Kubikgleichungs-Löser

Eine kubische Gleichung ist jede Polynomgleichung vom Grad drei, geschrieben als a mal x hoch drei plus b mal x hoch zwei plus c mal x plus d gleich null, wenn der Leitkoeffizient a nicht null ist. Die klassische geschlossene Form von Cardano liefert weiterhin jede Wurzel über den komplexen Zahlen nach einer kurzen algebraischen Sequenz: teilen Sie durch a, um das Polynom monisch zu machen, verschieben Sie die Variable, um den quadratischen Term zu entfernen, lösen Sie die deprimierte Kubik t hoch drei plus p t plus q gleich null und verschieben Sie die drei Lösungen zurück. Das Vorzeichen der deprimierten Diskriminante klassifiziert das Bild vollständig: drei verschiedene reelle Wurzeln, ein Muster mehrfacher reeller Wurzel, oder eine reelle Wurzel gepaart mit einem komplexen Konjugiertenpaar. Wenn a null ist, wird die Anfrage mit einem klaren Validierungsfehler abgelehnt, statt stillschweigend eine Quadratische als Kubik zu behandeln.

So löst die Methode von Cardano eine kubische Gleichung

Zuerst wird die Gleichung durch den führenden Koeffizienten geteilt, sodass vor x³ eine Eins steht. Dann verschiebt man die Variable um ein Drittel des Koeffizienten vor x², wodurch das quadratische Glied verschwindet und die reduzierte Form t³ + pt + q übrig bleibt. Für diese Form entscheidet eine Diskriminante, welcher Fall vorliegt: eine reelle Wurzel mit einem konjugiert komplexen Paar, mehrfache reelle Wurzeln oder drei verschiedene reelle Wurzeln. Im letzten Fall, dem berühmten casus irreducibilis, rechnet der Löser über Kosinuswerte, weil dieser Weg stabiler ist. Am Ende werden alle drei Lösungen wieder zurückverschoben.

Wann Sie den Löser nutzen und typische Fehler

Der Löser eignet sich zum Prüfen von Hausaufgaben, für Tabellen zur Einordnung der Diskriminante und überall dort, wo Sie alle Wurzeln brauchen, auch komplexe. Ein häufiger Fehler ist ein vergessenes Vorzeichen bei den Koeffizienten, etwa 6 statt −6. Ein zweiter ist ein erster Koeffizient von null: Dann liegt keine kubische Gleichung vor, und der Rechner lehnt sie ab. Bringen Sie die Gleichung außerdem vollständig auf die Form mit null auf der rechten Seite, bevor Sie die vier Koeffizienten eintragen.

Wie Cardanos Verfahren eine allgemeine Kubik löst

Beginnen Sie mit der allgemeinen reellen Kubik a mal x hoch drei plus b mal x hoch zwei plus c mal x plus d gleich null und bestehen Sie darauf, dass a ungleich null ist, damit die Gleichung wirklich Grad drei hat. Teilen Sie durch a, um die monische Form x hoch drei plus A x hoch zwei plus B x plus C gleich null zu erhalten.

Die Substitution x gleich t minus A über drei entfernt den Quadratterm und erzeugt die deprimierte Kubik t hoch drei plus p t plus q gleich null, wobei p und q elementare Polynome in A, B und C sind. Die Diskriminante jener deprimierten Kubik ist Delta gleich dem Quadrat von q über zwei plus dem Kubus von p über drei. Wenn Delta positiv ist, liefern klassische Cardano-Ausdrücke aus zwei Kubikwurzeln und den nichtreellen Einheitswurzeln der dritten Ordnung eine reelle Wurzel und ein komplexes Konjugiertenpaar.

Wenn Delta null ist, sind alle Wurzeln reell und mindestens zwei fallen zusammen, was Doppelwurzel-Lehrbuchfälle wie einen perfekten Kubus oder einen quadrierten Linearfaktor mal einen anderen Linearfaktor wiederherstellt. Wenn Delta negativ ist — der berühmte casus irreducibilis — erscheinen drei verschiedene reelle Wurzeln, und der stabile Auswertungspfad nutzt die trigonometrische Identität mit zweimal der Quadratwurzel von minus p über drei multipliziert mit Kosinus eines Drittelwinkel-arccos-Arguments, verschoben um Vielfache von zwei pi über drei.

Nachdem die drei t-Werte bekannt sind, wird jede Wurzel um A über drei zurückverschoben und stellt Lösungen des ursprünglichen monischen und damit des ursprünglichen skalierten Polynoms wieder her. Koeffizienten müssen endlich sein; NaN und Infinity werden abgelehnt.

Was Sie senden und was Sie zurückerhalten

Senden Sie vier endliche Zahlen unter den Feldern a, b, c und d, die die Koeffizienten von a mal x hoch drei plus b mal x hoch zwei plus c mal x plus d gleich null darstellen. Alle vier Felder sind erforderlich. Wenn a null oder extrem nahe null ist, scheitert die Anfrage mit einer Meldung, dass Cardanos Verfahren einen nichtnullen kubischen Term verlangt, sodass Clients zu einem quadratischen Löser wechseln können statt zu raten.

Bei rein reellen Lösungen ist jeder Imaginärteil null; bei gemischten Spektren ist das komplexe Paar konjugiert. Klassische Lehrbuchprüfungen umfassen a gleich eins, b gleich minus sechs, c gleich elf, d gleich minus sechs mit Wurzeln drei, zwei und eins; den deprimierten Dreifachwurzel-Fall x hoch drei gleich null; und Kubiken mit einer reellen und zwei komplexen Wurzeln wie x hoch drei plus x plus eins gleich null.

Wo Löser für kubische Gleichungen in der realen Arbeit auftauchen

Algebrakurse der Sekundarstufe und Hochschule vergeben ständig Cardano-Übungen, Diskriminanten-Klassifikationstabellen und Faktor-oder-Formel-Vergleiche; ein einziges vertrauenswürdiges Orakel, das alle drei Wurzeln mit Real- und Imaginärteilen liefert, beschleunigt Benotung und Demo-Aufbau. Programmierwettbewerbsaufgaben und Interview-Aufwärmer verstecken oft eine Kubik unter Volumenbeschränkungen, kubischen Kostenmodellen oder deprimierten Formen nach einer Substitution, und Ingenieure brauchen exakte Klassifikation von drei-reell versus komplex statt eines stillen NaN aus einem ungeprüften Radikal. Regelungstheorie und Maschinenbau lösen kubische charakteristische Gleichungen für Stabilitätsränder und brauchen jeden komplexen Eigenwert einer drei-mal-drei Begleitmatrix, ohne den geschlossenen Formweg zu verlassen.

Grafik, Animation und Spielengines sampeln kubische Bezier-Zeitkurven und lösen Parameterwurzeln kubischer Polynome entlang Kollisions- oder Silhouettenabfragen. Wenn Sie später nur die quadratische Formel, quartische Ferrari-Lösungen, Systeme zweier Polynomgleichungen oder symbolische Faktorisierung über den ganzen Zahlen brauchen, behandeln Sie jene als getrennte Suchabsichten und Landings statt diese Cardano-Kubiklöser-Seite zu überladen.