الصيغة التربيعية
أدخل a وb وc واحصل على الجذور من الصيغة مباشرة: للمعادلة x² − 3x + 2 مميز 1 وجذران 2 و1، ورأس القطع المكافئ عند (1.5, −0.25). مجانًا في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- A
- 1
- B
- -3
- C
- 2
- المعادلة
- 1*x^2 + -3*x + 2 = 0
- المميز
- 1
- نوع الجذر
- two_real
الصيغة التربيعية هي الحل المغلق القياسي لأي معادلة من الشكل a مضروبًا في x تربيع زائد b مضروبًا في x زائد c يساوي صفرًا عندما لا يكون a صفرًا. عند إعطاء ثلاثة معاملات منتهية، يحسب هذا الحلال المميز D يساوي b تربيع ناقص أربعة a c، ويعيد الجذرين كعددين مركّبين بجزء حقيقي وجزء تخيلي، ويبلّغ عن رأس القطع المكافئ المرتبط. عندما يكون D موجبًا تحصل على جذرين حقيقيين متمايزين؛ وعندما يكون D صفرًا على جذر حقيقي مكرر؛ وعندما يكون D سالبًا على زوج مترافق مركّب. تتضمن الاستجابة دائمًا الرأس عند x يساوي ناقص b على اثنين a بحيث يبقى الرسم وإكمال المربع متوافقين مع الجواب الجبري. تُرفض المدخلات غير الصالحة أو غير التربيعية—خاصة a يساوي صفرًا—بخطأ تحقق واضح بدل حل خطي صامت خاطئ.
كيف تعمل الصيغة التربيعية والمميز والرأس
انطلق من المعادلة متعددة الحدود العامة من الدرجة الثانية a مضروبًا في x تربيع زائد b مضروبًا في x زائد c يساوي صفرًا مع a غير صفري. يؤدي إكمال المربع أو الاشتقاق من شكل الرأس إلى نفس التعبير المغلق: x يساوي ناقص b زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ b تربيع ناقص أربعة a c، الكل مقسوم على اثنين a. الكمية تحت الجذر هي المميز D يساوي b تربيع ناقص أربعة a c.
إشارته تصنّف مجموعة الحلول على الأعداد المركّبة بالكامل: D أكبر من صفر يعطي جذرين حقيقيين متمايزين، وD يساوي صفرًا يعطي جذرًا حقيقيًا بتعدد اثنين، وD أصغر من صفر يعطي مترافقين مركّبين غير حقيقيين جزؤهما الحقيقي ناقص b على اثنين a وجزآهما التخيليان زائد أو ناقص جذر القيمة المطلقة لـ D على اثنين a. لا يخترع هذا التنفيذ عوامل رمزية تقريبية؛ بل يقيّم الصيغة بت إقران للفاصلة العائمة بحيث إذا عانى أحد الجذرين من إلغاء عند |b| كبير يُستعاد الجذر الثاني من هويات جداء فييتا عندما يكون ذلك المسار مستقرًا.
موازاةً للجذور، للقطع y يساوي a مضروبًا في x تربيع زائد b مضروبًا في x زائد c طرفه الأوحد عند الرأس x يساوي ناقص b على اثنين a، مع y يساوي قيمة الدالة عند تلك الإحداثية الأفقية. يُعاد ذلك الرأس دائمًا لترسم محور التماثل وتجد القيمة الصغرى أو العظمى وتتحقق من خطوات إكمال المربع دون أداة ثانية. يجب أن تكون المعاملات أعدادًا منتهية؛ يُرفضان Infinity وNaN.
ما ترسله وما تستقبله
أرسل ثلاثة أعداد منتهية تحت الحقول a وb وc تمثل معاملات a مضروبًا في x تربيع زائد b مضروبًا في x زائد c يساوي صفرًا. الحقول الثلاثة مطلوبة. عندما يكون a صفرًا أو قريبًا جدًا من الصفر تفشل الطلبية برسالة أن الصيغة التربيعية تتطلب حدًا تربيعيًا غير صفري، فيمكن للعميل التحويل إلى حلال خطي بدل التخمين.
