ثلاثي مربع كامل
العبارة x² + 6x + 9 مربع كامل هو (x + 3)²، لأن 6² تساوي 4 × 1 × 9. أدخل المعاملات الثلاثة لتعرف هل ax² + bx + c مربع لذات حدين، وإن كانت كذلك تحصل على صورتها المحللة. مجاني في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- A
- 1
- B
- 6
- C
- 9
- كثير الحدود
- x^2 + 6x + 9
- المميِّز
- 0
- القدرة (W)
- 1
- Q
- 3
يكون الثلاثي التربيعي ax تربيعًا زائد bx زائد c مربعًا كاملًا عندما يطابق تمامًا مربع حداني خطي. بسط (px زائد q) تربيعًا يعطي p تربيعًا في x تربيعًا، زائد ضعف p q في x، زائد q تربيعًا، فتبقى المعاملات الثلاثة مقيدة: الحد الأوسط هو ضعف حاصل جذري الطرفين. يلقى الطلبة هذا النمط في صورة x تربيعًا زائد ستة x زائد تسعة يساوي (x زائد ثلاثة) تربيعًا، أو أربعة x تربيعًا زائد اثني عشر x زائد تسعة يساوي (اثنين x زائد ثلاثة) تربيعًا، ويبحثون عن فاحص للثلاثي المربع الكامل لا عن محلل تربيعي عام. تقبل هذه القدرة المعاملات الثلاثة، وتختبر الهوية b تربيعًا يساوي أربعة a c مع معامل قائد موجب، وتعيد عند نجاح الاختبار معاملي الحدين p وq مع صورة محللة موجزة. وإن أخفقت الهوية فإنها تجيب مع ذلك بنعم أو لا بدل اختراع تحليل.
ما الثلاثي المربع الكامل وكيف يعمل الاختبار
في جبر المدرسة يكون الثلاثي المربع الكامل تربيعيًا ذا ثلاثة حدود هو مربع حداني. الأسرتان في الكتاب هما x تربيعًا زائد اثنين x y زائد y تربيعًا، أي (x زائد y) تربيعًا، وx تربيعًا ناقص اثنين x y زائد y تربيعًا، أي (x ناقص y) تربيعًا. ومع معامل قائد غير الواحد تصير الفكرة ذاتها (p x زائد q) تربيعًا يساوي p تربيعًا x تربيعًا زائد اثنين p q x زائد q تربيعًا.
مقابلة المعاملات مع a وb وc تعطي إذن ثلاث شروط: a يساوي p تربيعًا، وc يساوي q تربيعًا، وb يساوي اثنين p q. وتختزل هذه الثلاث إلى اختبار حسابي واحد لا يقتضي تخمين عوامل: يجب أن يكون المعامل القائد موجبًا تمامًا حتى يوجد جذر تربيعي حقيقي p، ويجب أن يكون المميز b تربيعًا ناقص أربعة a c صفرًا، وهذا يعني أن b يساوي زائد أو ناقص ضعفي جذر a في جذر c.
فإذا تحقق الأمران أخذت هذه النقطة p جذرًا غير سالب ل a ووضعت q مساويًا ل b مقسومًا على اثنين p، فيُمتص إشارة المعامل الأوسط في q ويبقى زوج قانوني واحد. فحوص كلاسيكية: واحد وستة وتسعة تعطي (x زائد ثلاثة) تربيعًا؛ وأربعة واثنا عشر وتسعة تعطي (اثنين x زائد ثلاثة) تربيعًا؛ وتسعة وناقص اثني عشر وأربعة تعطي (ثلاثة x ناقص اثنين) تربيعًا. وإن كان المعامل القائد سالبًا فقد يبقى للجذر الحقيقي تكرار، لكنه مقابل مربع لا مربع، فالجواب ليس ثلاثيًا مربعًا كاملًا على الحقيقيات.
وإن لم يكن المميز صفرًا كان العاملا الخطيان — إن وُجدا — مختلفين ولم ينطبق النمط. الاختبار دقيق على أعداد الكتاب الصحيحة، ولا يستخدم تسامحًا نسبيًا إلا كي لا تقلب قيم عائمة قريبة يُراد لها أن تكون صفرًا الحكم.
