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Quadrado de um binômio

Desenvolva o quadrado de um binômio num passo só: (2x + 3)² vira 4x² + 12x + 9, com os coeficientes principal, do meio e constante a², 2ab e b². Grátis no seu navegador.

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Exemplo resolvido

Se você digitar

A: 2
B: 3

Você obtém

Termo principal: 4
Termo linear: 12
Constante: 9
Binômio: (2x + 3)^2

O quadrado de um binômio é o primeiro produto notável que todo estudante de álgebra memoriza: o quadrado de uma soma é o quadrado do primeiro mais o dobro do produto mais o quadrado do segundo. Escrita sobre um binômio linear, essa identidade diz que (ax mais b) ao quadrado equivale a a ao quadrado vezes x ao quadrado mais dois a b vezes x mais b ao quadrado, e os três números à direita são os coeficientes quadráticos de um trinômio quadrado perfeito. Os alunos buscam essa expansão pelo nome de sala quadrado de um binômio, e não pelo teorema binomial geral, e precisam desses três coeficientes na hora para lição, gabaritos de fichas e corretores automáticos. Esta capacidade aceita os dois coeficientes finitos a e b, aplica a identidade sem motor simbólico e devolve os coeficientes líder, linear e constante junto com strings compactas de exibição.

O que é o quadrado de um binômio e como a identidade se expande

Na álgebra escolar o quadrado de um binômio é um produto notável com nome próprio, não uma potência qualquer. As duas famílias de livro são (x mais y) ao quadrado igual a x ao quadrado mais dois x y mais y ao quadrado, e (x menos y) ao quadrado igual a x ao quadrado menos dois x y mais y ao quadrado.

Admitindo um coeficiente líder diferente da unidade, a mesma ideia é (a x mais b) ao quadrado igual a a ao quadrado x ao quadrado mais dois a b x mais b ao quadrado. Emparelhar esses três termos com uma quadrática genérica A x ao quadrado mais B x mais C trava três coeficientes: o termo líder é a ao quadrado, o linear é o dobro de a vezes b e o constante é b ao quadrado. Essas três multiplicações são o algoritmo inteiro.

Checagens clássicas: a igual a um e b igual a três rende x ao quadrado mais seis x mais nove; a igual a dois e b igual a três rende quatro x ao quadrado mais doze x mais nove; e a igual a três e b igual a menos dois rende nove x ao quadrado menos doze x mais quatro.

Um segundo coeficiente negativo é como se pede a família menos; não há uma bandeira de sinal à parte, porque (a x menos b) já é (a x mais b negativo). Zero é lícito dos dois lados: se b é zero a expansão é a ao quadrado x ao quadrado, e se a é zero a expansão é a constante b ao quadrado.

A identidade é exata nos inteiros comuns de livro e é arredondada a doze casas decimais só para que valores flutuantes próximos comparem byte a byte entre ambientes de execução. Isto não é o teorema binomial para um expoente n livre, nem um teste que pergunta se um trinômio dado já é um quadrado; é a expansão de um só sentido de dois coeficientes do binômio para três coeficientes quadráticos.

Contrato de entrada, forma da resposta e erros

Em sucesso o corpo ecoa os coeficientes limpos a e b; devolve leading igual a a ao quadrado, linear igual a dois a b e constant igual a b ao quadrado; e acrescenta uma string binomial como (2x + 3) circunflexo dois mais uma string expandida como 4x circunflexo dois mais 12x mais 9. Uma string formula reafirma a identidade para que um cliente imprima a regra ao lado dos números.

Exemplo: a igual a dois, b igual a três rende leading quatro, linear doze, constant nove, binomial (2x + 3)^2 e expanded 4x^2 + 12x + 9. Exemplo da família menos: a igual a um, b igual a menos cinco rende leading um, linear menos dez, constant vinte e cinco, binomial (x - 5)^2 e expanded x^2 - 10x + 25.

Mantenha os pedidos pequenos, fixe leading, linear e constant nos testes, e terá um trinômio reproduzível para lição de casa, plugins LMS e workers na borda sem levantar um sistema de álgebra computacional.

Onde um expansor do quadrado de um binômio se justifica

Salas de aula e plataformas de tutoria usam uma calculadora do quadrado de um binômio para que os alunos confirmem a identidade do termo do meio sem misturá-la com uma expansão binomial geral de (a mais b) à n, e sem rodar o teste inverso que pergunta se um trinômio já pronto acontece de ser um quadrado.

Geradores de prova precisam de um oráculo determinístico que expanda (2x mais 3) ao quadrado para quatro, doze, nove e que rejeite um coeficiente não finito em vez de devolver NaN que um corretor defeituoso poderia tratar como acerto. Cadernos de engenharia que montam um polinômio característico de raiz repetida ou um residual quadrado perfeito às vezes precisam da mesma expansão de dois coeficientes sem puxar um sistema de álgebra computacional. Validação falha não consome saldo.

Mantenha os dois coeficientes finitos, fixe os três coeficientes quadráticos nos testes das identidades de livro que importam para você, e terá uma expansão reproduzível para lição de casa, plugins LMS e scripts de automação.