للحلول الحقيقية im صفر؛ وللمركّبة الزوج مترافق بأجزاء حقيقية متساوية وتخيلية متعاكسة. كائن vertex يوفّر دائمًا x وy لطرف القطع. حقل formula يعيد صياغة التعبير الكلاسيكي لتسميات الواجهة والتوثيق.
فحوصات كتابية كلاسيكية: a يساوي واحدًا وb يساوي ناقص ثلاثة وc يساوي اثنين تعطي الجذرين اثنين وواحدًا بمميز واحد ورأس عند واحد فاصلة خمسة وناقص ربع؛ a يساوي واحدًا وb يساوي ناقص اثنين وc يساوي واحدًا يعطي جذرًا مكررًا عند واحد؛ a يساوي واحدًا وb يساوي صفرًا وc يساوي واحدًا يعطي الزوج التخيلي البحت زائد أو ناقص i. وصّل نموذج المتصفح المجاني للواجبات والفحوص السريعة، ثم استدعِ العقد ذاته من سكربتات عند الحاجة لتوليد مفاتيح إجابات أو ثوابت انحدار بالجملة.
أين تظهر حلالات التربيع في العمل الحقيقي
تُسند مقررات الجبر في الثانوي والجامعة بلا انقطاع تدريبات الحل بالصيغة وجداول تصنيف المميز ومختبرات رسم القطع؛ ويسرّع أوراكل موثوق واحد يعيد الجذور والرأس معًا التصحيح وإعداد العروض. غالبًا ما تخفي مسائل مسابقات البرمجة وإحماءات المقابلات معادلة تربيعية تحت حركيات فيزيائية أو مدى مقذوف أو نماذج نقطة التعادل، ويحتاج المهندسون تصنيفًا دقيقًا للحقيقي مقابل المركّب بدل NaN صامت من جذر تربيعي غير مفحوص. تحل دفاتر البيانات والمالية نقاط التعادل لمنحنيات تكلفة أو طلب تربيعية ويجب أن ترفض a يساوي صفرًا بدل وسم حالة خطية كتربيعية.
تأخذ محركات الرسوم والألعاب عينات من أقواس مكافئة وتحتاج الرأس لارتفاع القمة مع إظهار جذور مغلقة لمعادلات زمن التصادم من الشكل a مضروبًا في t تربيع زائد b مضروبًا في t زائد c يساوي صفرًا. إن احتجت لاحقًا صيغًا مغلقة تكعيبية أو رباعية أو أنظمة معادلتين أو تحليلًا رمزيًا على الأعداد الصحيحة، فعاملها كنوايا بحث وصفحات هبوط منفصلة بدل إثقال صفحة حلال الصيغة التربيعية هذه.
حالات الاستخدام
مفاتيح إجابات الواجبات والامتحانات
ولّد جذورًا دقيقة وصنف المميز وإحداثيات الرأس لمجموعات ax²+bx+c من الكتب ليشترك المعلمون والمصححات الآلية في حقيقة مرجعية واحدة.
الأسئلة الشائعة
ما الصيغة التي يستخدمها هذا الحلال التربيعي؟
الصيغة التربيعية الكلاسيكية x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). المميز D = b² − 4ac يختار جذرين حقيقيين أو جذرًا حقيقيًا مكررًا أو زوجًا مترافقًا مركّبًا.
هل يعيد جذورًا مركّبة؟
نعم. عندما D < 0 تحتوي مصفوفة roots على كائنين بنفس re وim متعاكسين (زوج مترافق). وعندما تكون الجذور حقيقية يكون im صفرًا.