أين ينفع فاحص الثلاثي المربع الكامل
تستخدم الصفوف ومنصات التدريس حاسبة ثلاثي مربع كامل كي يثبت المتعلمون هوية الحد الأوسط دون خلطها بتحليل عام بطريقة AC أو بإكمال مربع يترك ثابتًا فائضًا. يحتاج مولّدو الامتحانات إلى مرجع حتمي يعلّم غير المربع مثل x تربيعًا زائد خمسة x زائد ستة بأنه خاطئ، ويرفض معاملًا غير منتهٍ بدل إعادة NaN قد يعدّه مصحح معطوب نجاحًا. تستطيع إضافات الأوراق وLMS التي تطلب من الطلبة تسمية p وq ل (p x زائد q) تربيعًا أن تستدعي هذه النقطة أولًا، وتخفي حقول العامل، ثم تقارن الحداني المقدَّم بالمعاملات المعادة.
تستفيد المواقع التي تتنافس على استعلام الثلاثي المربع الكامل من ودجة حية يطابق مسارها المجاني في المتصفح مسار الأتمتة المدفوع بايتًا ببايت على الوحدة النقية ذاتها، وهو هبوط مختلف عن أداة تحليل تربيعي عامة وعن فاحص عدد مربع. وقد تحتاج دفاتر الهندسة التي تختزل كثير حدود مميزًا بجذر مكرر أو باقيًا مربعًا كاملًا إلى الاختبار الثلاثي ذاته دون جلب نظام جبر حاسوبي. لا يستهلك التحقق الفاشل رصيدًا.
أبقِ المعاملات الثلاثة منتهية، وثبّت p وq في اختبارات هويات الكتاب التي تهمك، فتحصل على نعم أو لا قابلة لإعادة الإنتاج مع معاملات الحدين للواجبات وإضافات LMS والعاملين على الحافة.
حالات الاستخدام
فحوص الصف والواجب
دع الطلبة يرسلون a وb وc ويتحققون مما إذا كان ax²+bx+c ثلاثيًا مربعًا كاملًا، ثم يقارنون p وq المعادين بالحداني المكتوب يدويًا.
تصحيح الامتحانات وLMS تلقائيًا
صحّح بنود الثلاثي المربع الكامل بمرجع حتمي يعيد خطأً للعوامل المختلفة ويرفض معاملًا غير منتهٍ بدل اختراع تحليل.
مولّدات الأوراق والدفاتر
ابنِ تمارين حول (px+q)² أو صنّف باقيًا تربيعيًا بجذر مكرر من دون استيراد مكتبة جبر حاسوبي كاملة.
الأسئلة الشائعة
كيف يُعرف أن ax² + bx + c ثلاثي مربع كامل؟
أرسل أعدادًا منتهية a (غير صفري) وb وc. يكون الثلاثي مربعًا كاملًا عندما يكون a موجبًا وb² = 4ac.
لماذا يجب أن يكون a غير صفري، وموجبًا ليكون مربعًا؟
إذا كان a صفرًا فليست العبارة ثلاثيًا تربيعيًا ويُرفض الطلب. إذا كان a سالبًا فلا يمكن أن يكون كثير الحدود مربع حداني حقيقي؛ وحتى إن صفر المميز فهو مقابل مربع.
بم يختلف هذا عن تحليل تربيعي أو إكمال المربع؟
يفصل محلل عام حدانيين مختلفين مثل (x+2)(x+3). إكمال المربع يكتب دائمًا a(x−h)²+k حتى إن لم يكن k صفرًا. يجيب هذا الفاحص سؤال الثلاثي المربع الكامل فقط ويعيد p وq عندما يكون الباقي صفرًا.
ماذا يظهر إن لم تكن العبارة مربعًا كاملًا؟
تجيب الحاسبة مع ذلك بوضوح بأنها ليست كذلك، وتعرض قيمة b² − 4ac التي لا تساوي صفرًا في هذه الحالة. ولا تخترع أي تحليل، فلا يظهر لك مربع غير موجود.
