Formule quadratique

La formule quadratique est la solution fermée standard de toute équation de la forme a fois x au carré plus b fois x plus c égal zéro lorsque a n'est pas nul. Avec trois coefficients finis, ce solveur calcule le discriminant D égal à b au carré moins quatre a c, renvoie les deux racines comme nombres complexes avec parties réelle et imaginaire, et indique le sommet de la parabole associée. Lorsque D est positif vous obtenez deux racines réelles distinctes ; lorsque D est nul, une racine réelle double ; lorsque D est négatif, un couple conjugué complexe. La même réponse inclut toujours le sommet en x égal moins b sur deux a, afin que le tracé et la mise sous forme canonique restent alignés avec la réponse algébrique. Une entrée invalide ou non quadratique—surtout a égal zéro—est rejetée avec une erreur de validation claire plutôt qu'une solution linéaire silencieuse et fausse.

Comment fonctionnent la formule quadratique, le discriminant et le sommet

Partez de l'équation polynomiale générale du second degré a fois x au carré plus b fois x plus c égal zéro avec a non nul. Compléter le carré ou dériver de la forme sommet conduit à la même expression fermée : x égal moins b plus ou moins la racine carrée de b au carré moins quatre a c, le tout divisé par deux a. La quantité sous le radical est le discriminant D égal à b au carré moins quatre a c.

Son signe classe entièrement l'ensemble des solutions sur les complexes : D supérieur à zéro donne deux racines réelles distinctes, D égal zéro donne une racine réelle de multiplicité deux, et D inférieur à zéro donne deux conjugués complexes non réels dont la partie réelle est moins b sur deux a et dont les parties imaginaires sont plus ou moins la racine de la valeur absolue de D sur deux a.

Cette implémentation n'invente pas de facteurs symboliques approximatifs ; elle évalue la formule avec un appariement flottant soigneux de sorte que, lorsqu'une racine subirait une annulation pour un b de grande valeur absolue, la seconde est récupérée via les identités de produit de Viète lorsque ce chemin est stable.

En parallèle des racines, la parabole y égal a fois x au carré plus b fois x plus c a son unique extremum au sommet x égal moins b sur deux a, avec y égal à la valeur de la fonction en cette abscisse. Ce sommet est toujours renvoyé pour tracer l'axe de symétrie, trouver le minimum ou le maximum et vérifier les étapes de mise sous forme canonique sans un second outil. Les coefficients doivent être des nombres finis ; Infinity et NaN sont rejetés.

Ce que vous envoyez et ce que vous recevez

Envoyez trois nombres finis sous les champs a, b et c représentant les coefficients de a fois x au carré plus b fois x plus c égal zéro. Les trois champs sont obligatoires. Lorsque a est zéro ou extrêmement proche de zéro, la requête échoue avec un message indiquant que la formule quadratique exige un terme quadratique non nul, afin que le client bascule vers un solveur linéaire plutôt que de deviner.

Pour les solutions réelles im est zéro ; pour les complexes le couple est conjugué avec parties réelles égales et imaginaires opposées. L'objet vertex fournit toujours x et y de l'extremum de la parabole. Un champ formula reformule l'expression classique pour les libellés d'interface et la documentation.

Vérifications classiques de manuel : a égal un, b égal moins trois, c égal deux produit les racines deux et un avec discriminant un et sommet en un point cinq, moins un quart ; a égal un, b égal moins deux, c égal un donne une racine double en un ; a égal un, b égal zéro, c égal un donne le couple imaginaire pur plus ou moins i.

Où les solveurs quadratiques interviennent dans le travail réel

Les cours d'algèbre du secondaire et de l'université assignent sans cesse des exercices de résolution par formule, des tableaux de classification par discriminant et des laboratoires de tracé de parabole ; un unique oracle de confiance qui renvoie racines et sommet ensemble accélère la notation et les démos.

Les problèmes de concours de programmation et les échauffements d'entretien cachent souvent une quadratique sous la cinématique physique, la portée d'un projectile ou des modèles de seuil de rentabilité, et les ingénieurs ont besoin d'une classification exacte réel versus complexe plutôt qu'un NaN silencieux d'une racine carrée non contrôlée. Les carnets de données et de finance résolvent les points d'équilibre de courbes de coût ou de demande quadratiques et doivent refuser a égal zéro plutôt que d'étiqueter un cas linéaire comme quadratique.

Les moteurs graphiques et de jeux échantillonnent des arcs paraboliques et ont besoin du sommet pour la hauteur de l'apex, tout en exposant des racines en forme fermée pour les équations de temps de collision de la forme a fois t au carré plus b fois t plus c égal zéro.

Si vous avez ensuite besoin de formes fermées cubiques ou quartiques, de systèmes de deux équations ou de factorisation symbolique sur les entiers, traitez-les comme des intentions de recherche et pages d'atterrissage séparées plutôt que de surcharger cette page du solveur de formule quadratique.