ForHosting KIT · Matemática

Trinômio quadrado perfeito

x² + 6x + 9 é um quadrado perfeito, (x + 3)², porque 6² = 4 × 1 × 9. Digite os três coeficientes e descubra se ax² + bx + c é o quadrado de um binômio e qual é a forma fatorada. Grátis no seu navegador.

Grátis
Funciona no seu navegador
Sem cadastro
Seus dados não saem do seu aparelho

Executar grátis Ver a API

Use pelo WebAPIE-mailTelegramApp em breve

Exemplo resolvido

Se você digitar

A: 1
B: 6
C: 9

Você obtém

Polinômio: x^2 + 6x + 9
Discriminante: 0
Potência (W): 1
Q: 3

Um trinômio quadrático ax ao quadrado mais bx mais c é um quadrado perfeito quando coincide exatamente com o quadrado de um binômio linear. Expandir (px mais q) ao quadrado produz p ao quadrado vezes x ao quadrado, mais o dobro de p q vezes x, mais q ao quadrado, de modo que os três coeficientes ficam amarrados: o termo do meio é o dobro do produto das raízes quadradas externas. Os alunos encontram esse padrão como x ao quadrado mais seis x mais nove igual a (x mais três) ao quadrado, ou quatro x ao quadrado mais doze x mais nove igual a (dois x mais três) ao quadrado, e buscam um verificador de trinômio quadrado perfeito em vez de um fatorador quadrático geral. Esta capacidade aceita os três coeficientes, testa a identidade b ao quadrado igual a quatro a c com coeficiente líder positivo e, quando o teste vale, devolve os coeficientes binômicos p e q junto com uma forma fatorada compacta. Quando a identidade falha, ainda responde à pergunta de sim ou não em vez de inventar uma fatoração.

O que é um trinômio quadrado perfeito e como o teste funciona

No álgebra escolar um trinômio quadrado perfeito é uma quadrática de três termos que é o quadrado de um binômio. As duas famílias de livro são x ao quadrado mais dois x y mais y ao quadrado, que é (x mais y) ao quadrado, e x ao quadrado menos dois x y mais y ao quadrado, que é (x menos y) ao quadrado.

Admitindo um coeficiente líder diferente de um, a mesma ideia é (p x mais q) ao quadrado igual a p ao quadrado x ao quadrado mais dois p q x mais q ao quadrado. Igualar coeficientes com a, b e c dá portanto três condições: a igual a p ao quadrado, c igual a q ao quadrado e b igual a dois p q.

Essas três se reduzem a um único teste aritmético que não exige adivinhar fatores: o coeficiente líder precisa ser estritamente positivo, para existir uma raiz quadrada real p, e o discriminante b ao quadrado menos quatro a c precisa ser zero, o que é exatamente afirmar que b vale mais ou menos duas vezes a raiz de a vezes a raiz de c.

Checagens clássicas: um, seis, nove, que rende (x mais três) ao quadrado; quatro, doze, nove, que rende (dois x mais três) ao quadrado; e nove, menos doze, quatro, que rende (três x menos dois) ao quadrado. Se o coeficiente líder for negativo o trinômio ainda pode ter raiz real repetida, mas é o oposto de um quadrado e não um quadrado, então a resposta não é um trinômio quadrado perfeito sobre os reais.

Se o discriminante não for zero, os dois fatores lineares, quando existem, são diferentes e o padrão não se aplica. O teste é exato nos inteiros comuns de livro e usa uma tolerância relativa só para que valores flutuantes próximos que devem ser zero não invertam o veredito.

Onde um verificador de trinômio quadrado perfeito se justifica

Salas de aula e plataformas de tutoria usam uma calculadora de trinômio quadrado perfeito para que os alunos confirmem a identidade do termo do meio sem misturá-la com uma fatoração geral pelo método AC ou com completar o quadrado que deixa uma constante residual. Geradores de prova precisam de um oráculo determinístico que marque como falso um não quadrado como x ao quadrado mais cinco x mais seis e que rejeite um coeficiente não finito em vez de devolver NaN que um corretor defeituoso poderia tratar como acerto.

Cadernos de engenharia que reduzem um polinômio característico de raiz repetida ou um residual quadrado perfeito às vezes precisam do mesmo teste de três coeficientes sem puxar um sistema de álgebra computacional. Validação falha não consome saldo. Mantenha os três coeficientes finitos, fixe p e q nos testes das identidades de livro que importam para você, e terá um sim ou não reproduzível mais os coeficientes do binômio para lição de casa, plugins LMS e workers na borda.

Casos de uso

Checagens de sala e de lição de casa

Deixe os alunos enviarem a, b e c, verificar se ax²+bx+c é um trinômio quadrado perfeito e comparar os p e q devolvidos com o binômio que escreveram à mão.

Correção automática de provas e LMS

Corrija itens de trinômio quadrado perfeito com um oráculo determinístico que devolve falso para fatores diferentes e rejeita um coeficiente não finito em vez de inventar uma fatoração.

Geradores de fichas e cadernos

Monte exercícios em torno de (px+q)² ou classifique um residual quadrático de raiz repetida sem importar uma biblioteca completa de álgebra computacional.

Perguntas frequentes

Como saber se ax² + bx + c é um trinômio quadrado perfeito?

Envie números finitos a (não nulo), b e c. O trinômio é um quadrado perfeito quando a é positivo e b² = 4ac.

Por que a precisa ser não nulo, e por que precisa ser positivo para ser um quadrado?

Se a for zero a expressão não é um trinômio quadrático e o pedido é rejeitado. Se a for negativo o polinômio não pode ser o quadrado de um binômio real; mesmo com discriminante zero ele é então o oposto de um quadrado.