هل تعمل إذا كان الحد الأوسط سالبًا؟
نعم. تنتقل الإشارة إلى الحد الثاني في ذات الحدين، فالعبارة 9x² − 12x + 4 تساوي (3x − 2)². ولا يشترط الاختبار إلا أن يكون المعامل الرئيسي موجبًا وأن تساوي b² القيمة 4ac.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/perfect-square-trinomial \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":6,"c":9}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/perfect-square-trinomial", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": 6,
"c": 9
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/perfect-square-trinomial",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": 6,
"c": 9
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/perfect-square-trinomial", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":6,"c":9}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":6,"c":9}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/perfect-square-trinomial", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"a": 1,
"b": 6,
"c": 9
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.perfect_square_trinomial",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
يُرفض أي معامل ليس عددًا منتهيًا برسالة invalid_input. يشغّل الوحدة النقية ذاتها الأداة المجانية في المتصفح ومسار API.
عقد الإدخال وشكل الرد وسلوك الخطأ
إذا كان a صفرًا رفض المعالج الطلب لأن كثير حدود خطي أو ثابت ليس ثلاثيًا تربيعيًا ولا يمكن أن يكون مربع حداني خطي في x. لا تُفوتر تلك الإخفاقات. وإذا كانت خاطئة حُذفت حقول العامل الثلاثة بدل إرسالها null، حتى لا يضطر العملاء الذين يعاملون null قيمة إلى حالة خاصة. اقرن الرد برمز رسم بياني خاص إن احتجت إلى مخطط القطع المكافئ الذي يمس المحور؛ تصنّف هذه النقطة الثلاثي وتعيد معاملات الحدين فقط عندما يكون مربعًا. أرسل ب POST جسم JSON فيه ثلاثة أعداد منتهية لازمة: a المعامل القائد غير الصفري ل x تربيعًا، وb المعامل الخطي، وc الحد الثابت. يجوز أن يصل كل حقل عدد JSON أو سلسلة رقمية أو كسرًا بسيطًا مثل ثلاثة شرطة مائلة أربعة؛ وتُقبل الأسماء البديلة A أو leading وB أو linear وC أو constant حتى يعيد السكربت استخدام حمولات قائمة. الحقول الناقصة والسلاسل الفارغة وNaN وInfinity الموجب أو السالب تفشل ب invalid_input مع تسمية الحقل. عند النجاح يعيد الجسم دائمًا المعاملات المنقحة a وb وc، وسلسلة كثيرة حدود مثل x قبعة اثنان زائد ستة x زائد تسعة، والمميز b تربيعًا ناقص أربعة a c، وقيمة منطقية is_perfect_square، وسلسلة formula تعيد صياغة الهوية. وإذا كانت القيمة المنطقية صحيحة تضمن الجسم أيضًا p وq معاملي الصورة المحللة ل (p x زائد q) تربيعًا، وسلسلة factored_form مثل (x زائد ثلاثة) قبعة اثنان. مثال: a يساوي أربعة وb يساوي اثني عشر وc يساوي تسعة يعطي مميزًا صفرًا وis_perfect_square true وp يساوي اثنين وq يساوي ثلاثة وfactored_form (2x + 3)^2. مثال الإخفاق: a يساوي واحدًا وb يساوي خمسة وc يساوي ستة مميزه واحد فيعيد is_perfect_square false بلا p ولا q.
أين ينفع فاحص الثلاثي المربع الكامل
ولأن التنفيذ تحليل parse خالص من الطبقة A، تكلف كل دعوة ناجحة السعر الأساسي المنشور $0.002 بلا رموز نموذج وبلا شبكة خارجة.
أسئلة تقنية
ماذا يُعاد عندما لا يكون الثلاثي مربعًا كاملًا؟
حمولة نجاح فيها is_perfect_square بقيمة false، مع المعاملات المكررة وسلسلة كثيرة الحدود والمميز. تُحذف حقول العامل p وq وfactored_form ولا تُضبط إلى null.
كم تكلفة فاحص الثلاثي المربع الكامل؟
أداة المتصفح مجانية. تستخدم طلبات API رصيد KIT المدفوع مقدمًا بسعر $0.002 لكل دعوة ناجحة؛ ولا تُفوتر الإدخالات غير الصالحة.