Quadrato di un binomio
Sviluppi il quadrato di un binomio in un solo passaggio: (2x + 3)² diventa 4x² + 12x + 9, con i coefficienti direttore, centrale e costante a², 2ab e b². Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- A
- 2
- B
- 3
- Termine principale
- 4
- Termine lineare
- 12
- Costante
- 9
- Binomio
- (2x + 3)^2
Il quadrato di un binomio è il primo prodotto notevole che ogni studente di algebra memorizza: il quadrato di una somma è il quadrato del primo più il doppio del prodotto più il quadrato del secondo. Scritta su un binomio lineare, quell'identità afferma che (ax più b) al quadrato uguaglia a al quadrato per x al quadrato più due a b per x più b al quadrato, e i tre numeri a destra sono i coefficienti quadratici di un trinomio quadrato perfetto. Gli studenti cercano questo sviluppo con il nome di classe quadrato di un binomio, non con il teorema binomiale generale, e hanno bisogno di quei tre coefficienti subito per i compiti, le chiavi delle schede e i correttori automatici. Questa capacità accetta i due coefficienti finiti a e b, applica l'identità senza motore simbolico e restituisce i coefficienti direttore, lineare e costante insieme a stringhe compatte di visualizzazione.
Che cos'è il quadrato di un binomio e come si sviluppa l'identità
Nell'algebra scolastica il quadrato di un binomio è un prodotto notevole con un nome proprio, non una potenza qualsiasi. Le due famiglie da manuale sono (x più y) al quadrato uguale a x al quadrato più due x y più y al quadrato, e (x meno y) al quadrato uguale a x al quadrato meno due x y più y al quadrato.
Ammettendo un coefficiente direttore diverso dall'unità, la stessa idea è (a x più b) al quadrato uguale a a al quadrato x al quadrato più due a b x più b al quadrato. Accoppiare quei tre termini con una quadratica generica A x al quadrato più B x più C fissa tre coefficienti: il termine direttore è a al quadrato, il lineare è il doppio di a per b e il costante è b al quadrato. Quelle tre moltiplicazioni sono l'intero algoritmo.
Controlli classici: a uguale a uno e b uguale a tre dà x al quadrato più sei x più nove; a uguale a due e b uguale a tre dà quattro x al quadrato più dodici x più nove; e a uguale a tre e b uguale a meno due dà nove x al quadrato meno dodici x più quattro.
Un secondo coefficiente negativo è il modo di chiedere la famiglia meno; non c'è un flag di segno a parte, perché (a x meno b) è già (a x più b negativo). Lo zero è lecito da entrambi i lati: se b è zero lo sviluppo è a al quadrato x al quadrato, e se a è zero lo sviluppo è la costante b al quadrato.
L'identità è esatta sugli interi abituali da manuale e viene arrotondata a dodici decimali solo perché valori in virgola vicini si confrontino byte per byte tra ambienti di esecuzione. Non è il teorema binomiale per un esponente n libero, né un test che chiede se un trinomio dato sia già un quadrato; è lo sviluppo a senso unico da due coefficienti del binomio a tre coefficienti quadratici.
Contratto di ingresso, forma della risposta ed errori
Quei fallimenti non vengono fatturati. In caso di successo il corpo ripete i coefficienti puliti a e b; restituisce leading uguale ad a al quadrato, linear uguale a due a b e constant uguale a b al quadrato; e aggiunge una stringa binomial come (2x + 3) circonflesso due più una stringa expanded come 4x circonflesso due più 12x più 9. Una stringa formula riafferma l'identità così un cliente può stampare la regola accanto ai numeri.
Esempio: a uguale a due, b uguale a tre dà leading quattro, linear dodici, constant nove, binomial (2x + 3)^2 ed expanded 4x^2 + 12x + 9. Esempio della famiglia meno: a uguale a uno, b uguale a meno cinque dà leading uno, linear meno dieci, constant venticinque, binomial (x - 5)^2 ed expanded x^2 - 10x + 25.
Tenga le richieste piccole, fissi leading, linear e constant nei test, e otterrà un trinomio riproducibile per i compiti, le estensioni LMS e i worker al bordo senza erigere un sistema di algebra computazionale.
Dove un espansore del quadrato di un binomio si giustifica
Le aule e le piattaforme di tutoraggio usano una calcolatrice del quadrato di un binomio perché gli allievi confermino l'identità del termine di mezzo senza confonderla con uno sviluppo binomiale generale di (a più b) alla n, e senza eseguire il test inverso che chiede se un trinomio già finito risulti essere un quadrato.