Em que isso difere de fatorar uma quadrática ou de completar o quadrado?

Um fatorador geral parte binômios diferentes como (x+2)(x+3). Completar o quadrado sempre escreve a(x−h)²+k, mesmo quando k não é zero. Este verificador responde só à pergunta do trinômio quadrado perfeito e devolve p e q quando o resto é zero.

O que aparece quando o trinômio não é quadrado perfeito?

A resposta continua clara, com um não, e mostra o valor de b² − 4ac, que nesse caso não é zero. Nenhuma fatoração é inventada, então nunca surge um quadrado que não existe.

Funciona quando o termo do meio é negativo?

Sim. O sinal vai para o segundo termo do binômio: 9x² − 12x + 4 é (3x − 2)². O teste só exige que o coeficiente principal seja positivo e que b² seja igual a 4ac.

Ferramentas relacionadas

Para desenvolvedores — acesso via API

Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.

Endpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/math/perfect-square-trinomial

Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.

Chame do seu código

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/perfect-square-trinomial \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":1,"b":6,"c":9}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/perfect-square-trinomial", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": 1,
    "b": 6,
    "c": 9
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/math/perfect-square-trinomial",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": 1,
    "b": 6,
    "c": 9
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/perfect-square-trinomial", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":1,"b":6,"c":9}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":6,"c":9}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/perfect-square-trinomial", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Exemplo de requisição

{
  "a": 1,
  "b": 6,
  "c": 9
}

Exemplo de resposta

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "math.perfect_square_trinomial",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.

Preço

por chamadaUS$ 0,002

Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.

Erros

HTTP	Código	O que significa
`401`	`unauthorized`	Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization.
`402`	`insufficient_balance`	Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo.
`404`	`unknown_type`	Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo.
`429`	`rate_limited`	Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo.

Notas técnicas

Qualquer coeficiente que não seja um número finito é rejeitado com invalid_input.

O que é um trinômio quadrado perfeito e como o teste funciona

Quando ambas valem, este endpoint toma p como a raiz não negativa de a e define q igual a b dividido por dois p, de modo que o sinal do coeficiente do meio é absorvido em q e resta um par canônico único.

Contrato de entrada, forma da resposta e erros

Se a for zero o tratador rejeita o pedido porque um polinômio linear ou constante não é um trinômio quadrático e não pode ser o quadrado de um binômio linear em x. Essas falhas não são cobradas. Quando o booleano é falso esses três campos de fator são omitidos em vez de enviados como null, para que clientes que tratam null como valor não precisem de um caso especial. Envie por POST um corpo JSON com três números finitos obrigatórios: a, o coeficiente líder não nulo de x ao quadrado; b, o coeficiente linear; e c, o termo constante. Cada campo pode chegar como número JSON, string numérica ou fração simples como três barra quatro; os aliases A ou leading, B ou linear e C ou constant são aceitos para que scripts reutilizem cargas já existentes. Campos ausentes, strings vazias, NaN e Infinity positivo ou negativo falham com invalid_input nomeando o campo. Em sucesso o corpo sempre ecoa os coeficientes limpos a, b e c; uma string polinomial como x circunflexo dois mais seis x mais nove; o discriminante b ao quadrado menos quatro a c; um booleano is_perfect_square; e uma string formula que reafirma a identidade. Quando o booleano é verdadeiro o corpo também inclui p e q, os coeficientes da forma fatorada de (p x mais q) ao quadrado, e uma string factored_form como (x mais três) circunflexo dois. Exemplo: a igual a quatro, b igual a doze, c igual a nove rende discriminante zero, is_perfect_square true, p igual a dois, q igual a três e factored_form (2x + 3)^2. Exemplo de erro: a igual a um, b igual a cinco, c igual a seis tem discriminante um e devolve is_perfect_square false sem p nem q. Combine a resposta com o seu próprio código de gráfico se precisar do esboço da parábola que apenas toca o eixo; este endpoint classifica o trinômio e, quando ele é um quadrado, devolve só os coeficientes do binômio.

Onde um verificador de trinômio quadrado perfeito se justifica

Plugins de fichas e LMS que pedem aos estudantes nomear p e q para (p x mais q) ao quadrado podem chamar este endpoint primeiro, esconder os campos de fator e depois comparar o binômio enviado com os coeficientes devolvidos. Como a implementação é parse puro de nível A, cada chamada bem-sucedida custa o preço base publicado US$ 0,002 sem tokens de modelo e sem rede de saída.

Perguntas técnicas

O que é devolvido quando o trinômio não é um quadrado perfeito?

Um payload de sucesso com is_perfect_square em false, mais os coeficientes ecoados, a string do polinômio e o discriminante. Os campos de fator p, q e factored_form são omitidos, não definidos como null.

Quanto custa o verificador de trinômio quadrado perfeito?

A ferramenta do navegador é gratuita. Pedidos API usam saldo pré-pago de KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.

Ver a documentação completa do KIT →

Executar grátis

Exemplo resolvido

O que é um trinômio quadrado perfeito e como o teste funciona

Onde um verificador de trinômio quadrado perfeito se justifica

Casos de uso

Checagens de sala e de lição de casa

Correção automática de provas e LMS

Geradores de fichas e cadernos

Perguntas frequentes

Ferramentas relacionadas

Para desenvolvedores — acesso via API

Endpoint

Chame do seu código

Exemplo de requisição

Exemplo de resposta

Preço

Erros

Notas técnicas

O que é um trinômio quadrado perfeito e como o teste funciona

Contrato de entrada, forma da resposta e erros

Onde um verificador de trinômio quadrado perfeito se justifica

Perguntas técnicas

obrigado