ما حقل vertex؟
للقطع y = ax² + bx + c يكون vertex.x هو −b/(2a) وvertex.y قيمة الدالة عند ذلك x. وهو الحد الأدنى عندما a > 0 والحد الأقصى عندما a < 0.
كيف تبقى النتيجة دقيقة عندما تكون b كبيرة جدًا؟
إذا كان أحد الجذرين سيفقد أرقامًا بسبب طرح عددين متقاربين جدًا، يُحسب الجذر الثاني من حاصل ضرب الجذرين c/a كلما كان ذلك مستقرًا، فيبقى الجذران موثوقين.
لماذا تُرفض القيمة a التي تساوي صفرًا؟
لأن المعادلة تصبح خطية ولا تنطبق عليها الصيغة التربيعية التي تقسم على 2a. تظهر رسالة واضحة بدل حل خاطئ، ويمكنك حينها استخدام طريقة للمعادلات الخطية.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-formula \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":-3,"c":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-formula", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": -3,
"c": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-formula",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": -3,
"c": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-formula", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":-3,"c":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":-3,"c":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-formula", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"a": 1,
"b": -3,
"c": 2
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.quadratic_formula",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
تشترك أداة المتصفح المجانية وواجهة API المدفوعة في دالة نقية واحدة، فلا تتباعد عروض الصف وثوابت المسابقات والأنابيب الآلية أبدًا على نفس a وb وc.
كيف تعمل الصيغة التربيعية والمميز والرأس
المسار كله حتمي—بلا بذور عشوائية ولا ساعات ولا استدعاءات شبكة ولا انحراف نموذج—فتُنتج المعاملات المتطابقة دائمًا JSON متطابقًا. الحالة الخاصة a قريب من الصفر تُرفض بـ invalid_input لأن الصيغة ستقسم على صفر ولن تبقى المسألة تربيعية.
ما ترسله وما تستقبله
الحقول الناقصة والسلاسل غير العددية وNaN وInfinity تفشل بـ invalid_input ولا تُحاسب. عند النجاح تعيد الاستجابة المعاملات المنظفة وسلسلة معادلة قابلة للطباعة والمميز كعدد وroot_type كأحد two_real أو one_real أو complex وعلامة منطقية real_roots ومصفوفة roots من كائنين لكل منهما re وim. تسعير استدعاءات API الناجحة هو الأساس المنشور $0.002 لكل عنصر؛ إخفاقات التحقق لا تستهلك الرصيد المدفوع مسبقًا.
أين تظهر حلالات التربيع في العمل الحقيقي
يريد مؤلفو المناهج الذين يبنون دروسًا تفاعلية نفس شكل JSON في ودجت المتصفح وفي API حتى تبقى أوراق العمل دون اتصال والمصححات الآلية متوافقة. ولأن هذه القدرة محرك parse نقي، فإن تسعير API هو الأساس المنشور $0.002 لكل عنصر ناجح والتحقق الفاشل لا يستهلك الرصيد.
حالات التكامل
أزمنة الفيزياء والحركيات
حلّ a t² + b t + c = 0 لنماذج المقذوف أو السقوط الحر واعرف فورًا إن كانت أزمنة الاصطدام حقيقية أم مركّبة.
نقطة التعادل والنماذج المكافئة
اعثر على الأصفار والرأس لمنحنيات تكلفة أو إيراد أو طلب تربيعية في الدفاتر دون معاملة a=0 كتربيعية بصمت.
أسئلة تقنية
ماذا يحدث إذا كان a صفرًا؟
تفشل الطلبية بـ invalid_input. تتطلب الصيغة التربيعية معاملًا تربيعيًا غير صفري؛ والمعادلة الخطية bx + c = 0 مسألة مختلفة.
كم التكلفة؟
أداة المتصفح مجانية وتعمل محليًا. تستخدم طلبات API رصيد KIT المدفوع مسبقًا بسعر $0.002 لكل عنصر ناجح؛ والمدخلات غير الصالحة لا تُحاسب.