Trinôme carré parfait
x² + 6x + 9 est un carré parfait, (x + 3)², car 6² = 4 × 1 × 9. Saisissez les trois coefficients pour savoir si ax² + bx + c est le carré d'un binôme et obtenir sa forme factorisée. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- A
- 1
- B
- 6
- C
- 9
- Polynôme
- x^2 + 6x + 9
- Discriminant
- 0
- Puissance (W)
- 1
- Q
- 3
Un trinôme du second degré ax au carré plus bx plus c est un carré parfait lorsqu'il coïncide exactement avec le carré d'un binôme linéaire. Développer (px plus q) au carré produit p au carré fois x au carré, plus le double de p q fois x, plus q au carré, de sorte que les trois coefficients sont liés : le terme du milieu est le double du produit des racines carrées extérieures. Les élèves rencontrent ce motif sous la forme x au carré plus six x plus neuf égale (x plus trois) au carré, ou quatre x au carré plus douze x plus neuf égale (deux x plus trois) au carré, et recherchent un vérificateur de trinôme carré parfait plutôt qu'un factoriseur quadratique général. Cette capacité accepte les trois coefficients, teste l'identité b au carré égale quatre a c avec un coefficient dominant positif et, lorsque le test tient, renvoie les coefficients binomiaux p et q ainsi qu'une forme factorisée compacte. Lorsque l'identité échoue, elle répond tout de même à la question oui ou non au lieu d'inventer une factorisation.
Ce qu'est un trinôme carré parfait et comment le test fonctionne
En algèbre scolaire, un trinôme carré parfait est une quadratique à trois termes qui est le carré d'un binôme. Les deux familles de manuel sont x au carré plus deux x y plus y au carré, qui est (x plus y) au carré, et x au carré moins deux x y plus y au carré, qui est (x moins y) au carré.
En admettant un coefficient dominant différent de un, la même idée est (p x plus q) au carré égale p au carré x au carré plus deux p q x plus q au carré. Identifier les coefficients avec a, b et c donne donc trois conditions : a égale p au carré, c égale q au carré et b égale deux p q.
Ces trois se réduisent à un seul test arithmétique qui n'exige pas de deviner des facteurs : le coefficient dominant doit être strictement positif, afin qu'une racine carrée réelle p existe, et le discriminant b au carré moins quatre a c doit être zéro, ce qui revient à dire que b vaut plus ou moins deux fois la racine de a fois la racine de c.
Lorsque les deux tiennent, ce point d'accès prend p comme racine non négative de a et pose q égal à b divisé par deux p, de sorte que le signe du coefficient du milieu est absorbé dans q et qu'il reste une paire canonique unique. Vérifications classiques : un, six, neuf, qui donne (x plus trois) au carré ; quatre, douze, neuf, qui donne (deux x plus trois) au carré ; et neuf, moins douze, quatre, qui donne (trois x moins deux) au carré.
Si le coefficient dominant est négatif, le trinôme peut encore avoir une racine réelle double, mais c'est l'opposé d'un carré et non un carré, donc la réponse n'est pas un trinôme carré parfait sur les réels. Si le discriminant n'est pas zéro, les deux facteurs linéaires, lorsqu'ils existent, sont distincts et le motif ne s'applique pas. Le test est exact sur les entiers habituels de manuel et n'emploie une tolérance relative que pour que des flottants voisins destinés à être zéro ne basculent pas le verdict.
Où un vérificateur de trinôme carré parfait se justifie
Les salles de classe et les plateformes de tutorat utilisent un calculateur de trinôme carré parfait pour que les élèves confirment l'identité du terme du milieu sans la confondre avec une factorisation générale par la méthode AC ni avec une complétion du carré qui laisse une constante résiduelle.
Les générateurs d'examens ont besoin d'un oracle déterministe qui marque comme faux un non-carré tel que x au carré plus cinq x plus six et qui refuse un coefficient non fini au lieu de renvoyer NaN qu'un correcteur défectueux pourrait traiter comme un succès. Les greffons de fiches et LMS qui demandent aux étudiants de nommer p et q pour (p x plus q) au carré peuvent appeler d'abord ce point d'accès, masquer les champs de facteur, puis comparer le binôme soumis aux coefficients renvoyés.
Les carnets d'ingénierie qui réduisent un polynôme caractéristique à racine double ou un résidu carré parfait ont parfois besoin du même test à trois coefficients sans tirer un système de calcul formel. Une validation échouée ne consomme pas de solde. Conservez les trois coefficients finis, figez p et q dans les tests des identités de manuel qui vous importent, et vous obtenez un oui ou non reproductible plus les coefficients du binôme pour les devoirs, les greffons LMS et les workers en périphérie.
Cas d’usage
Contrôles en classe et devoirs
Laissez les élèves envoyer a, b et c, vérifier si ax²+bx+c est un trinôme carré parfait, puis comparer les p et q renvoyés au binôme écrit à la main.
