Resolvedor cúbica
x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 tem as raízes 3, 2 e 1: informe os quatro coeficientes e obtenha as três raízes, reais ou complexas, com a forma deprimida e o discriminante por trás delas. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- A
- 1
- B
- -6
- C
- 11
- D
- -6
- Equação
- 1*x^3 + -6*x^2 + 11*x + -6 = 0
- Discriminante Δ
- -0,037037037
- Tipo de raiz
- three_real
- Contagem de raízes reais
- 3
Uma equação cúbica é qualquer equação polinomial de grau três escrita como a vezes x ao cubo mais b vezes x ao quadrado mais c vezes x mais d igual a zero quando o coeficiente líder a não é nulo. A forma fechada clássica de Cardano ainda entrega cada raiz sobre os números complexos após uma curta sequência algébrica: divida por a para monicar o polinômio, desloque a variável para remover o termo quadrático, resolva a cúbica deprimida t ao cubo mais p t mais q igual a zero e desloque de volta as três soluções. O sinal do discriminante deprimido classifica por completo o panorama: três raízes reais distintas, um padrão de raiz real múltipla, ou uma raiz real emparelhada com um par conjugado complexo. Quando a é zero, a requisição é rejeitada com um erro claro de validação em vez de tratar em silêncio uma quadrática como cúbica.
Como o método de Cardano resolve uma cúbica geral
Comece com a cúbica real geral a vezes x ao cubo mais b vezes x ao quadrado mais c vezes x mais d igual a zero e exija que a seja não nulo para que a equação tenha de fato grau três. Divida por a para obter a forma mônica x ao cubo mais A x ao quadrado mais B x mais C igual a zero.
A substituição x igual a t menos A sobre três remove o termo quadrado e produz a cúbica deprimida t ao cubo mais p t mais q igual a zero, onde p e q são polinômios elementares em A, B e C. O discriminante dessa cúbica deprimida é Delta igual ao quadrado de q sobre dois mais o cubo de p sobre três.
Quando Delta é positivo, as expressões clássicas de Cardano construídas com duas raízes cúbicas e as raízes cúbicas não reais da unidade produzem uma raiz real e um par conjugado complexo. Quando Delta é zero, todas as raízes são reais e ao menos duas coincidem, recuperando casos de livro de raiz dupla como um cubo perfeito ou um fator linear ao quadrado vezes outro fator linear.
Quando Delta é negativo —o famoso casus irreducibilis— aparecem três raízes reais distintas, e o caminho de avaliação estável usa a identidade trigonométrica com duas vezes a raiz quadrada de menos p sobre três vezes cossenos de um argumento arccos de um terço de ângulo deslocado por múltiplos de dois pi sobre três. Após conhecer os três valores de t, cada raiz é deslocada subtraindo A sobre três, restaurando soluções do mônico original e portanto do polinômio escalado original. Os coeficientes devem ser finitos; NaN e Infinity são rejeitados.
O que você envia e o que recebe de volta
Envie quatro números finitos nos campos a, b, c e d representando os coeficientes de a vezes x ao cubo mais b vezes x ao quadrado mais c vezes x mais d igual a zero. Os quatro campos são obrigatórios. Quando a é zero ou está extremamente perto de zero, a requisição falha com uma mensagem de que o método de Cardano exige um termo cúbico não nulo, para que os clientes possam mudar para um resolvedor quadrático em vez de adivinhar.
Para soluções puramente reais cada parte imaginária é zero; em espectros mistos o par complexo é conjugado. Checagens clássicas de livro incluem a igual a um, b igual a menos seis, c igual a onze, d igual a menos seis com raízes três, dois e um; o caso de raiz tripla deprimida x ao cubo igual a zero; e cúbicas com uma real e duas complexas como x ao cubo mais x mais um igual a zero.
Onde resolvedores de equação cúbica aparecem no trabalho real
Cursos de álgebra do ensino médio e da faculdade atribuem sem parar exercícios de Cardano, tabelas de classificação por discriminante e comparações fator-ou-fórmula; um único oráculo confiável que devolve as três raízes com partes real e imaginária acelera a correção e a montagem de demos.
Problemas de contest de programação e aquecimentos de entrevista muitas vezes escondem uma cúbica sob restrições de volume, modelos de custo cúbico ou formas deprimidas após uma substituição, e engenheiros precisam de classificação exata de três-reais versus complexos em vez de um NaN silencioso de um radical não verificado. Teoria de controle e projeto mecânico resolvem equações características cúbicas para margens de estabilidade e precisam de cada autovalor complexo de uma matriz companheira três por três sem sair do caminho de forma fechada.
