Risolvere completando il quadrato
Risolva un'equazione di secondo grado come a scuola: x² − 6x + 5 = 0 diventa (x − 3)² = 4 e dà le radici 1 e 5. Vede anche la quantità aggiunta a entrambi i membri e il quadrato completato. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- A
- 1
- B
- -6
- C
- 5
- Equazione
- x^2 - 6*x + 5 = 0
- Equazione monica
- x^2 - 6*x + 5 = 0
- Termine lineare monico
- -6
- Costante monica
- 5
Risolvere un'equazione quadratica completando il quadrato è il metodo d'aula che riscrive a per x al quadrato più b per x più c uguale a zero come un quadrato perfetto traslato uguale a una costante, poi estrae radici quadrate reali. Questa calcolatrice accetta i tre coefficienti finiti a, b e c, rifiuta un coefficiente direttore nullo perché l'enunciato non sarebbe più quadratico, e rifiuta un secondo membro negativo dopo il completamento del quadrato perché quelle radici sarebbero complesse anziché reali. Quando il quadrato completato è non negativo, lo strumento restituisce le radici reali ordinate insieme al termine lineare monico, al quadrato aggiunto, all'identità del quadrato completato e a una breve formula che Lei può stampare accanto alla risposta. I controlli classici includono x al quadrato meno sei x più cinque, che diventa il quadrato di x meno tre uguale a quattro con radici uno e cinque; due x al quadrato meno otto x più sei, che diventa il quadrato di x meno due uguale a uno con radici uno e tre; e x al quadrato più uno, che fallisce come coppia complessa.
Come il completamento del quadrato produce le radici reali
Completare il quadrato risolve a per x al quadrato più b per x più c uguale a zero costringendo il primo membro a diventare un quadrato traslato, invece di recitare a memoria la formula quadratica. Prima il coefficiente direttore deve essere non nullo; se a è zero l'enunciato è lineare e questo metodo non si applica. Divida ogni termine per a affinché l'equazione diventi monica: x al quadrato più b su a per x più c su a uguale a zero.
Sposti la costante al secondo membro, lasciando x al quadrato più b su a per x a sinistra. La metà di quel coefficiente lineare monico è b su due a; aggiunga il quadrato di quella metà a entrambi i membri. Il primo membro è allora il quadrato perfetto di x più b su due a, e il secondo si semplifica algebricamente in b al quadrato meno quattro a c, il tutto su quattro a al quadrato.
Quel secondo membro deve essere non negativo per avere radici reali. Quando è strettamente positivo compaiono due radici reali: meno b su due a più o meno la radice quadrata del secondo membro. Quando è esattamente zero, il quadrato collassa in una radice reale doppia nel vertice della parabola.
Le identità usate sono puramente algebriche, così gli stessi tre numeri producono sempre la stessa stringa di quadrato completato e le stesse radici ordinate, senza semi casuali, orologi né chiamate di rete sul percorso.
Dove una calcolatrice di risoluzione completando il quadrato crea valore
I corsi di algebra delle scuole superiori e dell'università insegnano a completare il quadrato prima o accanto alla formula quadratica, e valutano il metodo, non solo i numeri finali. Un oracolo affidabile che restituisce la forma monica, il quadrato aggiunto, l'identità del quadrato completato e le radici reali ordinate accelera la correzione dei compiti, le demo di tutoring e la generazione di chiavi di risposta senza saltare i passaggi richiesti dalla griglia.
I generatori di esami necessitano di uno strumento deterministico che rifiuti coppie complesse e un coefficiente direttore nullo, così i correttori automatici possano segnare quegli item come senza soluzione reale o non quadratici invece di emettere elenchi vuoti in silenzio. Gli autori di curricoli che costruiscono lezioni interattive vogliono la stessa forma per coefficienti direttori monici e non monici, una radice doppia quando il secondo membro è zero, e un errore onesto quando si inserisce x al quadrato più uno.
I quaderni di programmazione e le schermate di colloquio nascondono spesso una riscrittura per completamento del quadrato dentro un problema di vertice o di ottimizzazione, e gli ingegneri necessitano delle radici reali di quella riscrittura piuttosto che di un dump di formula che nasconde la traslazione. Se in seguito Le servono una riscrittura in forma del vertice senza risolvere, radici complesse senza restrizione o fattorizzazione intera, le tratti come intenti di ricerca e landing distinte piuttosto che sovraccaricare questo risolutore per completamento del quadrato.
Casi d'uso
Esercizi d'aula per completare il quadrato
Mostri l'equazione monica, il quadrato aggiunto (b/(2a))² e (x + b/(2a))² = rhs affinché gli studenti verifichino ogni passo algebrico, non solo la coppia finale di radici.
Domande frequenti
Che succede se le radici sono complesse?
Dopo il completamento del quadrato il secondo membro sarebbe negativo, quindi non ci sono radici reali e la chiamata non viene addebitata.