Notation automatique d'examens et LMS
Notez les items de trinôme carré parfait avec un oracle déterministe qui renvoie faux pour des facteurs distincts et refuse un coefficient non fini au lieu d'inventer une factorisation.
Générateurs de fiches et carnets
Construisez des exercices autour de (px+q)² ou classez un résidu quadratique à racine double sans importer une bibliothèque complète de calcul formel.
Questions fréquentes
Comment savoir si ax² + bx + c est un trinôme carré parfait ?
Envoyez des nombres finis a (non nul), b et c. Le trinôme est un carré parfait lorsque a est positif et b² = 4ac.
Pourquoi a doit-il être non nul, et positif pour être un carré ?
Si a vaut zéro, l'expression n'est pas un trinôme du second degré et la requête est refusée. Si a est négatif, le polynôme ne peut pas être le carré d'un binôme réel ; même avec un discriminant nul, c'est alors l'opposé d'un carré.
En quoi cela diffère-t-il de factoriser une quadratique ou de compléter le carré ?
Un factoriseur général sépare des binômes distincts tels que (x+2)(x+3). Compléter le carré écrit toujours a(x−h)²+k, même lorsque k n'est pas zéro. Ce vérificateur ne répond qu'à la question du trinôme carré parfait et renvoie p et q lorsque le reste est zéro.
Qu'affiche-t-il quand le trinôme n'est pas un carré parfait ?
Il répond quand même par un non clair et affiche la valeur de b² − 4ac, qui n'est pas nulle dans ce cas. Aucune factorisation n'est inventée : vous ne voyez jamais un carré qui n'existe pas.
Fonctionne-t-il quand le terme du milieu est négatif ?
Oui. Le signe passe dans le second terme du binôme : 9x² − 12x + 4 vaut (3x − 2)². Le test exige seulement un coefficient dominant positif et b² égal à 4ac.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
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res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
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}Exemple de réponse
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"type": "math.perfect_square_trinomial",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Tout coefficient qui n'est pas un nombre fini est rejeté avec invalid_input.
Contrat d'entrée, forme de la réponse et erreurs
Si a vaut zéro, le gestionnaire refuse la requête parce qu'un polynôme linéaire ou constant n'est pas un trinôme du second degré et ne peut pas être le carré d'un binôme linéaire en x. Ces échecs ne sont pas facturés. Lorsque le booléen est faux, ces trois champs de facteur sont omis plutôt qu'envoyés comme null, afin que les clients qui traitent null comme une valeur n'aient pas à les caser à part. Associez la réponse à votre propre code de tracé si vous avez besoin de l'esquisse de la parabole qui touche juste l'axe ; ce point d'accès classe le trinôme et, lorsqu'il est un carré, ne renvoie que les coefficients du binôme. Envoyez en POST un corps JSON avec trois nombres finis obligatoires : a, le coefficient dominant non nul de x au carré ; b, le coefficient linéaire ; et c, le terme constant. Chaque champ peut arriver comme nombre JSON, chaîne numérique ou fraction simple du type trois barre quatre ; les alias A ou leading, B ou linear et C ou constant sont acceptés afin que les scripts réutilisent des charges déjà existantes. Champs manquants, chaînes vides, NaN et Infinity plus ou moins échouent avec invalid_input en nommant le champ. En cas de succès, le corps répète toujours les coefficients nettoyés a, b et c ; une chaîne polynomiale telle que x circonflexe deux plus six x plus neuf ; le discriminant b au carré moins quatre a c ; un booléen is_perfect_square ; et une chaîne formula qui reformule l'identité. Lorsque le booléen est vrai, le corps inclut aussi p et q, les coefficients de la forme factorisée de (p x plus q) au carré, et une chaîne factored_form telle que (x plus trois) circonflexe deux. Exemple : a égal à quatre, b égal à douze, c égal à neuf donne un discriminant zéro, is_perfect_square true, p égal à deux, q égal à trois et factored_form (2x + 3)^2. Exemple d'échec : a égal à un, b égal à cinq, c égal à six a pour discriminant un et renvoie is_perfect_square false sans p ni q.
Où un vérificateur de trinôme carré parfait se justifie
Comme l'implémentation est un parse pur de niveau A, chaque appel réussi coûte le tarif de base publié $0.002 sans jetons de modèle et sans réseau sortant.
Questions techniques
Que renvoie-t-on lorsque le trinôme n'est pas un carré parfait ?
Un payload de succès avec is_perfect_square à false, plus les coefficients répétés, la chaîne du polynôme et le discriminant. Les champs de facteur p, q et factored_form sont omis, non mis à null.
Combien coûte le vérificateur de trinôme carré parfait ?
L'outil du navigateur est gratuit. Les requêtes API utilisent le solde prépayé KIT à $0.002 par appel réussi ; une entrée invalide n'est pas facturée.