Resolutor cúbica
x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 tiene las raíces 3, 2 y 1: indique los cuatro coeficientes y obtenga las tres raíces, reales o complejas, con la forma deprimida y el discriminante que las explican. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- A
- 1
- B
- -6
- C
- 11
- D
- -6
- Ecuación
- 1*x^3 + -6*x^2 + 11*x + -6 = 0
- Discriminante Δ
- -0,037037037
- Tipo de raíz
- three_real
- Número de raíces reales
- 3
Una ecuación cúbica es cualquier ecuación polinómica de grado tres escrita como a por x al cubo más b por x al cuadrado más c por x más d igual a cero cuando el coeficiente principal a no es nulo. La forma cerrada clásica de Cardano sigue entregando cada raíz sobre los números complejos tras una breve secuencia algebraica: divida entre a para monicar el polinomio, desplace la variable para eliminar el término cuadrático, resuelva la cúbica deprimida t al cubo más p t más q igual a cero y vuelva a desplazar las tres soluciones. El signo del discriminante deprimido clasifica por completo el panorama: tres raíces reales distintas, un patrón de raíz real múltiple, o una raíz real emparejada con un par conjugado complejo. Cuando a es cero, la petición se rechaza con un error de validación claro en lugar de tratar en silencio una cuadrática como cúbica.
Cómo el método de Cardano resuelve una cúbica general
Parta de la cúbica real general a por x al cubo más b por x al cuadrado más c por x más d igual a cero e insista en que a sea no nulo para que la ecuación tenga realmente grado tres. Divida entre a para obtener la forma mónica x al cubo más A x al cuadrado más B x más C igual a cero.
La sustitución x igual a t menos A entre tres elimina el término cuadrado y produce la cúbica deprimida t al cubo más p t más q igual a cero, donde p y q son polinomios elementales en A, B y C. El discriminante de esa cúbica deprimida es Delta igual al cuadrado de q entre dos más el cubo de p entre tres.
Cuando Delta es positivo, las expresiones clásicas de Cardano construidas con dos raíces cúbicas y las raíces cúbicas no reales de la unidad producen una raíz real y un par conjugado complejo. Cuando Delta es cero, todas las raíces son reales y al menos dos coinciden, recuperando los casos de libro de raíz doble como un cubo perfecto o un factor lineal al cuadrado por otro factor lineal.
Cuando Delta es negativo —el famoso casus irreducibilis— aparecen tres raíces reales distintas, y la vía de evaluación estable usa la identidad trigonométrica con dos veces la raíz cuadrada de menos p entre tres por cosenos de un argumento arccos de un tercio de ángulo desplazado por múltiplos de dos pi entre tres. Tras conocer los tres valores de t, cada raíz se desplaza restando A entre tres, restaurando las soluciones del mónico original y por tanto del polinomio escalado original.
Los coeficientes deben ser finitos; NaN e Infinity se rechazan.
Qué envía y qué recibe de vuelta
Envíe cuatro números finitos bajo los campos a, b, c y d que representan los coeficientes de a por x al cubo más b por x al cuadrado más c por x más d igual a cero. Los cuatro campos son obligatorios. Cuando a es cero o está extremadamente cerca de cero, la petición falla con un mensaje de que el método de Cardano exige un término cúbico no nulo, de modo que los clientes puedan pasar a un resolutor cuadrático en lugar de adivinar.
Para soluciones puramente reales cada parte imaginaria es cero; en espectros mixtos el par complejo es conjugado. Comprobaciones clásicas de libro incluyen a igual a uno, b igual a menos seis, c igual a once, d igual a menos seis con raíces tres, dos y uno; el caso de raíz triple deprimida x al cubo igual a cero; y cúbicas con una raíz real y dos complejas como x al cubo más x más uno igual a cero.
Dónde aparecen los resolutores de ecuación cúbica en el trabajo real
Los cursos de álgebra de secundaria y universidad asignan sin cesar ejercicios de Cardano, tablas de clasificación por discriminante y comparaciones factor-o-fórmula; un único oráculo de confianza que devuelve las tres raíces con partes real e imaginaria acelera la corrección y el montaje de demos.
Los problemas de concursos de programación y los calentamientos de entrevista a menudo ocultan una cúbica bajo restricciones de volumen, modelos de coste cúbico o formas deprimidas tras una sustitución, y los ingenieros necesitan una clasificación exacta de tres-reales frente a complejos en lugar de un NaN silencioso de un radical sin comprobar. La teoría de control y el diseño mecánico resuelven ecuaciones características cúbicas para márgenes de estabilidad y necesitan cada autovalor complejo de una matriz compañera tres por tres sin abandonar la vía de forma cerrada.
