Fórmula quadrática
Informe a, b e c e obtenha as raízes direto da fórmula: x² − 3x + 2 tem discriminante 1 e raízes 2 e 1, com o vértice da parábola em (1,5; −0,25). Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- A
- 1
- B
- -3
- C
- 2
- Equação
- 1*x^2 + -3*x + 2 = 0
- Discriminante
- 1
- Tipo de raiz
- two_real
A fórmula quadrática é a solução fechada padrão para qualquer equação da forma a vezes x ao quadrado mais b vezes x mais c igual a zero quando a não é zero. Dados três coeficientes finitos, este solucionador calcula o discriminante D igual a b ao quadrado menos quatro a c, devolve as duas raízes como números complexos com partes real e imaginária, e informa o vértice da parábola associada. Quando D é positivo você obtém duas raízes reais distintas; quando D é zero, uma raiz real repetida; quando D é negativo, um par conjugado complexo. A mesma resposta sempre inclui o vértice em x igual a menos b sobre dois a, de modo que gráficos e completar o quadrado fiquem alinhados com a resposta algébrica. Entrada inválida ou não quadrática—em especial a igual a zero—é rejeitada com erro claro de validação em vez de uma solução linear silenciosa e errada.
Como funcionam a fórmula quadrática, o discriminante e o vértice
Parta da equação polinomial geral de segundo grau a vezes x ao quadrado mais b vezes x mais c igual a zero com a não nulo. Completar o quadrado ou derivar da forma vértice leva à mesma expressão fechada: x igual a menos b mais ou menos a raiz quadrada de b ao quadrado menos quatro a c, tudo dividido por dois a. A quantidade sob o radical é o discriminante D igual a b ao quadrado menos quatro a c.
Seu sinal classifica por completo o conjunto de soluções nos complexos: D maior que zero produz duas raízes reais distintas, D igual a zero produz uma raiz real de multiplicidade dois, e D menor que zero produz dois conjugados complexos não reais cuja parte real é menos b sobre dois a e cujas partes imaginárias são mais ou menos a raiz do valor absoluto de D sobre dois a.
Esta implementação não inventa fatores simbólicos aproximados; avalia a fórmula com pareamento cuidadoso de ponto flutuante de modo que, quando uma raiz sofreria cancelamento por b de grande valor absoluto, a segunda é recuperada pelas identidades de produto de Vieta sempre que esse caminho for estável. Em paralelo às raízes, a parábola y igual a a vezes x ao quadrado mais b vezes x mais c tem seu extremo único no vértice x igual a menos b sobre dois a, com y igual ao valor da função nessa abscissa.
Esse vértice sempre é devolvido para você traçar o eixo de simetria, achar o mínimo ou máximo e conferir os passos de completar o quadrado sem uma segunda ferramenta. Os coeficientes devem ser números finitos; Infinity e NaN são rejeitados.
O que você envia e o que recebe de volta
Envie três números finitos nos campos a, b e c representando os coeficientes de a vezes x ao quadrado mais b vezes x mais c igual a zero. Os três campos são obrigatórios. Quando a é zero ou extremamente próximo de zero, a requisição falha com mensagem de que a fórmula quadrática exige termo quadrático não nulo, para o cliente poder trocar para um solucionador linear em vez de adivinhar.
Para soluções reais im é zero; para complexas o par é conjugado com partes reais iguais e imaginárias opostas. O objeto vertex sempre fornece x e y do extremo da parábola. Um campo formula reexpõe a expressão clássica para rótulos de interface e documentação.
Checagens clássicas de livro: a igual a um, b igual a menos três, c igual a dois produz raízes dois e um com discriminante um e vértice em um ponto cinco, menos um quarto; a igual a um, b igual a menos dois, c igual a um dá raiz repetida em um; a igual a um, b igual a zero, c igual a um dá o par imaginário puro mais ou menos i.
