Cuadrado de un binomio
Desarrolle el cuadrado de un binomio en un paso: (2x + 3)² se convierte en 4x² + 12x + 9, con los coeficientes principal, central y constante a², 2ab y b². Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- A
- 2
- B
- 3
- Término principal
- 4
- Término lineal
- 12
- Constante
- 9
- Binomio
- (2x + 3)^2
El cuadrado de un binomio es el primer producto notable que todo estudiante de álgebra memoriza: el cuadrado de una suma es el cuadrado del primero más el doble del producto más el cuadrado del segundo. Escrita sobre un binomio lineal, esa identidad afirma que (ax más b) al cuadrado iguala a al cuadrado por x al cuadrado más dos a b por x más b al cuadrado, y los tres números de la derecha son los coeficientes cuadráticos de un trinomio cuadrado perfecto. El alumnado busca esta expansión por el nombre de aula cuadrado de un binomio, no por el teorema binomial general, y necesita esos tres coeficientes al instante para deberes, claves de fichas y calificadores automáticos. Esta capacidad acepta los dos coeficientes finitos a y b, aplica la identidad sin motor simbólico y devuelve los coeficientes principal, lineal y constante junto con cadenas compactas de visualización.
Qué es el cuadrado de un binomio y cómo se expande la identidad
En el álgebra escolar el cuadrado de un binomio es un producto notable con nombre propio, no una potencia cualquiera. Las dos familias de libro son (x más y) al cuadrado igual a x al cuadrado más dos x y más y al cuadrado, y (x menos y) al cuadrado igual a x al cuadrado menos dos x y más y al cuadrado.
Si se admite un coeficiente principal distinto de la unidad, la misma idea es (a x más b) al cuadrado igual a a al cuadrado x al cuadrado más dos a b x más b al cuadrado. Emparejar esos tres términos con una cuadrática genérica A x al cuadrado más B x más C fija tres coeficientes: el término principal es a al cuadrado, el lineal es el doble de a por b y el constante es b al cuadrado. Esas tres multiplicaciones son todo el algoritmo.
Comprobaciones clásicas: a igual a uno y b igual a tres da x al cuadrado más seis x más nueve; a igual a dos y b igual a tres da cuatro x al cuadrado más doce x más nueve; y a igual a tres y b igual a menos dos da nueve x al cuadrado menos doce x más cuatro. Un segundo coeficiente negativo es cómo se pide la familia menos; no hay un indicador de signo aparte, porque (a x menos b) ya es (a x más b negativo).
El cero es lícito en ambos lados: si b es cero la expansión es a al cuadrado x al cuadrado, y si a es cero la expansión es la constante b al cuadrado. La identidad es exacta en los enteros habituales de libro y se redondea a doce decimales solo para que valores flotantes cercanos comparen byte a byte entre entornos de ejecución.
Esto no es el teorema binomial para un exponente n libre, ni una prueba que pregunte si un trinomio dado ya es un cuadrado; es la expansión de un solo sentido desde dos coeficientes del binomio hasta tres coeficientes cuadráticos.
Contrato de entrada, forma de la respuesta y errores
Esos fallos no se facturan. En caso de éxito el cuerpo repite los coeficientes limpios a y b; devuelve leading igual a a al cuadrado, linear igual a dos a b y constant igual a b al cuadrado; y añade una cadena binomial como (2x + 3) circunflejo dos más una cadena expandida como 4x circunflejo dos más 12x más 9. Una cadena formula reafirma la identidad para que un cliente imprima la regla junto a los números.
Ejemplo: a igual a dos, b igual a tres da leading cuatro, linear doce, constant nueve, binomial (2x + 3)^2 y expanded 4x^2 + 12x + 9. Ejemplo de la familia menos: a igual a uno, b igual a menos cinco da leading uno, linear menos diez, constant veinticinco, binomial (x - 5)^2 y expanded x^2 - 10x + 25.
Combine la respuesta con su propio código de gráfica si necesita el esbozo de la parábola que apenas toca el eje; este extremo solo expande el cuadrado y devuelve los tres coeficientes cuadráticos. Mantenga las peticiones pequeñas, fije leading, linear y constant en las pruebas, y obtendrá un trinomio reproducible para deberes, complementos LMS y workers en el borde sin levantar un sistema de álgebra computacional.
Dónde resulta útil un expansor del cuadrado de un binomio
Las aulas y las plataformas de tutoría usan una calculadora del cuadrado de un binomio para que el alumnado confirme la identidad del término del medio sin confundirla con una expansión binomial general de (a más b) a la n, y sin ejecutar la prueba inversa que pregunta si un trinomio ya terminado resulta ser un cuadrado.