I generatori di prove hanno bisogno di un oracolo deterministico che sviluppi (2x più 3) al quadrato in quattro, dodici, nove e che rifiuti un coefficiente non finito invece di restituire NaN che un correttore difettoso potrebbe trattare come successo. I taccuini di ingegneria che costruiscono un polinomio caratteristico a radice ripetuta o un residuo quadrato perfetto a volte hanno bisogno della stessa espansione a due coefficienti senza tirare un sistema di algebra computazionale. La convalida fallita non consuma saldo.
Tenga i due coefficienti finiti, fissi i tre coefficienti quadratici nei test delle identità da manuale che Le importano, e otterrà uno sviluppo riproducibile per i compiti, le estensioni LMS e gli script di automazione.
Casi d'uso
Controlli in aula e compiti
Lasci che gli studenti inviino a e b di (ax+b)² e verifichino i coefficienti leading, linear e constant restituiti rispetto all'identità di prodotto notevole che hanno scritto a mano.
Valutazione automatica di prove e LMS
Valuti gli item di quadrato di un binomio con un oracolo deterministico che sviluppa in a², 2ab e b² e rifiuta un coefficiente non finito invece di inventare un trinomio.
Generatori di schede e taccuini
Costruisca esercizi intorno a (ax+b)² oppure assembli una quadratica a radice ripetuta da due coefficienti del binomio senza importare una libreria completa di algebra computazionale.
Domande frequenti
Quale identità usa il quadrato di un binomio?
L'identità del trinomio quadrato perfetto (ax+b)² = a²x² + 2abx + b². Un b negativo è il modo di chiedere (ax−b)²; non c'è un campo di segno a parte.
Che succede se manca un coefficiente o non è un numero finito?
NaN, Infinity positivo o negativo, stringhe vuote e valori non numerici vengono rifiutati e non fatturati.
In che cosa differisce dallo sviluppo binomiale o da un verificatore di trinomio quadrato perfetto?
Uno sviluppatore binomiale generale tratta (a+b)^n per qualunque n. Un verificatore di trinomio quadrato perfetto parte da ax²+bx+c e chiede se si fattorizza come un quadrato. Questo strumento sviluppa solo (ax+b)² a partire dai due coefficienti del binomio.
Come si sviluppa un binomio con il segno meno, come (3x − 2)²?
Inserisca il secondo coefficiente come numero negativo. Con 3 e −2 ottiene 9x² − 12x + 4: il termine centrale diventa negativo e i due quadrati restano positivi, quindi non serve un'opzione per il segno.
Cosa succede se uno dei coefficienti è zero?
Lo zero è ammesso in entrambe le posizioni. Con il termine noto a zero il risultato è solo a²x², mentre con il coefficiente di x a zero tutto si riduce alla costante b².
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/square-of-a-binomial \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":2,"b":3}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/square-of-a-binomial", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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body: JSON.stringify({
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
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"https://api.kit.forhosting.com/math/square-of-a-binomial",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/square-of-a-binomial", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":2,"b":3}',
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]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":2,"b":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/square-of-a-binomial", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"a": 2,
"b": 3
}Esempio di risposta
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"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.square_of_a_binomial",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Qualsiasi coefficiente che non sia un numero finito viene rifiutato con invalid_input.
Contratto di ingresso, forma della risposta ed errori
Invii per POST un corpo JSON con due numeri finiti obbligatori: a, il coefficiente di x nel binomio a x più b, e b, il termine costante di quel binomio. Ogni campo può arrivare come numero JSON, stringa numerica o frazione semplice come tre barra quattro; gli alias A o first o p, e B o second o q, sono accettati così gli script riutilizzano carichi già esistenti, compresi i p e q che restituisce il verificatore inverso di trinomio quadrato perfetto. Campi assenti, stringhe vuote, NaN e Infinity positivo o negativo falliscono con invalid_input nominando il campo. Abbini la risposta al proprio codice di grafico se Le serve lo schizzo della parabola che sfiora l'asse; questo endpoint sviluppa solo il quadrato e restituisce i tre coefficienti quadratici.
Dove un espansore del quadrato di un binomio si giustifica
Le estensioni di schede e LMS che chiedono agli studenti di scrivere i tre coefficienti quadratici possono chiamare prima questo endpoint, nascondere i numeri e poi confrontare il trinomio inviato con leading, linear e constant. Poiché l'implementazione è parse puro di livello A, ogni chiamata riuscita costa il prezzo base pubblicato $0.002 senza token di modello e senza rete in uscita.
Domande tecniche
Come si sviluppa il quadrato di un binomio (ax + b)²?
Invii numeri finiti a e b. L'API restituisce leading = a², linear = 2ab e constant = b², più stringhe di visualizzazione per (ax+b)² e il trinomio sviluppato.
Quanto costa la calcolatrice del quadrato di un binomio?
Lo strumento del browser è gratuito. Le richieste API usano il saldo prepagato KIT a $0.002 per chiamata riuscita; un ingresso non valido non viene fatturato.