Gráficos, animación y motores de juego muestrean curvas de temporización Bezier cúbicas y resuelven raíces de parámetro de polinomios cúbicos en consultas de colisión o silueta. Si más adelante necesita solo la fórmula cuadrática, soluciones cuárticas de Ferrari, sistemas de dos ecuaciones polinómicas o factorización simbólica sobre los enteros, trátelos como intenciones de búsqueda y páginas de aterrizaje separadas en lugar de sobrecargar esta página del resolutor cúbico de Cardano.
Qué puede hacer con ella
Claves de respuesta para deberes y exámenes
Genere las tres raíces, p/q deprimidos y la clase del discriminante para conjuntos de libro ax³+bx²+cx+d de modo que docentes y autoevaluadores compartan una sola verdad de referencia.
Ecuaciones características y estabilidad
Resuelva polinomios característicos cúbicos de modelos lineales 3×3 y clasifique espectros reales frente a complejos sin buscadores de raíces iterativos.
Coste cúbico, volumen y parámetros Bezier
Halle parámetros reales de intersección de curvas cúbicas y raíces de equilibrio de modelos de coste cúbico con repliegues complejos honestos cuando haga falta.
Preguntas frecuentes
¿Devuelve raíces complejas?
Sí. Cuando el discriminante deprimido es positivo obtiene una raíz real y un par conjugado complejo. Cuando es negativo obtiene tres raíces reales. Cada raíz es un objeto con re e im.
¿Qué es la cúbica deprimida?
La respuesta incluye p, q y el desplazamiento para verificar los pasos algebraicos intermedios.
¿Cuánto cuesta?
La herramienta del navegador es gratuita y se ejecuta en local.
¿Cómo sabe cuántas raíces reales hay?
Por el signo del discriminante de la cúbica deprimida. Si es positivo hay una raíz real y un par complejo conjugado; si es cero, raíces reales repetidas; si es negativo, tres raíces reales distintas.
¿Qué pasa si el primer coeficiente es cero?
La ecuación deja de ser cúbica, así que se rechaza en lugar de tratarla como tal. Para ese caso use un resolutor de ecuaciones cuadráticas, porque el método de Cardano divide entre el coeficiente cúbico.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/cubic-equation \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":-6,"c":11,"d":-6}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/cubic-equation", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": -6,
"c": 11,
"d": -6
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/cubic-equation",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": -6,
"c": 11,
"d": -6
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/cubic-equation", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":-6,"c":11,"d":-6}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":-6,"c":11,"d":-6}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/cubic-equation", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"a": 1,
"b": -6,
"c": 11,
"d": -6
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.cubic_equation",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Cómo el método de Cardano resuelve una cúbica general
Todo el pipeline es aritmética de coma flotante determinista: sin semillas aleatorias, sin marcas de reloj, sin llamadas de red y sin deriva de modelo, de modo que coeficientes idénticos siempre producen el mismo JSON. El caso especial a aproximadamente cero se rechaza con invalid_input porque Cardano dividiría entre cero y el problema dejaría de ser cúbico.
Qué envía y qué recibe de vuelta
Campos ausentes, cadenas no numéricas, NaN e Infinity fallan con invalid_input y no se cobran. En el éxito la respuesta repite los coeficientes limpios, una cadena de ecuación imprimible, los coeficientes mónicos A, B y C, el triple deprimido p, q y shift, el discriminante deprimido como número, root_type como uno de three_real, one_real_two_complex o multiple_real, un indicador booleano real_roots, real_root_count y un arreglo roots de tres objetos cada uno con re e im. El precio de las llamadas API exitosas es la base publicada de $0.002 por ítem; los fallos de validación no consumen saldo prepago.
Dónde aparecen los resolutores de ecuación cúbica en el trabajo real
Como esta capacidad es un motor de parse puro, el precio de la API es la base publicada de $0.002 por ítem exitoso y la validación fallida no consume saldo.
Preguntas técnicas
¿Qué método usa este resolutor de ecuación cúbica?
El método de Cardano: normalización mónica, depresión x = t − b/(3a), solución de t³ + p t + q = 0 por caso del discriminante (raíces cúbicas de Cardano o la forma trigonométrica) y luego sustitución inversa.
¿Qué ocurre si a es cero?
La petición falla con invalid_input. El método de Cardano exige un coeficiente cúbico no nulo; una cuadrática ax² + bx + c = 0 es otro problema y otra página de aterrizaje.