيبات للمسابقات والمقابلات
ولّد قيم حقيقة للمجموع والجداء لمتجهات معاملات اصطناعية تُستخدم في المصححات الآلية وأوحي تحديات البرمجة.
الأسئلة الشائعة
بأي ترتيب أرسل المعاملات؟
قوى تصاعدية: الفهرس 0 هو الحد الثابت، والأخير هو المعامل القائد لـ x^n. مثال: x² − 3x + 2 هو [2, −3, 1].
ماذا إن كان المعامل القائد صفرًا؟
تحتاج فييتا درجة محددة جيدًا؛ لا يُسقط بصمت معامل أعلى درجة صفري.
ما مجموع جذري x² − 3x + 2 وما جداؤهما؟
المجموع 3 والجداء 2. المجموع هو سالب المعامل الذي يسبق المعامل القائد مقسومًا عليه، والجداء في المعادلة التربيعية هو الحد الثابت مقسومًا على المعامل القائد.
هل تحسب الحاسبة الجذور نفسها؟
لا، فهي تعطي مجموع الجذور وجداءها فقط من نسب المعاملات. لذلك تبقى النتيجة ثابتة حتى مع الجذور المكررة، ولا تكشف الجذور إذا كان الدرس عن التحقق منها.
كيف أتحقق من جذور معادلة تكعيبية؟
أدخل المعاملات −6 و11 و−6 و1 بدءًا من الحد الثابت حتى أعلى قوة. ستجد أن المجموع والجداء يساوي كل منهما 6، وهو ما يطابق الجذور المتوقعة 1 و2 و3.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/vieta-formulas \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[2,-3,1]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/vieta-formulas", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"coefficients": [
2,
-3,
1
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/vieta-formulas",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
2,
-3,
1
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/vieta-formulas", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[2,-3,1]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[2,-3,1]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/vieta-formulas", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"coefficients": [
2,
-3,
1
]
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.vieta_formulas",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
تشترك الأداة المجانية في المتصفح وواجهة API المدفوعة في دالة نقية واحدة، فلا تختلف عروض الواجبات وتركيبات المسابقات وخطوط الأنابيب الآلية على متجه المعاملات نفسه.
ما ترسله وما تستلمه في المقابل
يجب أن تحتوي المصفوفة على عنصرين على الأقل حتى تكون الدرجة الشكلية واحدًا على الأقل، وعلى الأكثر عشرة آلاف عنصر للأمان. عندما يكون المعامل القائد صفرًا تكون الاستجابة خطأ تحقق صريحًا بدل خفض تلقائي للدرجة، فيلاحظ العملاء الذين بنوا القائمة بالتسلسل الخطأ بدل أن يتلقوا مجموعًا لكثير حدود بدرجة أدنى. فحوصات كتاب كلاسيكية: المعاملات اثنان، سالب ثلاثة، واحد تمثل x تربيع ناقص ثلاثة x زائد اثنين، وجذراها واحد واثنان مجموعهما ثلاثة وجداءهما اثنان؛ المعاملات سالب ستة، أحد عشر، سالب ستة، واحد تمثل التكعيبي المونيكي بجذور واحد واثنين وثلاثة، المجموع ستة والجداء ستة. استخدم نموذج المتصفح المجاني للواجبات وفحوصات السلامة السريعة، ثم استدعِ العقد نفسه من السكربتات عند الحاجة لتوليد جماعي لمفاتيح الإجابات أو تركيبات الانحدار. أرسل حقلًا إلزاميًا واحدًا coefficients: مصفوفة JSON من أعداد منتهية بترتيبات تصاعدية، الحد الثابت عند الفهرس صفر والمعامل القائد عند الفهرس الأخير. تُقبل الأسماء البديلة coeffs وpoly لراحة السكربتات. الحقول الناقصة، والقيم غير المصفوفية، والمصفوفات الفارغة، والسلاسل غير العددية، وNaN وInfinity تفشل بـ invalid_input ولا تُحسب. عند النجاح يعيد JSON قائمة المعاملات المنظّفة، والدرجة الصحيحة، والمعامل القائد، والحد الثابت، وسلسلة معادلة قابلة للطباعة مساوية للصفر، والقيمة العددية sum_of_roots، والقيمة العددية product_of_roots، وكائن formulas يعيد صياغة الهويات الكلاسيكية لتسميات الواجهة، وملاحظة قصيرة بأن النتائج فوق الأعداد المركبة مع احتساب التعدد. تسعير استدعاءات API الناجحة هو الأساس المنشور $0.002 لكل عنصر؛ إخفاقات التحقق لا تستهلك الرصيد المدفوع مسبقًا.
أين تظهر فحوصات مجموع وجداء فييتا في العمل الحقيقي
يريد مؤلفو المناهج الذين يبنون دروسًا تفاعلية نفس شكل JSON في ودجة المتصفح وفي API حتى تظل أوراق العمل دون اتصال والمصححات الآلية متوافقة. لأن هذه القدرة محرك تحليل نقي، فإن تسعير API هو الأساس المنشور $0.002 لكل عنصر ناجح، والتحقق الفاشل لا يستهلك الرصيد.
أسئلة تقنية
ما صيغ فييتا لمجموع الجذور وجدائها؟
لـ a0 + a1 x + … + an x^n = 0 مع an ≠ 0، مجموع الجذور n (مع التعدد) هو −a_{n−1}/an والجداء هو (−1)^n · a0/an.
هل يحسب الجذور الفردية؟
لا. يعيد فقط sum_of_roots وproduct_of_roots من نِسب المعاملات. للجذور التربيعية الصريحة استخدم حال صيغة تربيعية.
كم التكلفة؟
أداة المتصفح مجانية وتعمل محليًا. طلبات API تستخدم رصيد KIT المدفوع مسبقًا بـ $0.002 لكل عنصر ناجح؛ الإدخال غير الصالح لا يُحسب.