Gráficos, animação e motores de jogo amostram curvas de tempo Bezier cúbicas e resolvem raízes de parâmetro de polinômios cúbicos em consultas de colisão ou silhueta. Se mais tarde precisar só da fórmula quadrática, soluções quártica de Ferrari, sistemas de duas equações polinomiais ou fatoração simbólica sobre os inteiros, trate-os como intenções de busca e landings separados em vez de sobrecarregar esta página do resolvedor cúbico de Cardano.
Casos de uso
Gabaritos de lição de casa e provas
Gere as três raízes, p/q deprimidos e a classe do discriminante para conjuntos de livro ax³+bx²+cx+d para que professores e autoavaliadores compartilhem uma única verdade de referência.
Equações características e estabilidade
Resolva polinômios característicos cúbicos de modelos lineares 3×3 e classifique espectros reais versus complexos sem buscadores de raízes iterativos.
Custo cúbico, volume e parâmetros Bezier
Ache parâmetros reais de interseção de curvas cúbicas e raízes de equilíbrio de modelos de custo cúbico com recuos complexos honestos quando necessário.
Perguntas frequentes
Ele devolve raízes complexas?
Sim. Quando o discriminante deprimido é positivo você obtém uma raiz real e um par conjugado complexo. Quando é negativo obtém três raízes reais. Cada raiz é um objeto com re e im.
O que é a cúbica deprimida?
A resposta inclui p, q e o deslocamento para você verificar os passos algébricos intermediários.
Quanto custa?
A ferramenta do navegador é gratuita e roda localmente.
Como ele sabe quantas raízes reais existem?
Pelo sinal do discriminante da cúbica deprimida. Positivo indica uma raiz real e um par complexo conjugado; zero, raízes reais repetidas; negativo, três raízes reais distintas.
E se o primeiro coeficiente for zero?
A equação deixa de ser cúbica, então é recusada em vez de ser tratada como tal. Nesse caso use um resolvedor de equação do segundo grau, porque o método de Cardano divide pelo coeficiente cúbico.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/cubic-equation \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":-6,"c":11,"d":-6}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/cubic-equation", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": -6,
"c": 11,
"d": -6
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/cubic-equation",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": -6,
"c": 11,
"d": -6
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/cubic-equation", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":-6,"c":11,"d":-6}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":-6,"c":11,"d":-6}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/cubic-equation", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": 1,
"b": -6,
"c": 11,
"d": -6
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.cubic_equation",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Como o método de Cardano resolve uma cúbica geral
Todo o pipeline é aritmética de ponto flutuante determinística: sem sementes aleatórias, sem carimbos de relógio, sem chamadas de rede e sem deriva de modelo, de modo que coeficientes idênticos sempre produzem o mesmo JSON. O caso especial a aproximadamente zero é rejeitado com invalid_input porque Cardano dividiria por zero e o problema deixaria de ser cúbico.
O que você envia e o que recebe de volta
Campos ausentes, strings não numéricas, NaN e Infinity falham com invalid_input e não são cobrados. No sucesso a resposta ecoa os coeficientes limpos, uma string de equação imprimível, os coeficientes mônicos A, B e C, o triplo deprimido p, q e shift, o discriminante deprimido como número, root_type como um de three_real, one_real_two_complex ou multiple_real, um booleano real_roots, real_root_count e um array roots de três objetos cada um com re e im. O preço de chamadas API bem-sucedidas é a base publicada de US$ 0,002 por item; falhas de validação não consomem saldo pré-pago.
Onde resolvedores de equação cúbica aparecem no trabalho real
Como esta capacidade é um motor de parse puro, o preço da API é a base publicada de US$ 0,002 por item bem-sucedido e a validação falha não consome saldo.
Perguntas técnicas
Qual método este resolvedor de equação cúbica usa?
O método de Cardano: normalização mônica, depressão x = t − b/(3a), solução de t³ + p t + q = 0 por caso do discriminante (raízes cúbicas de Cardano ou a forma trigonométrica) e depois substituição inversa.
O que acontece se a for zero?
A requisição falha com invalid_input. O método de Cardano exige um coeficiente cúbico não nulo; uma quadrática ax² + bx + c = 0 é outro problema e outro landing.