In che cosa differisce dalla formula quadratica o da una riscrittura in forma del vertice?
Questa pagina risolve radici reali completando il quadrato e mostra l'identità del quadrato completato. Una calcolatrice di forma del vertice riscrive a(x−h)²+k senza risolvere; la formula quadratica è un altro metodo e può restituire coppie complesse.
Come si risolve x² − 6x + 5 = 0 completando il quadrato?
Porti il 5 a destra e aggiunga 9, il quadrato della metà di −6, a entrambi i membri. Si ottiene (x − 3)² = 4, quindi x − 3 vale più o meno 2 e le radici sono 1 e 5.
E se il coefficiente di x² non è 1?
Divida prima tutti i termini per quel coefficiente, così l'equazione inizia con x² da solo. Con 2x² − 8x + 6 = 0 si arriva a x² − 4x + 3 = 0, che si completa in (x − 2)² = 1, con radici 1 e 3.
Cosa succede quando le due radici coincidono?
Se il membro destro vale esattamente zero dopo aver completato il quadrato, resta una sola radice reale doppia. Si trova nel vertice della parabola, proprio dove la curva tocca l'asse x.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/solving-by-completing-the-square \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":-6,"c":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/solving-by-completing-the-square", {
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headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": -6,
"c": 5
})
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/solving-by-completing-the-square",
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json={
"a": 1,
"b": -6,
"c": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
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"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":-6,"c":5}',
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req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/solving-by-completing-the-square", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"a": 1,
"b": -6,
"c": 5
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.solving_by_completing_the_square",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Come il completamento del quadrato produce le radici reali
Quando è negativo, la radice quadrata non è reale e questa calcolatrice segnala invalid_input invece di inventare una coppia coniugata complessa.
Contratto di ingresso, forma della risposta ed errori
Quando a è zero il gestore rifiuta la richiesta perché completare il quadrato è un metodo per quadratiche genuine, non per enunciati lineari o costanti. Quando il secondo membro del quadrato completato è negativo, il gestore rifiuta con un messaggio chiaro che le radici sono complesse — anche quel fallimento non viene fatturato. Esempio: a uguale a uno, b uguale a meno sei, c uguale a cinque produce le radici uno e cinque. Invii un corpo JSON con tre numeri finiti obbligatori: a, il coefficiente direttore non nullo; b, il coefficiente lineare; e c, il termine costante di a x al quadrato più b x più c uguale a zero. Ogni campo può arrivare come numero JSON o come stringa decimale numerica; campi mancanti, stringhe vuote, booleani, oggetti e valori non finiti falliscono con invalid_input nominando il campo e non vengono addebitati. In caso di successo il corpo ripete a, b e c; stringhe stampabili equation e monic_equation; method completing_the_square; i coefficienti lineare e costante monici dopo la divisione per a; half_linear uguale a b su due a; complete_add, il quadrato che è stato aggiunto; rhs, il secondo membro non negativo; un'identità completed_square come parentesi x meno tre parentesi al quadrato uguale a quattro; il discriminante; root_count; roots ordinate in modo crescente e arrotondate a dodici decimali per goldens stabili; e una breve formula che riafferma il metodo. Abbini la risposta al Suo codice di tracciamento se Le serve uno schizzo della parabola; questo endpoint risolve solo per x reale. Le chiamate API riuscite usano la base pubblicata di $0.002 per elemento.
Dove una calcolatrice di risoluzione completando il quadrato crea valore
Poiché questa capacità è un motore di parse puro, lo strumento del browser è gratuito e il prezzo API è la base pubblicata di $0.002 per elemento riuscito; la validazione fallita non consuma il saldo prepagato.
Casi di integrazione
Chiavi di risposta per compiti ed esami
Confronti insiemi da manuale ax²+bx+c=0 con l'identità del quadrato completato e le radici reali ordinate, oppure individui item non quadratici o senza soluzione reale.
Correzione automatica LMS di metodo e dominio
Accetti risposte per completamento del quadrato solo quando esistono radici reali; rifiuti a = 0 e i casi complessi come invalid_input invece di inventare una coppia coniugata.
Domande tecniche
Come si risolve una quadratica completando il quadrato con questa calcolatrice?
Invii numeri finiti a (non nullo), b e c per ax²+bx+c=0. L'API divide per a, aggiunge (b/(2a))² e restituisce le radici reali di x = −b/(2a) ± √(rhs) quando rhs è non negativo.
Perché a deve essere diverso da zero?
Se a è zero, ax²+bx+c=0 non è una quadratica. Completare il quadrato è lo strumento sbagliato; il risolutore rifiuta a = 0 per non fingere che un'equazione lineare sia quadratica.
Quanto costa la calcolatrice di risoluzione completando il quadrato?
Lo strumento del browser è gratuito. Le richieste API usano il saldo prepagato KIT a $0.002 per chiamata riuscita; l'ingresso non valido non viene addebitato.