Trinomio cuadrado perfecto
x² + 6x + 9 es un cuadrado perfecto, (x + 3)², porque 6² = 4 × 1 × 9. Escriba los tres coeficientes y sabrá si ax² + bx + c es el cuadrado de un binomio y cuál es su forma factorizada. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- A
- 1
- B
- 6
- C
- 9
- Polinomio
- x^2 + 6x + 9
- Discriminante
- 0
- Potencia (W)
- 1
- Q
- 3
Un trinomio cuadrático ax al cuadrado más bx más c es un cuadrado perfecto cuando coincide exactamente con el cuadrado de un binomio lineal. Al expandir (px más q) al cuadrado se obtiene p al cuadrado por x al cuadrado, más el doble de p q por x, más q al cuadrado, de modo que los tres coeficientes quedan ligados: el término del medio es el doble del producto de las raíces cuadradas exteriores. El alumnado encuentra este patrón como x al cuadrado más seis x más nueve igual a (x más tres) al cuadrado, o cuatro x al cuadrado más doce x más nueve igual a (dos x más tres) al cuadrado, y busca un comprobador de trinomio cuadrado perfecto en lugar de un factorizador cuadrático general. Esta capacidad acepta los tres coeficientes, comprueba la identidad b al cuadrado igual a cuatro a c con un coeficiente principal positivo y, cuando se cumple, devuelve los coeficientes binómicos p y q junto con una forma factorizada compacta. Si la identidad falla, responde igualmente a la pregunta de sí o no en lugar de inventar una factorización.
Qué es un trinomio cuadrado perfecto y cómo funciona la prueba
En el álgebra escolar un trinomio cuadrado perfecto es una cuadrática de tres términos que es el cuadrado de un binomio. Las dos familias de libro son x al cuadrado más dos x y más y al cuadrado, que es (x más y) al cuadrado, y x al cuadrado menos dos x y más y al cuadrado, que es (x menos y) al cuadrado.
Si se admite un coeficiente principal distinto de uno, la misma idea es (p x más q) al cuadrado igual a p al cuadrado x al cuadrado más dos p q x más q al cuadrado. Igualar coeficientes con a, b y c da por tanto tres condiciones: a igual a p al cuadrado, c igual a q al cuadrado y b igual a dos p q.
Esas tres se reducen a una sola prueba aritmética que no exige adivinar factores: el coeficiente principal debe ser estrictamente positivo, de modo que exista una raíz cuadrada real p, y el discriminante b al cuadrado menos cuatro a c debe ser cero, que es exactamente afirmar que b vale más o menos dos veces la raíz de a por la raíz de c.
Cuando ambas se cumplen, este extremo toma p como la raíz no negativa de a y fija q igual a b dividido por dos p, de modo que el signo del coeficiente del medio se absorbe en q y queda un par canónico único. Comprobaciones clásicas: uno, seis, nueve, que da (x más tres) al cuadrado; cuatro, doce, nueve, que da (dos x más tres) al cuadrado; y nueve, menos doce, cuatro, que da (tres x menos dos) al cuadrado.
Si el coeficiente principal es negativo el trinomio puede tener aún una raíz real repetida, pero es el opuesto de un cuadrado y no un cuadrado, así que la respuesta no es un trinomio cuadrado perfecto sobre los reales. Si el discriminante no es cero, los dos factores lineales, cuando existen, son distintos y el patrón no aplica. La prueba es exacta en los enteros habituales de libro y usa una tolerancia relativa solo para que valores flotantes cercanos que deben ser cero no inviertan el veredicto.
Dónde resulta útil un comprobador de trinomio cuadrado perfecto
Las aulas y las plataformas de tutoría usan una calculadora de trinomio cuadrado perfecto para que el alumnado confirme la identidad del término del medio sin confundirla con una factorización general por el método AC ni con completar el cuadrado que deja una constante residual. Los generadores de exámenes necesitan un oráculo determinista que marque como falso un no cuadrado como x al cuadrado más cinco x más seis y que rechace un coeficiente no finito en lugar de devolver NaN que un calificador defectuoso podría tratar como acierto.
Los complementos de fichas y LMS que piden a los estudiantes nombrar p y q para (p x más q) al cuadrado pueden llamar primero a este extremo, ocultar los campos de factor y luego comparar el binomio enviado con los coeficientes devueltos. Los cuadernos de ingeniería que reducen un polinomio característico de raíz repetida o un residual cuadrado perfecto a veces necesitan la misma prueba de tres coeficientes sin arrastrar un sistema de álgebra computacional. La validación fallida no consume saldo.
Mantenga los tres coeficientes finitos, fije p y q en las pruebas de las identidades de libro que le importan, y obtendrá un sí o no reproducible más los coeficientes del binomio para deberes, complementos LMS y workers en el borde.
Qué puede hacer con ella
Comprobaciones de aula y de deberes
Permita que el alumnado envíe a, b y c, verifique si ax²+bx+c es un trinomio cuadrado perfecto y compare los p y q devueltos con el binomio que escribió a mano.
