Solveur cubique

Une équation cubique est toute équation polynomiale de degré trois écrite comme a fois x au cube plus b fois x au carré plus c fois x plus d égale zéro lorsque le coefficient dominant a n'est pas nul. La forme fermée classique de Cardano donne encore chaque racine sur les nombres complexes après une courte séquence algébrique : divisez par a pour moniciser le polynôme, décalez la variable pour supprimer le terme quadratique, résolvez la cubique déprimée t au cube plus p t plus q égale zéro, puis décalez les trois solutions en arrière. Le signe du discriminant déprimé classe entièrement le tableau : trois racines réelles distinctes, un motif de racine réelle multiple, ou une racine réelle appariée à une paire conjuguée complexe. Lorsque a est zéro, la requête est rejetée avec une erreur de validation claire au lieu de traiter silencieusement une quadratique comme cubique.

Comment la méthode de Cardano résout une cubique générale

Partez de la cubique réelle générale a fois x au cube plus b fois x au carré plus c fois x plus d égale zéro et exigez que a soit non nul pour que l'équation ait vraiment le degré trois. Divisez par a pour obtenir la forme monique x au cube plus A x au carré plus B x plus C égale zéro.

La substitution x égale t moins A sur trois supprime le terme carré et produit la cubique déprimée t au cube plus p t plus q égale zéro, où p et q sont des polynômes élémentaires en A, B et C. Le discriminant de cette cubique déprimée est Delta égal au carré de q sur deux plus le cube de p sur trois.

Lorsque Delta est positif, les expressions classiques de Cardano construites à partir de deux racines cubiques et des racines cubiques non réelles de l'unité donnent une racine réelle et une paire conjuguée complexe. Lorsque Delta est zéro, toutes les racines sont réelles et au moins deux coïncident, retrouvant les cas de double racine des manuels comme un cube parfait ou un facteur linéaire au carré multiplié par un autre facteur linéaire.

Lorsque Delta est négatif — le célèbre casus irreducibilis — trois racines réelles distinctes apparaissent, et le chemin d'évaluation stable utilise l'identité trigonométrique avec deux fois la racine carrée de moins p sur trois multipliée par des cosinus d'un argument arccos d'un tiers d'angle décalé par des multiples de deux pi sur trois. Après avoir les trois valeurs de t, chaque racine est décalée en soustrayant A sur trois, restaurant les solutions du monique d'origine et donc du polynôme mis à l'échelle d'origine.

Les coefficients doivent être finis ; NaN et Infinity sont rejetés.

Ce que vous envoyez et ce que vous recevez en retour

Envoyez quatre nombres finis sous les champs a, b, c et d représentant les coefficients de a fois x au cube plus b fois x au carré plus c fois x plus d égale zéro. Les quatre champs sont obligatoires. Lorsque a est zéro ou extrêmement proche de zéro, la requête échoue avec un message indiquant que la méthode de Cardano exige un terme cubique non nul, afin que les clients puissent basculer vers un solveur quadratique plutôt que de deviner.

Pour des solutions purement réelles chaque partie imaginaire est zéro ; pour des spectres mixtes la paire complexe est conjuguée. Vérifications classiques de manuel : a égal un, b égal moins six, c égal onze, d égal moins six avec racines trois, deux et un ; le cas de triple racine déprimée x au cube égale zéro ; et des cubiques à une réelle et deux complexes comme x au cube plus x plus un égale zéro.

Où les solveurs d'équation cubique apparaissent dans le travail réel

Les cours d'algèbre du secondaire et du supérieur assignent sans cesse des exercices Cardano, des tableaux de classification par discriminant et des comparaisons factoriser-ou-formule ; un seul oracle de confiance qui renvoie les trois racines avec parties réelle et imaginaire accélère la notation et le montage de démos.

Les problèmes de concours de programmation et les échauffements d'entretien cachent souvent une cubique sous des contraintes de volume, des modèles de coût cubique ou des formes déprimées après une substitution, et les ingénieurs ont besoin d'une classification exacte trois-réelles versus complexes plutôt qu'un NaN silencieux d'un radical non contrôlé. La théorie du contrôle et la conception mécanique résolvent des équations caractéristiques cubiques pour des marges de stabilité et ont besoin de chaque valeur propre complexe d'une matrice compagnon trois par trois sans quitter le chemin de forme fermée.

Graphismes, animation et moteurs de jeu échantillonnent des courbes de timing Bezier cubiques et résolvent des racines de paramètre de polynômes cubiques le long de requêtes de collision ou de silhouette. Si vous avez plus tard besoin de la seule formule quadratique, des solutions quartiques de Ferrari, de systèmes de deux équations polynomiales ou d'une factorisation symbolique sur les entiers, traitez-les comme des intentions de recherche et des pages d'atterrissage séparées plutôt que de surcharger cette page du solveur cubique Cardano.