Los generadores de exámenes necesitan un oráculo determinista que expanda (2x más 3) al cuadrado a cuatro, doce, nueve y que rechace un coeficiente no finito en lugar de devolver NaN que un calificador defectuoso podría tratar como acierto. Los complementos de fichas y LMS que piden a los estudiantes escribir los tres coeficientes cuadráticos pueden llamar primero a este extremo, ocultar los números y luego comparar el trinomio enviado con leading, linear y constant.
Los cuadernos de ingeniería que construyen un polinomio característico de raíz repetida o un residual cuadrado perfecto a veces necesitan la misma expansión de dos coeficientes sin arrastrar un sistema de álgebra computacional. La validación fallida no consume saldo. Mantenga los dos coeficientes finitos, fije los tres coeficientes cuadráticos en las pruebas de las identidades de libro que le importan, y obtendrá una expansión reproducible para deberes, complementos LMS y scripts de automatización.
Qué puede hacer con ella
Comprobaciones de aula y de deberes
Permita que el alumnado envíe a y b de (ax+b)² y verifique los coeficientes leading, linear y constant devueltos frente a la identidad de producto notable que escribió a mano.
Autoevaluación de exámenes y LMS
Califique ítems de cuadrado de un binomio con un oráculo determinista que expande a a², 2ab y b² y rechaza un coeficiente no finito en lugar de inventar un trinomio.
Generadores de fichas y cuadernos
Construya ejercicios en torno a (ax+b)² o arme una cuadrática de raíz repetida a partir de dos coeficientes del binomio sin importar una biblioteca completa de álgebra computacional.
Preguntas frecuentes
¿Qué identidad usa el cuadrado de un binomio?
La identidad del trinomio cuadrado perfecto (ax+b)² = a²x² + 2abx + b². Un b negativo es cómo se pide (ax−b)²; no hay un campo de signo aparte.
¿Qué ocurre si falta un coeficiente o no es un número finito?
Se rechazan NaN, Infinity positivo o negativo, cadenas vacías y valores no numéricos, y no se facturan.
¿En qué se diferencia de la expansión binomial o de un comprobador de trinomio cuadrado perfecto?
Un expansor binomial general trata (a+b)^n para cualquier n. Un comprobador de trinomio cuadrado perfecto parte de ax²+bx+c y pregunta si se factoriza como un cuadrado. Esta herramienta solo expande (ax+b)² a partir de los dos coeficientes del binomio.
¿Cómo desarrollo un binomio con resta, como (3x − 2)²?
Escriba el segundo coeficiente como número negativo. Con 3 y −2 obtiene 9x² − 12x + 4: el término central sale negativo y los dos cuadrados siguen positivos, así que no hace falta ninguna opción de signo.
¿Qué pasa si uno de los coeficientes es cero?
El cero se admite en cualquiera de los dos. Si el término constante es cero, el resultado es solo a²x²; si el coeficiente de x es cero, todo se reduce a la constante b².
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/square-of-a-binomial \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":2,"b":3}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/square-of-a-binomial", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 2,
"b": 3
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/square-of-a-binomial",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 2,
"b": 3
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/square-of-a-binomial", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":2,"b":3}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":2,"b":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/square-of-a-binomial", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"a": 2,
"b": 3
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.square_of_a_binomial",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Cualquier coeficiente que no sea un número finito se rechaza con invalid_input.
Contrato de entrada, forma de la respuesta y errores
Envíe por POST un cuerpo JSON con dos números finitos obligatorios: a, el coeficiente de x en el binomio a x más b, y b, el término constante de ese binomio. Cada campo puede llegar como número JSON, cadena numérica o fracción simple como tres barra cuatro; se aceptan los alias A o first o p, y B o second o q, para que los scripts reutilicen cargas ya existentes, incluidos los p y q que devuelve el comprobador inverso de trinomio cuadrado perfecto. Campos ausentes, cadenas vacías, NaN e Infinity positivo o negativo fallan con invalid_input nombrando el campo.
Dónde resulta útil un expansor del cuadrado de un binomio
Como la implementación es parse puro de nivel A, cada llamada exitosa cuesta el precio base publicado $0.002 sin tokens de modelo y sin red de salida.
Preguntas técnicas
¿Cómo se expande el cuadrado de un binomio (ax + b)²?
Envíe números finitos a y b. La API devuelve leading = a², linear = 2ab y constant = b², más cadenas de visualización para (ax+b)² y el trinomio expandido.
¿Cuánto cuesta la calculadora del cuadrado de un binomio?
La herramienta del navegador es gratuita. Las peticiones API usan saldo prepago de KIT a $0.002 por llamada exitosa; la entrada inválida no se factura.