Resolver quadrática completando o quadrado

Resolver uma equação quadrática completando o quadrado é o método de sala que reescreve a vezes x ao quadrado mais b vezes x mais c igual a zero como um quadrado perfeito transladado igual a uma constante e, em seguida, extrai raízes quadradas reais. Esta calculadora aceita os três coeficientes finitos a, b e c, rejeita um coeficiente principal nulo porque o enunciado deixaria de ser quadrático, e rejeita um segundo membro negativo depois de completar o quadrado porque essas raízes seriam complexas, não reais. Quando o quadrado completado é não negativo, a ferramenta devolve as raízes reais ordenadas junto com o termo linear mônico, o quadrado adicionado, a identidade do quadrado completado e uma fórmula curta que você pode imprimir ao lado da resposta. Verificações clássicas incluem x ao quadrado menos seis x mais cinco, que vira o quadrado de x menos três igual a quatro com raízes um e cinco; dois x ao quadrado menos oito x mais seis, que vira o quadrado de x menos dois igual a um com raízes um e três; e x ao quadrado mais um, que falha como par complexo.

Como completar o quadrado produz as raízes reais

Completar o quadrado resolve a vezes x ao quadrado mais b vezes x mais c igual a zero forçando o primeiro membro a virar um quadrado transladado, em vez de recitar de memória a fórmula quadrática. Primeiro o coeficiente principal precisa ser não nulo; se a é zero o enunciado é linear e este método não se aplica. Divida cada termo por a para a equação ficar mônica: x ao quadrado mais b sobre a vezes x mais c sobre a igual a zero.

Passe a constante para o segundo membro, deixando x ao quadrado mais b sobre a vezes x à esquerda. A metade desse coeficiente linear mônico é b sobre dois a; some o quadrado dessa metade aos dois lados. O primeiro membro passa a ser o quadrado perfeito de x mais b sobre dois a, e o segundo se simplifica algebricamente para b ao quadrado menos quatro a c, tudo sobre quatro a ao quadrado.

Esse segundo membro precisa ser não negativo para haver raízes reais. Quando é estritamente positivo aparecem duas raízes reais: menos b sobre dois a mais ou menos a raiz quadrada do segundo membro. Quando é exatamente zero, o quadrado colapsa numa raiz real repetida no vértice da parábola.

As identidades usadas são puramente algébricas, então os mesmos três números sempre produzem a mesma string de quadrado completado e as mesmas raízes ordenadas, sem sementes aleatórias, relógios nem chamadas de rede no caminho.

Onde uma calculadora de resolver completando o quadrado agrega valor

Cursos de álgebra do ensino médio e da faculdade ensinam a completar o quadrado antes ou ao lado da fórmula quadrática, e avaliam o método, não só os números finais. Um oráculo confiável que devolve a forma mônica, o quadrado adicionado, a identidade do quadrado completado e as raízes reais ordenadas acelera a correção de lição de casa, as demos de tutoria e a geração de chaves de resposta sem pular os passos que a rubrica exige.

Geradores de prova precisam de uma ferramenta determinística que recuse pares complexos e um coeficiente principal nulo, para que autoavaliadores marquem esses itens como sem solução real ou não quadráticos em vez de emitir listas vazias em silêncio. Autores de currículo que montam lições interativas querem a mesma forma para coeficientes principais mônicos e não mônicos, uma raiz repetida quando o segundo membro é zero, e um erro honesto quando se informa x ao quadrado mais um.

Cadernos de programação e telas de entrevista frequentemente escondem uma reescrita por completar o quadrado dentro de um problema de vértice ou otimização, e engenheiros precisam das raízes reais dessa reescrita em vez de um despejo de fórmula que esconde a translação. Se mais adiante você precisar de uma reescrita em forma de vértice sem resolver, raízes complexas sem restrição ou fatoração inteira, trate-os como intenções de busca e landings separados em vez de sobrecarregar este resolvedor por completar o quadrado.