Onde solucionadores quadráticos aparecem no trabalho real
Cursos de álgebra do ensino médio e da faculdade atribuem sem parar treinos de resolver por fórmula, tabelas de classificação por discriminante e laboratórios de graficar a parábola; um único oráculo confiável que devolve raízes e vértice juntos agiliza correção e demos. Problemas de maratona de programação e aquecimentos de entrevista muitas vezes escondem uma quadrática sob cinemática física, alcance de projétil ou modelos de ponto de equilíbrio, e engenheiros precisam de classificação exata de resultados reais versus complexos em vez de um NaN silencioso de raiz quadrada sem checagem.
Cadernos de dados e finanças resolvem pontos de equilíbrio de curvas quadráticas de custo ou demanda e devem recusar a igual a zero em vez de rotular um caso linear como quadrático. Motores gráficos e de jogos amostram arcos parabólicos e precisam do vértice para a altura do ápice, ainda expondo raízes em forma fechada para equações de tempo de colisão da forma a vezes t ao quadrado mais b vezes t mais c igual a zero.
Se depois precisar de formas fechadas cúbicas ou quártica, sistemas de duas equações ou fatoração simbólica sobre inteiros, trate-os como intenções de busca e páginas de destino separadas em vez de sobrecarregar esta página do solucionador da fórmula quadrática.
Casos de uso
Gabaritos de lição de casa e provas
Gere raízes exatas, classe do discriminante e coordenadas do vértice para conjuntos didáticos ax²+bx+c, para professores e autoavaliadores compartilharem uma única verdade de referência.
Perguntas frequentes
Qual fórmula este solucionador quadrático usa?
A fórmula quadrática clássica x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). O discriminante D = b² − 4ac seleciona duas raízes reais, uma raiz real repetida ou um par conjugado complexo.
Ele devolve raízes complexas?
Sim. Quando D < 0 o array roots contém dois objetos com o mesmo re e im opostos (par conjugado). Quando as raízes são reais, im é zero.
O que é o campo vertex?
Para a parábola y = ax² + bx + c, vertex.x é −b/(2a) e vertex.y é o valor da função nessa x. É o mínimo quando a > 0 e o máximo quando a < 0.
Quanto custa?
A ferramenta do navegador é grátis e roda localmente.
Como a precisão é mantida quando b é muito grande?
Quando uma raiz perderia algarismos ao subtrair dois números quase iguais, a segunda é recuperada pelo produto das raízes, c/a, sempre que esse caminho é estável. Dessa forma as duas raízes continuam confiáveis.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-formula \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":-3,"c":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-formula", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": -3,
"c": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-formula",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": -3,
"c": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-formula", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":-3,"c":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":-3,"c":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-formula", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": 1,
"b": -3,
"c": 2
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.quadratic_formula",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Como funcionam a fórmula quadrática, o discriminante e o vértice
Todo o caminho é determinístico—sem sementes aleatórias, relógios, chamadas de rede ou deriva de modelo—, assim coeficientes idênticos sempre produzem JSON idêntico. O caso especial a aproximadamente zero é rejeitado com invalid_input porque a fórmula dividiria por zero e o problema deixaria de ser quadrático.
O que você envia e o que recebe de volta
Campos ausentes, strings não numéricas, NaN e Infinity falham com invalid_input e não são cobrados. Em sucesso a resposta ecoa os coeficientes limpos, uma string de equação imprimível, o discriminante como número, root_type como um de two_real, one_real ou complex, um flag booleano real_roots e um array roots de dois objetos cada um com re e im. O preço de chamadas API bem-sucedidas é a base publicada de US$ 0,002 por item; falhas de validação não consomem saldo pré-pago.
Onde solucionadores quadráticos aparecem no trabalho real
Como esta capacidade é um motor de parse puro, o preço da API é a base publicada de US$ 0,002 por item bem-sucedido e a validação falha não consome saldo.
Casos de integração
Tempos em física e cinemática
Resolva a t² + b t + c = 0 em modelos de projétil ou queda livre e saiba de imediato se os tempos de impacto são reais ou complexos.
Ponto de equilíbrio e modelos parabólicos
Ache zeros e vértice de curvas quadráticas de custo, receita ou demanda em cadernos sem tratar em silêncio a=0 como quadrática.
Perguntas técnicas
O que acontece se a for zero?
A requisição falha com invalid_input. A fórmula quadrática exige coeficiente quadrático não nulo; a equação linear bx + c = 0 é um problema diferente.