Autoevaluación de exámenes y LMS
Califique ítems de trinomio cuadrado perfecto con un oráculo determinista que devuelve falso ante factores distintos y rechaza un coeficiente no finito en lugar de inventar una factorización.
Generadores de fichas y cuadernos
Construya ejercicios en torno a (px+q)² o clasifique un residual cuadrático de raíz repetida sin importar una biblioteca completa de álgebra computacional.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se sabe si ax² + bx + c es un trinomio cuadrado perfecto?
Envíe números finitos a (no nulo), b y c. El trinomio es un cuadrado perfecto cuando a es positivo y b² = 4ac.
¿Por qué a debe ser no nulo y por qué debe ser positivo para ser un cuadrado?
Si a es cero la expresión no es un trinomio cuadrático y la petición se rechaza. Si a es negativo el polinomio no puede ser el cuadrado de un binomio real; aun con discriminante cero entonces es el opuesto de un cuadrado.
¿En qué se diferencia de factorizar una cuadrática o de completar el cuadrado?
Un factorizador general parte binomios distintos como (x+2)(x+3). Completar el cuadrado siempre escribe a(x−h)²+k, incluso cuando k no es cero. Este comprobador responde solo a la pregunta del trinomio cuadrado perfecto y devuelve p y q cuando el resto es cero.
¿Qué muestra si el trinomio no es cuadrado perfecto?
Responde igualmente con un no claro y muestra el valor de b² − 4ac, que en ese caso no es cero. No inventa ninguna factorización, así que nunca aparece un cuadrado que no existe.
¿Funciona si el término central es negativo?
Sí. El signo pasa al segundo término del binomio: 9x² − 12x + 4 es (3x − 2)². La prueba solo exige que el coeficiente principal sea positivo y que b² sea igual a 4ac.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/perfect-square-trinomial \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
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-d '{"a":1,"b":6,"c":9}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/perfect-square-trinomial", {
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"a": 1,
"b": 6,
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req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/perfect-square-trinomial", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"a": 1,
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}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
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"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Cualquier coeficiente que no sea un número finito se rechaza con invalid_input.
Contrato de entrada, forma de la respuesta y errores
Si a es cero el tratador rechaza la petición porque un polinomio lineal o constante no es un trinomio cuadrático y no puede ser el cuadrado de un binomio lineal en x. Esos fallos no se facturan. Cuando el booleano es falso esos tres campos de factor se omiten en lugar de enviarse como null, para que los clientes que tratan null como un valor no tengan que tratarlos de forma especial. Combine la respuesta con su propio código de gráfica si necesita el esbozo de la parábola que apenas toca el eje; este extremo clasifica el trinomio y, cuando es un cuadrado, devuelve solo los coeficientes del binomio. Envíe por POST un cuerpo JSON con tres números finitos obligatorios: a, el coeficiente principal no nulo de x al cuadrado; b, el coeficiente lineal; y c, el término constante. Cada campo puede llegar como número JSON, cadena numérica o fracción simple como tres barra cuatro; se aceptan los alias A o leading, B o linear y C o constant para que los scripts reutilicen cargas ya existentes. Campos ausentes, cadenas vacías, NaN e Infinity positivo o negativo fallan con invalid_input nombrando el campo. En caso de éxito el cuerpo siempre repite los coeficientes limpios a, b y c; una cadena polinómica como x circunflejo dos más seis x más nueve; el discriminante b al cuadrado menos cuatro a c; un booleano is_perfect_square; y una cadena formula que reafirma la identidad. Cuando el booleano es verdadero el cuerpo incluye además p y q, los coeficientes de la forma factorizada de (p x más q) al cuadrado, y una cadena factored_form como (x más tres) circunflejo dos. Ejemplo: a igual a cuatro, b igual a doce, c igual a nueve da discriminante cero, is_perfect_square true, p igual a dos, q igual a tres y factored_form (2x + 3)^2. Ejemplo de fallo: a igual a uno, b igual a cinco, c igual a seis tiene discriminante uno y devuelve is_perfect_square false sin p ni q.
Dónde resulta útil un comprobador de trinomio cuadrado perfecto
Como la implementación es parse puro de nivel A, cada llamada exitosa cuesta el precio base publicado $0.002 sin tokens de modelo y sin red de salida.
Preguntas técnicas
¿Qué se devuelve cuando el trinomio no es un cuadrado perfecto?
Un payload de éxito con is_perfect_square en false, más los coeficientes repetidos, la cadena del polinomio y el discriminante. Los campos de factor p, q y factored_form se omiten, no se ponen a null.
¿Cuánto cuesta el comprobador de trinomio cuadrado perfecto?
La herramienta del navegador es gratuita. Las peticiones API usan saldo prepago de KIT a $0.002 por llamada exitosa; la entrada inválida no se factura.