Casos de uso

Checagens de sala e de lição de casa

Deixe os alunos enviarem a e b de (ax+b)² e conferirem os coeficientes leading, linear e constant devolvidos com a identidade de produto notável que escreveram à mão.

Correção automática de provas e LMS

Marque itens de quadrado de um binômio com um oráculo determinístico que expande para a², 2ab e b² e rejeita um coeficiente não finito em vez de inventar um trinômio.

Geradores de fichas e cadernos

Monte exercícios em torno de (ax+b)² ou monte uma quadrática de raiz repetida a partir de dois coeficientes do binômio sem importar uma biblioteca completa de álgebra computacional.

Perguntas frequentes

Que identidade o quadrado de um binômio usa?

A identidade do trinômio quadrado perfeito (ax+b)² = a²x² + 2abx + b². Um b negativo é como se pede (ax−b)²; não há um campo de sinal à parte.

O que acontece se um coeficiente faltar ou não for um número finito?

NaN, Infinity positivo ou negativo, strings vazias e valores não numéricos são rejeitados e não são cobrados.

Em que isso difere da expansão binomial ou de um verificador de trinômio quadrado perfeito?

Um expansor binomial geral trata (a+b)^n para qualquer n. Um verificador de trinômio quadrado perfeito parte de ax²+bx+c e pergunta se fatora como um quadrado. Esta ferramenta só expande (ax+b)² a partir dos dois coeficientes do binômio.

Como desenvolvo um binômio com subtração, como (3x − 2)²?

Digite o segundo coeficiente como número negativo. Com 3 e −2 você obtém 9x² − 12x + 4: o termo do meio fica negativo e os dois quadrados continuam positivos, então não é preciso nenhuma opção de sinal.

O que acontece se um dos coeficientes for zero?

O zero é aceito em qualquer um dos dois. Com o termo constante zero o resultado é só a²x², e com o coeficiente de x zero tudo se reduz à constante b².

Ferramentas relacionadas

Para desenvolvedores — acesso via API

Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.

Endpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/math/square-of-a-binomial

Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.

Chame do seu código

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/square-of-a-binomial \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":2,"b":3}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/square-of-a-binomial", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": 2,
    "b": 3
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/math/square-of-a-binomial",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": 2,
    "b": 3
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/square-of-a-binomial", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":2,"b":3}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":2,"b":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/square-of-a-binomial", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Exemplo de requisição

{
  "a": 2,
  "b": 3
}

Exemplo de resposta

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "math.square_of_a_binomial",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.

Preço

por chamadaUS$ 0,002

Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.

Erros

HTTP	Código	O que significa
`401`	`unauthorized`	Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization.
`402`	`insufficient_balance`	Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo.
`404`	`unknown_type`	Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo.
`429`	`rate_limited`	Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo.

Notas técnicas

Qualquer coeficiente que não seja um número finito é rejeitado com invalid_input.

Contrato de entrada, forma da resposta e erros

Envie por POST um corpo JSON com dois números finitos obrigatórios: a, o coeficiente de x no binômio a x mais b, e b, o termo constante desse binômio. Cada campo pode chegar como número JSON, string numérica ou fração simples como três barra quatro; os aliases A ou first ou p, e B ou second ou q, são aceitos para que scripts reutilizem cargas já existentes, inclusive os p e q que o verificador inverso de trinômio quadrado perfeito devolve. Campos ausentes, strings vazias, NaN e Infinity positivo ou negativo falham com invalid_input nomeando o campo. Essas falhas não são cobradas. Combine a resposta com o seu próprio código de gráfico se precisar do esboço da parábola que apenas toca o eixo; este endpoint só expande o quadrado e devolve os três coeficientes quadráticos.

Onde um expansor do quadrado de um binômio se justifica

Plugins de fichas e LMS que pedem aos estudantes escrever os três coeficientes quadráticos podem chamar este endpoint primeiro, esconder os números e depois comparar o trinômio enviado com leading, linear e constant. Como a implementação é parse puro de nível A, cada chamada bem-sucedida custa o preço base publicado US$ 0,002 sem tokens de modelo e sem rede de saída.

Perguntas técnicas

Como se expande o quadrado de um binômio (ax + b)²?

Envie números finitos a e b. A API devolve leading = a², linear = 2ab e constant = b², mais strings de exibição para (ax+b)² e o trinômio expandido.

Quanto custa a calculadora do quadrado de um binômio?

A ferramenta do navegador é gratuita. Pedidos API usam saldo pré-pago de KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.

Ver a documentação completa do KIT →

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Exemplo resolvido

O que é o quadrado de um binômio e como a identidade se expande

Contrato de entrada, forma da resposta e erros

Onde um expansor do quadrado de um binômio se justifica

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Correção automática de provas e LMS

Geradores de fichas e cadernos

Perguntas frequentes

Ferramentas relacionadas

Para desenvolvedores — acesso via API

Endpoint

Chame do seu código

Exemplo de requisição

Exemplo de resposta

Preço

Erros

Notas técnicas

Contrato de entrada, forma da resposta e erros

Onde um expansor do quadrado de um binômio se justifica

Perguntas técnicas

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